Phân phối chuẩn

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm
Phân phối chuẩn
Hàm mật độ xác suất
Hàm mật độ xác suất của phân phối chuẩn
Đường màu đỏ là phân phối chuẩn chuẩn hóa
Hàm phân phối tích lũy
Hàm phân phối tích lũy của phân phối chuẩn
Màu sắc tương ứng với hình trên
Tham số \mu cho biết vị trí (thực)
\sigma^2>0 bình phương tỉ lệ (thực)
Giá x \in (-\infty;+\infty)\!
Hàm mật độ xác suất \frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\; \exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) \!
Hàm phân phối tích lũy \frac12 \left(1 + \mathrm{erf}\,\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt2}\right) \!
Giá trị kỳ vọng \mu
Trung vị \mu
Mode \mu
Phương sai \sigma^2
Độ xiên 0
Độ nhọn 0
Entropy \ln\left(\sigma\sqrt{2\,\pi\,e}\right)\!
Hàm sinh moment M_X(t)= \exp\left(\mu\,t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)
Hàm đặc trưng \phi_X(t)=\exp\left(\mu\,i\,t-\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)

Phân phối chuẩn, còn gọi là phân phối Gauss, là một phân phối xác suất cực kì quan trọng trong nhiều lĩnh vực. Nó là họ phân phối có dạng tổng quát giống nhau, chỉ khác tham số vị trí (giá trị trung bình μ) và tỉ lệ (phương sai σ2).

Phân phối chuẩn chuẩn hóa (standard normal distribution) là phân phối chuẩn với giá trị trung bình bằng 0 và phương sai bằng 1 (đường cong màu đỏ trong hình bên phải). Phân phối chuẩn còn được gọi là đường cong chuông (bell curve) vì đồ thị của mật độ xác suất có dạng chuông.

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Abraham de Moivre là người đầu tiên đưa ra phân phối chuẩn trong bài báo năm 1734 (được in lại trong ấn bản lần 2 The Doctrine of Chances, 1738) khi muốn xấp xỉ một phân phối nhị thức với n lớn. Kết quả được mở rộng bởi Laplace trong cuốn sách Analytical Theory of Probabilities (1812), và bây giờ gọi là định lý Moivre-Laplace.

Laplace dùng phân phối chuẩn để phân tích sai số của các thử nghiệm. Phương pháp quan trọng bình phương tối thiểu được Legendre đưa ra năm 1805. Năm 1809, Gauss, người tuyên bố đã từng sử dụng phương pháp này từ năm 1794, đã chứng minh phương pháp này bằng cách giả thiết rằng các sai số có phân phối chuẩn.

Tên gọi "đường cong chuông" do Jouffret, người đầu tiên dùng thuật ngữ "bề mặt hình chuông" năm 1872 cho phân phối chuẩn hai chiều với các thành phần độc lập. Tên gọi "phân phối chuẩn" được tạo ra bởi Charles S. Peirce, Francis GaltonWilhelm Lexis khoảng năm 1875.

Đặc tính của phân phối chuẩn[sửa | sửa mã nguồn]

Có nhiều cách để thể hiện các đặc tính của một phân phối xác suất. Cách dễ thấy nhất là thông qua hàm mật độ xác suất (vẽ ở hình đầu tiên), nó cho biết khả năng xảy ra của mỗi giá trị của biến ngẫu nhiên. Hàm phân phối tích lũy cũng cho cùng thông tin, nhưng hình ảnh của nó thì thông tin chứa đựng không được dễ nhận thấy cho lắm (hình đi sau). Các cách tương đương khi chỉ định một phân phối chuẩn là thông qua: mômen, ước lượng, hàm đặc trưng, hàm khởi tạo mômen, và hàm khởi tạo ước lượngđịnh lí Maxwell. Một số rất hữu ích về mặt lí thuyết, nhưng không trực quan. Xem phân phối xác suất.

Mọi ước lượng của phân phối chuẩn đều bằng 0, ngoại trừ 2 cái đầu tiên.

Hàm mật độ xác suất[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm mật độ xác suất của 4 tập tham số khác nhau (đường đỏ là phân phối chuẩn chuẩn hóa)

Hàm mật độ xác suất của phân phối chuẩn với trung bình \muphương sai \sigma^2 (hay, độ lệch chuẩn \sigma) là một ví dụ của một hàm Gauss,


f(x;\mu,\sigma)
=
\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \, \exp \left( -\frac{(x- \mu)^2}{2\sigma^2} \right).

(Xem thêm hàm lũy thừapi.)

Nếu một biến ngẫu nhiên X có phân phối này, ta kí hiệu là X ~ N(\mu, \sigma^2). Nếu \mu = 0\sigma = 1, phân phối được gọi là phân phối chuẩn chuẩn hóa và hàm mật độ xác suất rút gọn thành

f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \, \exp\left(-\frac{x^2}{2} \right).

Hình ảnh bên phải cho thấy hàm mật độ xác suất cho phân phối chuẩn với các tham số khác nhau.

Một số tính chất với phân phối chuẩn:

  • Hàm mật độ là đối xứng qua giá trị trung bình (giá trị kì vọng).
  • Giá trị trung bình cũng là modetrung vị của nó.
  • 68.26894921371% của diện tích dưới đường cong là nằm trong khoảng 1 lần độ lệch chuẩn tính từ trị trung bình (tức là khoảng (\mu - \sigma;\mu + \sigma)).
  • 95.44997361036% của diện tích dưới đường cong là nằm trong khoảng 2 lần độ lệch chuẩn (\mu - 2\sigma;\mu + 2\sigma).
  • 99.73002039367% của diện tích dưới đường cong là nằm trong khoảng 3 lần độ lệch chuẩn (\mu - 3\sigma;\mu + 3\sigma).
  • 99.99366575163% của diện tích dưới đường cong là nằm trong khoảng 4 lần độ lệch chuẩn (\mu - 4\sigma;\mu + 4\sigma).
  • 99.99994266969% của diện tích dưới đường cong là nằm trong khoảng 5 lần độ lệch chuẩn (\mu - 5\sigma;\mu + 5\sigma).
  • 99.99999980268% của diện tích dưới đường cong là nằm trong khoảng 6 lần độ lệch chuẩn (\mu - 6\sigma;\mu + 6\sigma).
  • 99.99999999974% của diện tích dưới đường cong là nằm trong khoảng 7 lần độ lệch chuẩn (\mu - 7\sigma;\mu + 7\sigma).

Điểm uốn của đường cong xảy ra tại độ lệch chuẩn 1 tính từ trị trung bình.

Hàm phân phối tích lũy[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm phân phối tích lũy tương ứng với các hàm mật độ ở trên

Hàm phân phối tích lũy (cdf) chính là xác suất để một biến X có giá trị nhỏ hơn hay bằng x, và nó được biểu diễn dưới dạng hàm mật độ sau:


F(x;\mu,\sigma)
=
\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}
\int_{-\infty}^x
 \exp
 \left( -\frac{(u - \mu)^2}{2\sigma^2}
\ \right)\, du.

Hàm cdf chuẩn chuẩn hóa, qui ước viết là \Phi, chỉ là từ dạng cdf tổng quát và được tính với \mu=0\sigma=1,


\Phi(x)
=F(x;0,1)=
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}
\int_{-\infty}^x
\exp\left(-\frac{u^2}{2}\right)
\, du.

Hàm cdf chuẩn hóa có thể được biểu diễn dưới dạng một hàm đặc biệt gọi là hàm sai số, như sau


\Phi(z)
=
\frac{1}{2} \left[ 1 + \operatorname{erf} \left( \frac{z}{\sqrt{2}} \right) \right]
.

Hầm cdf nghịch đảo, hay hàm "quantile", có thể được biểu dưới dạng nghịch đảo của hàm sai số:


\Phi^{-1}(p)
=
\sqrt2
\;
\operatorname{erf}^{-1} \left(2p - 1 \right)
.

Hàm "quantile" này đôi khi còn gọi là hàm "probit". Hàm "probit" không có nguyên hàm. Không có ở đây không phải là không tìm thấy, mà nghĩa là người ta chứng minh rằng không tồn tại một nguyên hàm như vậy

Giá trị của hàm Φ(x) có thể xấp xỉ một cách chính xác bằng nhiều phương pháp khác nhau, như tích phân số, chuỗi Taylor, hay chuỗi tiệm cận.

Hàm khởi tạo[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm khởi tạo Mômen[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm khởi tạo mômen được định nghĩa là giá trị kỳ vọng của \exp(tX). Với phân phối chuẩn, hàm được viết thành

M_X(t)\, =
\mathrm{E}
\left[
 \exp(tX)
\right]
  =
\int_{-\infty}^{\infty}
 \frac
 {1}
 {\sigma \sqrt{2\pi} }
 \exp \left( -\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2} \right)
 \exp (tx)
\, dx
  =
\exp
\left(
 \mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2}
\right)

và có thể thấy bằng cách khai triển biểu thức trong ngoặc thành bình phương đúng.

Hàm đặc trưng[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm đặc trưng được định nghĩa là giá trị kì vọng của \exp (i t X), với i là phần ảo đơn vị. Với phân phối chuẩn, hàm đặc trưng được viết thành

\phi_X(t;\mu,\sigma)\! =
\mathrm{E}
\left[
 \exp(i t X)
\right]
  =
\int_{-\infty}^{\infty}
 \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}
 \exp
 \left(- \frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}
 \right)
 \exp(i t x)
\, dx
  =
\exp
\left(
 i \mu t - \frac{\sigma^2 t^2}{2}
\right)
.

Hàm đặc trưng được tính bằng cách thay thế t cho i t trong hàm khởi tạo mômen.

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Một số tính chất của phân phối chuẩn:

  1. Nếu X \sim N(\mu, \sigma^2)ab là các số thực, thì a X + b \sim N(a \mu + b, (a \sigma)^2) (xem giá trị kì vọngphương sai).
  2. Nếu X \sim N(\mu_X, \sigma^2_X)Y \sim N(\mu_Y, \sigma^2_Y) là các biến ngẫu nhiên chuẩn độc lập, thì:
    • Tổng của chúng là có phân phối chuẩn với U = X + Y \sim N(\mu_X + \mu_Y, \sigma^2_X + \sigma^2_Y) (proof).
    • Hiệu của chúng là có phân phối chuẩn với V = X - Y \sim N(\mu_X - \mu_Y, \sigma^2_X + \sigma^2_Y).
    • Cả hai UV là độc lập với nhau.
  3. Nếu X \sim N(0, \sigma^2_X)Y \sim N(0, \sigma^2_Y) là các biến ngẫu nhiên chuẩn độc lập, thì:
  4. Nếu X_1, \cdots, X_n là các biến ngẫu nhiên chuẩn chuẩn hóa độc lập, thì X_1^2 + \cdots + X_n^2phân phối chi-bình phương với n bậc tự do.

Chuẩn hóa biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn[sửa | sửa mã nguồn]

Một hệ quả của Tính chất 1 là ta có thể quy mọi biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn về dạng phân phối chuẩn hóa.

Nếu X ~ N(\mu, \sigma^2), thì

Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \!

là một biến có phân phối chuẩn hóa: Z ~ N(0,1). Từ đó lại dẫn đến một hệ quả quan trọng là hàm phân phối tích lũy của một phân phối chuẩn nói chung sẽ là:

\Pr(X \le x)
=
\Phi
\left(
 \frac{x-\mu}{\sigma}
\right)
=
\frac{1}{2}
\left(
 1 + \operatorname{erf}
 \left(
 \frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}}
 \right)
\right)
.

Ngược lại, nếu Z ~ N(0,1), thì

X = \sigma Z + \mu

là một biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trị trung bình \mu và phương sai \sigma^2.

Giá trị của phân phối chuẩn hóa đã được lập thành bảng, và các phân phối chuẩn khác đều là các dạng biến đổi đơn giản từ phân phối chuẩn hóa. Do đó, có thể tra bảng giá trị phân phối tích lũy của hàm phân phối chuẩn hóa để tính các giá trị phân phối tích lũy của phân phối chuẩn.

Mô-men[sửa | sửa mã nguồn]

Một số mô-men bậc nhỏ của phân phối chuẩn:

Number Raw moment Central moment Cumulant
0 1 0
1 \mu 0 \mu
2 \mu^2 + \sigma^2 \sigma^2 \sigma^2
3 \mu^3 + 3\mu\sigma^2 0 0
4 \mu^4 + 6 \mu^2 \sigma^2 + 3 \sigma^4 3 \sigma^4 0

Mọi ước lượng của phân phối chuẩn lớn hơn bậc hai đều bằng zero.

Khởi tạo biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn[sửa | sửa mã nguồn]

Khi mô phỏng bằng máy tính, người ta thường khởi tạo các giá trị số có phân phối chuẩn. Có nhiều cách và cách đơn giản nhất là chuyển ngược bằng hàm phân phối tích lũy chuẩn chuẩn hóa. Có nhiều phương pháp hiệu quả được dùng đến, một trong chúng là biến đổi Box-Muller.

Biến đổi Box-Muller nhận hai giá trị có phân phối đều làm đầu vào và ánh xạ chúng thành giá trị có phân phối chuẩn. Phương pháp này đòi hỏi phải khởi tạo giá trị từ phân phối đều, và có nhiều phương pháp như vậy. Xem thêm khởi tạo số ngẫu nhiên.

Biến đổi Box-Muller là dựa vào: phân phối chi-bình phương với hai bậc tự do (xem tính chất 4 ở trên) là một biến ngẫu nhiên lũy thừa có thể khởi tạo dễ dàng.

Định lí giới hạn trung tâm[sửa | sửa mã nguồn]

Đồ thị hàm mật độ xác suất của một phân phối chuẩn với μ = 12 và σ = 3, xấp xỉ hàm khối xác suất (pmf) của một phân phối nhị thức với n = 48 và p = 1/4

Phân phối chuẩn có một tính chất rất quan trọng là trong một số trường hợp nhất định, phân phối của tổng rất nhiều biến ngẫu nhiên độc lập sẽ có phân phối xấp xỉ chuẩn.

Đây là định lí giới hạn trung tâm.

Tầm quan trọng thực tiễn của định lí giới hạn trung tâm là phân phối chuẩn có thể được sử dụng như một xấp xỉ cho một số dạng phân phối khác.

  • Một phân phối nhị thức với các tham số np được xấp xỉ chuẩn hóa đối với các giá trị lớn của np không quá gần 1 hoặc 0 (một số sách đề nghị sử dụng phép xấp xỉ này chỉ khi n pn(1 - p) đều lớn hơn hoặc bằng 5. Trong trường hợp này, cần phải hiệu chỉnh tính liên tục.
  • Một phân phối Poisson với tham số \lambda được xấp xỉ chuẩn hóa đối với giá trị \lambda lớn. Phân phối chuẩn được xấp xỉ có trị trung bình \mu = \lambda và phương sai \sigma^2 = \lambda.

Việc các phép xấp xỉ trên đây có đạt được đủ độ chính xác hay không còn tùy thuộc vào mục đích sử dụng chúng và tốc độ hội tụ về phân phối chuẩn. Thường trong những truờng hợp nói trên, độ kém chính xác sẽ xảy ra ở đuôi của đường phân phối.

Khả năng phân chia vô hạn[sửa | sửa mã nguồn]

Phân phối chuẩn có khả năng phân chia vô hạn.

Độ ổn định[sửa | sửa mã nguồn]

Phân phối chuẩn là phân phối xác suất ổn định.

Độ lệch chuẩn[sửa | sửa mã nguồn]

Phần diện tích màu xanh lam thuộc phạm vi một độ lệch chuẩn từ trị trung bình. Đối với phân phối chuẩn, nó chiếm 68% toàn bộ tổng thể trong khi đó phần diện tích nằm trong khoảng 2 lần độ lệch chuẩn (màu xanh và nâu) chiếm 95% và 3 lần độ lệch chuẩn (xanh lam, nâu, lá cây) chiếm 99.7%.

Trong thực nghiệm, ta thường giả thiết rằng dữ liệu lấy từ tổng thể có dang phân phối xấp xỉ chuẩn. Nếu giả thiết này được kiểm chứng thì có khoảng 68% số giá trị nằm trong khoảng 1 độ lệch chuẩn so với trị trung bình, khoảng 95% số giá trị trong khoảng hai lần độ lệch chuẩn và khoảng 99.7% nằm trong khoảng 3 lần độ lệch chuẩn. Đó là "quy luật 68-95-99.7" hoặc quy tắc kinh nghiệm.

Kiểm định giả thiết về phân phối chuẩn[sửa | sửa mã nguồn]

Phép kiểm định cho ta biết một bộ số liệu cho trước có dạng phân phối tương tự phân phối chuẩn hay không. Giả thiết không là số liệu giống dạng phân phối chuẩn, do đó một giá trị P đủ nhỏ sẽ chứng tỏ dữ liệu không có phân phối chuẩn.

Các phân phối liên quan[sửa | sửa mã nguồn]

Ước lượng tham số[sửa | sửa mã nguồn]

Ước lượng hợp lí cực đại của các tham số[sửa | sửa mã nguồn]

Giả sử

X_1,\dots,X_n

độc lập thống kê và mỗi biến đều có phân phối chuẩn với kì vọng μ và phương sai σ2. Theo ngôn ngữ thống kê, các giá trị quan trắc của các biến ngẫu nhiên này tạo thành một "mẫu từ tổng thể có phân phối chuẩn". Ta cần ước lượng "trị trung bình của tổng thể μ và độ lệch chuẩn của tổng thể σ, dựa trên các giá trị quan sát được của mẫu. Hàm mật độ xác suất liên hiệp của các biến ngẫu nhiên này là:

f(x_1,\dots,x_n;\mu,\sigma) \propto \sigma^{-n} \prod_{i=1}^n \exp\left({-1 \over 2} \left({x_i-\mu \over \sigma}\right)^2\right).

(Chú ý: Ở đây kí hiệu tỉ lệ \propto có nghĩa là tỉ lệ như một hàm của \mu\sigma, chứ không phải tỉ lệ như một hàm của x_1,\dots,x_n. Điểu này có thể xem như là điểm khác biệt giữa quan điểm của các nhà thống kênhà xác suất. Lí do về tầm quan trọng của điểm khác nhau này sẽ được đề cập dưới đây.)

Hàm hợp lí - một hàm của μ và σ là

L(\mu,\sigma) \propto \sigma^{-n} \exp\left({-\sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2 \over 2\sigma^2}\right).

Trong phương pháp hợp lí cực đại, các giá trị của μ và σ làm cho hàm hợp lí đạt cực đại sẽ cho ta các giá trị của ước lượng các thông số μ và σ của tổng thể.

Thông thường trong khi cực đại hóa một hàm 2 biến ta có thể xét các đạo hàm riêng. Nhưng ở đây ta sẽ khai thác một đặc điểm là giá trị của μ làm cực đại hóa hàm hợp kí với σ là cố định, không phụ thuộc vào σ. Do đó, ta có thể tìm giá trị của μ, sau đó thay thế nó vào trong phương trình hợp lí, để cuối cùng thu được giá trị của σ làm cực đại biểu thức tìm được.

Rõ ràng là hàm hợp kí là một hàm giảm của tổng

\sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2. \,\!

Do đó ta muốn giá trị của μ làm cực tiểu hóa tổng này. Đặt:

\overline{x}=(x_1+\cdots+x_n)/n

là "trị trung bình mẫu". Nhận thấy

\sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2=\sum_{i=1}^n((x_i-\overline{x})+(\overline{x}-\mu))^2
=\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2 + 2\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})(\overline{x}-\mu) + \sum_{i=1}^n (\overline{x}-\mu)^2

=\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2 + 0 + n(\overline{x}-\mu)^2.

Chỉ có số hạng cuối phụ thuộc vào μ và nó được cực tiểu hóa bằng

\widehat{\mu}=\overline{x}.

Đó là ước lượng hợp lí cực đại của μ. Khi ta thay thế giá trị này cho μ trong hàm hợp lí, ta nhận được:

L(\overline{x},\sigma) \propto \sigma^{-n} \exp\left({-\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2 \over 2\sigma^2}\right).

Ta quy ước kí hiệu hàm "log hợp lí", nghĩa là, logarit của hàm hợp lí, bằng một chữ \ell thường, và ta có

\ell(\widehat{\mu},\sigma)=[\mathrm{constant}]-n\log(\sigma)-{\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2 \over 2\sigma^2}

và sau đó

{\partial \over \partial\sigma}\ell(\widehat{\mu},\sigma)
={-n \over \sigma} +{\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2 \over \sigma^3}
={-n \over \sigma^3}\left(\sigma^2-{1 \over n}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2 \right).

Đạo hàm này dương, bằng 0, hoặc âm tùy thuộc vào σ2 nằm giữa 0 và

{1 \over n}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2,

hoặc bằng đại lượng đó, hoặc lớn hơn đại lượng đó.

Kết quả là trị trung bình của bình phương các sai số là một ước lượng hợp lí cực đại của σ2, và căn bậc hai của nó là ước lượng hợp lí cực đại của σ. Ước lượng này là một ước lượng chệch, nhưng có một sai số căn quân phương nhỏ hơn so với ước lượng không chệch, vốn là n/(n − 1) lần ước lượng trên.

Điều khái quát gây ngạc nhiên[sửa | sửa mã nguồn]

Đạo hàm của ước lượng hợp lí cực đại của ma trận hiệp phương sai của một phân phối đa biến chuẩn rất khó nhận ra. Nó liên quan đến định lí phổ và lí do có thể coi một đại lượng vô hướng như là vết của ma trận 1×1 hơn là chỉ một biến vô hướng. Xem thêm cách xác định các ma trận hiệp phương sai.

Ước lượng không chệch của các tham số[sửa | sửa mã nguồn]

Ước lượng hợp lí cực đại cho tổng thể đồng nghĩa với việc \mu của một mẫu là một ước lượng không chệch của trị trung bình, và phương sai cũng vậy. Tuy nhiên điều đó chỉ có được khi trị trung bình của tổng thể đã được biết trước. Thực tế ta chỉ có một mẫu lấy từ tổng thể, và không hề có thông tin gì về trị trung bình cũng như phương sai của tổng thể. Trường hợp này ước lượng không chệch của phương sai \sigma^2 là:


S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2.

"Phương sai mẫu" này tuân theo phân phối Gamma nếu như tất cả các biến ngẫu nhiên X đều có dạng phân phối giống nhau và độc lập với nhau:


S^2 \sim \operatorname{Gamma}\left(\frac{n-1}{2},\frac{2 \sigma^2}{n-1}\right).

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]