Phân phối xác suất

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Trong Toán họcThống kê, một phân phối xác suất hay thường gọi hơn là một hàm phân phối xác suất là qui luật cho biết cách gán mỗi xác suất cho mỗi khoảng giá trị của tập số thực, sao cho các tiên đề xác suất được thỏa mãn. Theo thuật ngữ kỹ thuật, một phân phối xác suất là một độ đo xác suất (probability measure) mà miền xác định là đại số Borel trên tập số thực.

Một phân phối xác suất là một trường hợp đặc biệt của một khái niệm tổng quát hơn về độ đo xác suất, đó là một hàm thỏa mãn các tiên đề xác suất của Kolmogorov cho các tập đo được của một không gian đo được (measurable space).

Định nghĩa hình thức[sửa | sửa mã nguồn]

Mỗi biến ngẫu nhiên tạo ra một phân phối xác suất, phân phối này chứa hầu hết các thông tin quan trọng về biến ngẫu nhiên đó. Nếu X là một biến ngẫu nhiên, phân phối xác suất tương ứng gán cho đoạn [a, b] một xác suất P[aXb], nghĩa là, xác suất mà biến X sẽ lấy giá trị trong đoạn [a, b].

Phân phối xác suất của biến X có thể được mô tả một cách duy nhất bởi hàm phân phối tích lũy (cumulative distribution function) F(x) được định nghĩa như sau:

 F(x) = \Pr\left[ X \le x \right]

với mọi x thuộc R.

Một phân phối được gọi là rời rạc nếu hàm phân phối tích lũy của nó bao gồm một dãy các bước nhảy hữu hạn, nghĩa là nó sinh ra từ một biến ngẫu nhiên rời rạc X: một biến chỉ có thể nhận giá trị trong một tập hợp hữu hạn hoặc đếm được nhất định. Một phân phối được gọi là liên tục nếu hàm phân phối tích lũy của nó là hàm liên tục, khi đó nó sinh ra từ một biến ngẫu nhiên X mà P[ X = x ] = 0 với mọi x thuộc R. Phân phối liên tục còn có thể được biểu diễn bằng hàm mật độ xác suất: một hàm f không âm khả tích Lebesgue được định nghĩa trên tập số thực như sau"


\Pr \left[ a \le X \le b \right] = \int_a^b f(x)\,dx

với mọi ab.

Không có gì đáng ngạc nhiên về việc các phân phối rời rạc không có một hàm mật độ như vậy, nhưng có các phân phối liên tục, như phân phối cầu thang của quỷ (devil's staircase), cũng không có mật độ.

  • Giá của một phân phối là một tập đóng nhỏ nhất mà các phần tử của nó có xác suất bằng 0.
  • Phân phối xác suất của tổng hai biến ngẫu nhiên độc lập là tích chập (convolution) của các phân phối của chúng.
  • Phân phối xác suất của hiệu hai biến ngẫu nhiên là tương quan chéo (cross-correlation) của các phân phối của chúng.

Các phân phối xác suất quan trọng[sửa | sửa mã nguồn]

Một số phân phối xác suất có vai trò quan trọng trong lý thuyết và ứng dụng đến mức chúng đã được đặt tên:

Các phân phối rời rạc[sửa | sửa mã nguồn]

Với biến ngẫu nhiên nhận hữu hạn giá trị[sửa | sửa mã nguồn]

  • Phân phối Bernoulli là phân phối của biên ngẫu nhiên X lấy giá trị 1 với xác suất p và giá trị 0 với xác suất q = 1 − p.
    • Phân phối Rademacher là phân phối của biên ngẫu nhiên X lấy giá trị giá trị 1 với xác suất 1/2 và giá trị −1 với xác suất 1/2.
  • Phân phối nhị thức (binomial distribution) là phân phối của biên ngẫu nhiên X biểu diễn số lần thành công trong một dãy thí nghiệm độc lập, trong đó mỗi lần thử xác suất thành công là số p cố định.
  • Phân phối suy biến (degenerate distribution) tại x0 là phân phối của biên ngẫu nhiên X, trong đó X chắc chắn lấy giá trị x0. Phân phối này không có vẻ ngẫu nhiên, nhưng nó thỏa mãn định nghĩa về biến ngẫu nhiên. Nó có ích do nó đã đặt các biến tất định và các biến ngẫu nhiên trong cùng một dạng thức.
  • Phân phối đều rời rạc (discrete uniform distribution)là phân phối của biến ngẫu nhiên X trong đó X nhân giá trị trong một tập hữu hạn và X nhận giá trị bằng mỗi phần tử của tập đó với xác suất bằng nhau. Đây chính là phân phối xác suất của biên ngẫu nhiên X nhận được khi gieo một đồng xu cân bằng, một con súc sắc không lệch, một vòng roulette, hoặc khi tráo kỹ một bộ bài. Ngoài ra, người ta còn có thể sử dụng các đo đạc về các trạng thái lượng tử (quantum state) để sinh các biến ngẫu nhiên đều. Mọi thiết bị "vật lý" hay "cơ khí" đều có thể có lỗi thiết kế hoặc bị trục trặc, và phân phối đều là một mô tả gần đúng hành vi của chúng.
  • Phân phối siêu bội (hypergeometric distribution) là phân phối của biên ngẫu nhiên X biểu diễn số lần thành công trong m lần đầu tiên của một chuỗi n thực nghiệm độc lập, nếu cho trước tổng số lần thành công.
  • Phân phối Zipf: một phân phối quy tắc lũy thừa (power law) rời, ví dụ nổi tiếng nhất của nó là mô tả về tần số của các từ trong tiếng Anh.
  • Phân phối Zipf-Mandelbrot là một phân phối quy tắc lũy thừa rời rạc và là suy rộng của phân phối Zipf.

Với biến ngẫu nhiên nhận vô hạn giá trị[sửa | sửa mã nguồn]

Các phân phối liên tục[sửa | sửa mã nguồn]

Phân phối của các biến ngẫu nhiên lấy giá trị trên một khoảng bị chặn[sửa | sửa mã nguồn]

  • Phân phối Beta trên đoạn [0,1], phân phối đều là trường hợp đặc biệt, hữu dụng cho việc ước lượng các xác suất thành công.

Phân phối của các biến ngẫu nhiên lấy giá trị trên khoảng nửa hữu hạn, thường là [0,∞)[sửa | sửa mã nguồn]

Phân phối của các biến ngẫu nhiên lấy giá trị trên toàn tập số thực[sửa | sửa mã nguồn]

Các phân phối điều kiện[sửa | sửa mã nguồn]

Với tập hợp bất kỳ gồm các biến ngẫu nhiên độc lập, hàm mật độ xác suất của phân phối có điều kiện (joint distribution) là tích của từng hàm riêng.

Phân phối đông thời của các biến ngẫu nhiên trên cùng một không gian mẫu (vectơ ngẫu nhiên)[sửa | sửa mã nguồn]

Các phân phối của các ma trận ngẫu nhiên[sửa | sửa mã nguồn]

Đó là phân phối của các biến ngẫu nhiên nhận giá trị là các ma trận

Các phân phối khác[sửa | sửa mã nguồn]

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]