Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bài này viết về hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình đa thức. Đối với công thức cho số π, xem
Công thức Viète .
Trong toán học , định lý Viète hay hệ thức Viète (tiếng Pháp : Relations de Viète ) do nhà toán học Pháp François Viète tìm ra, nêu lên mối quan hệ giữa các nghiệm của một phương trình đa thức (trong trường số phức ) và các hệ số của nó.
Trong trường hợp phương trình bậc hai, công thức Viète được ghi như sau:
Nếu x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình:
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
,
a
≠
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,\,a\neq 0}
thì:
{
x
1
+
x
2
=
S
=
−
b
a
x
1
x
2
=
P
=
c
a
{\displaystyle {\begin{cases}{x_{1}+x_{2}=S=-{\frac {b}{a}}}\\{x_{1}x_{2}=P={\frac {c}{a}}}\\\end{cases}}}
Áp dụng trong phương trình bậc hai
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
Nhẩm nghiệm nhanh:
Khi
a
+
b
+
c
=
0
{\displaystyle a+b+c=0}
x
1
=
1
{\displaystyle x_{1}=1}
x
2
=
c
/
a
{\displaystyle x_{2}=c/a}
Khi
a
−
b
+
c
=
0
{\displaystyle a-b+c=0}
x
1
=
−
1
{\displaystyle x_{1}=-1}
x
2
=
−
(
c
/
a
)
{\displaystyle x_{2}=-(c/a)}
Cho phương trình:
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
.
.
.
+
a
n
x
n
=
0
,
a
n
≠
0
{\displaystyle a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}=0,\,a_{n}\neq 0}
Cho x1 , x2 ,..., xn là n nghiệm của phương trình trên, thì:
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
.
.
.
+
a
n
x
n
=
a
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
.
.
.
(
x
−
x
n
)
{\displaystyle a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}=a(x-x_{1})(x-x_{2})...(x-x_{n})\,}
Nhân toàn bộ vế phải ra, chúng ta sẽ có công thức Viète, được phát biểu như sau:
{
a
=
a
n
−
a
(
x
1
+
x
2
+
.
.
.
+
x
n
)
=
a
n
−
1
…
…
(
−
1
)
n
−
1
a
(
x
1
x
2
.
.
.
x
n
−
1
+
x
1
x
2
.
.
.
x
n
−
2
x
n
+
.
.
.
+
x
2
x
3
.
.
.
x
n
)
=
a
1
(
−
1
)
n
a
(
x
1
x
2
.
.
.
x
n
)
=
a
0
{\displaystyle {\begin{cases}{a=a_{n}}\\{-a(x_{1}+x_{2}+...+x_{n})=a_{n-1}}\\{\ldots }\\{\ldots }\\{(-1)^{n-1}a(x_{1}x_{2}...x_{n-1}+x_{1}x_{2}...x_{n-2}x_{n}+...+x_{2}x_{3}...x_{n})=a_{1}}\\{(-1)^{n}a(x_{1}x_{2}...x_{n})=a_{0}}\\\end{cases}}}
và trong hàng k bất kỳ, vế phải của đẳng thức là
a
n
−
k
{\displaystyle a_{n-k}\,}
(
−
1
)
k
a
{\displaystyle (-1)^{k}a\,}
nhân với Tổng của: các tích từng cụm k các nghiệm của phương trình trên. -
Nếu x1 , x2 , x3 là nghiệm của phương trình
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
=
0
{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\,}
thì công thức Viète (sau khi chia đều hai bên cho a3 tức a , và chuyển dấu trừ nếu có qua vế phải) cho ta:
{
x
1
+
x
2
+
x
3
=
−
b
/
a
x
1
x
2
+
x
2
x
3
+
x
3
x
1
=
c
/
a
x
1
x
2
x
3
=
−
d
/
a
{\displaystyle {\begin{cases}{x_{1}+x_{2}+x_{3}=-b/a}\\{x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}=c/a}\\{x_{1}x_{2}x_{3}=-d/a}\\\end{cases}}}
Trong trường hợp phương trình bậc hai, định lý Viète thường được dùng để tính nhẩm nghiệm số nguyên (nếu có) của phương trình.
Ví dụ: Có thể nhẩm tính phương trình:
x
2
−
5
x
+
6
=
0
{\displaystyle x^{2}-5x+6=0}
.
{\displaystyle .\,}
Định lý Viète cho phương trình bậc 3 hay cao hơn thường ít thấy trong toán học nghiên cứu, nhưng ngược lại khá quen thuộc trong các kỳ thi Olympic toán học. Định lý Vi-ét được ứng dụng rất nhiều trong chương trình toán học học kỳ 2, lớp 9 tại Việt Nam . Áp dụng trong phương trình bậc hai
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
,
a
≠
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,\,a\neq 0}
Khi có tổng và tích của hai nghiệm
{
x
1
+
x
2
=
S
=
−
b
/
a
x
1
x
2
=
P
=
c
a
{\displaystyle {\begin{cases}{x_{1}+x_{2}=S=-b/a}\\{x_{1}x_{2}=P={\frac {c}{a}}}\\\end{cases}}}
S
2
−
4
P
≥
0
{\displaystyle S^{2}-4P\geq 0}
Khi đó
x
1
,
x
2
{\displaystyle x_{1},x_{2}}
X
2
−
S
X
+
P
=
0
{\displaystyle X^{2}-SX+P=0}
Phương trình có hai nghiệm trái dấu
⇔
x
1
x
2
<
0
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow x_{1}x_{2}<0\Leftrightarrow }
P
<
0
{\displaystyle P<0}
a
c
<
0
{\displaystyle ac<0}
a
{\displaystyle a}
c
{\displaystyle c}
Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
⇔
0
<
x
1
<
x
2
⇔
{
Δ
>
0
S
>
0
P
>
0
{\displaystyle \Leftrightarrow 0<x_{1}<x_{2}\Leftrightarrow {\begin{cases}{\Delta >0}\\{S>0}\\{P>0}\\\end{cases}}}
Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt
⇔
x
1
<
x
2
<
0
⇔
{
Δ
>
0
S
<
0
P
>
0
{\displaystyle \Leftrightarrow x_{1}<x_{2}<0\Leftrightarrow {\begin{cases}{\Delta >0}\\{S<0}\\{P>0}\\\end{cases}}}
Phương trình có đúng một nghiệm dương
x
0
{\displaystyle x_{0}}
⇔
0
<
x
0
⇔
{
Δ
=
0
x
0
+
x
0
=
S
>
0
x
0
x
0
=
P
>
0
{\displaystyle \Leftrightarrow 0<x_{0}\Leftrightarrow {\begin{cases}{\Delta =0}\\{x_{0}+x_{0}=S>0}\\{x_{0}x_{0}=P>0}\\\end{cases}}}
Phương trình có đúng một nghiệm âm
x
0
{\displaystyle x_{0}}
⇔
0
<
x
0
⇔
{
Δ
=
0
x
0
+
x
0
=
S
<
0
x
0
x
0
=
P
>
0
{\displaystyle \Leftrightarrow 0<x_{0}\Leftrightarrow {\begin{cases}{\Delta =0}\\{x_{0}+x_{0}=S<0}\\{x_{0}x_{0}=P>0}\\\end{cases}}}
Nhẩm nghiệm nhanh chóng
Khi
a
+
b
+
c
=
0
{\displaystyle a+b+c=0}
x
1
=
1
{\displaystyle x_{1}=1}
x
2
=
c
/
a
{\displaystyle x_{2}=c/a}
Khi
a
−
b
+
c
=
0
{\displaystyle a-b+c=0}
x
1
=
−
1
{\displaystyle x_{1}=-1}
x
2
=
−
c
/
a
{\displaystyle x_{2}=-c/a}
Phân tích đa thức thành nhân tử
Nếu hàm số
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle f(x)={\displaystyle ax^{2}+bx+c}}
x
1
{\displaystyle x_{1}}
x
2
{\displaystyle x_{2}}
f
(
x
)
=
a
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
{\displaystyle f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})}
Nếu hàm số
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle f(x)={\displaystyle ax^{2}+bx+c}}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
f
(
x
)
=
a
(
x
−
x
0
)
2
{\displaystyle f(x)=a(x-x_{0})^{2}}
Áp dụng trong phương trình bậc ba
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
=
0
{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}
Nhẩm nghiệm nhanh:
Khi
a
+
b
+
c
+
d
=
0
{\displaystyle a+b+c+d=0}
x
1
=
1
{\displaystyle x_{1}=1}
Khi
a
−
b
+
c
−
d
=
0
{\displaystyle a-b+c-d=0}
x
1
=
−
1
{\displaystyle x_{1}=-1}
