Véctơ-4

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Véctơ-4 là một véctơ trên một không gian 4 chiều thực đặc biệt, gọi là không gian Minkowski. Chúng xuất hiện lần đầu trong lý thuyết tương đối hẹp, như là sự mở rộng của các véctơ của không gian 3 chiều thông thường, với các thành phần được biến đổi như không gian ba chiềuthời gian thông qua biến đổi Lorentz. Tập hợp các véctơ-4 cùng với biến đổi Lorentz tạo nên nhóm Lorentz.

Tích vô hướng[sửa | sửa mã nguồn]

Mọi điểm trong không gian Minkowski, hay được gọi là "sự kiện", đều được mô tả bởi vector-4 vị trí, gồm 3 thành phần không gian ba chiều thông thường, x, yz, cùng với 1 thành phần thời gian t nhân với tốc độ ánh sáng c cho đồng bộ thứ nguyên:

R:= [ct, x, y, z]

Véc-tơ-4 cũng có thể được viết theo Ký hiệu Einstein

x:= xa

với a chạy từ 0 đến 3.

Phép nhân vô hướng (hay tích trong) giữa hai véctơ-4, R1R2 được định nghĩa là:

R1.R2 = x1x2 + y1y2 + z1z2 - ct1ct2

Nếu dùng ký hiệu Einstein thì tích trong giữa hai véctơ-4, xy là:


x \cdot y
= x^a \eta_{ab} y^b
= \left(\begin{matrix}x^0 & x^1 & x^2 & x^3 \end{matrix} \right)
\left(\begin{matrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right)
\left(\begin{matrix}y^0 \\ y^1 \\ y^2 \\ y^3 \end{matrix} \right)
= - x^0 y^0 + x^1 y^1 + x^2 y^2 + x^3 y^3

với ηmêtríc Minkowski. Phép nhân này đôi khi được gọi là tích trong Minkowski.

Như vậy, bình phương độ lớn một véctơ-4 R là:

R.R = x2 + y2 + z2 - ct2

Theo bình phương độ lớn, các véctơ-4 được phân loại ra thành:

  • véctơ-4 không gian: R.R > 0
  • véctơ-4 thời gian: R.R < 0
  • véctơ-4 không: R.R = 0

Đạo hàm theo thời gian[sửa | sửa mã nguồn]

Đối với các đại lượng là đạo hàm theo thời gian của các đại lượng vật lý khác, người ta quy ước lấy đạo hàm theo thời gian riêng (τ) trong hệ quy chiếu đang xét. Lúc đó cần biết liên hệ giữa đạo hàm theo thời gian riêng với đạo hàm theo thời gian trong hệ quy chiếu khác. Đó là biến đổi thời gian trong biến đổi Lorentz:

\frac{d \tau}{dt}=\frac{1}{\gamma}

Với γ là hệ số tương đối tính liên hệ với vận tốc tương đối giữa hai hệ quy chiếu v qua:

 \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}
v2 = v.v

Đại lượng vật lý véctơ-4[sửa | sửa mã nguồn]

Nhiều đại lượng vật lý ở dạng véctơ trong không gian ba chiều thông thường có một véctơ-4 tương đương trong không thời gian. Có thể bắt đầu định nghĩa các đại lượng vật lý xuất phát từ véctơ-4 vị trí R:= [ct, x, y, z] và phép đạo hàm như mô tả ở trên.

Một số đại lượng vật lý véc tơ độc lập trong không gian ba chiều cổ điển lại ghép với các đại lượng véc tơ khác thành đại lượng vật lý thống nhất trong không thời gian ở dạng tensơ-4. Ví dụ cho nhóm này có véctơ điện trường và véctơ từ trường được thống nhất thành tensơ-4 điện từ trường trong không thời gian.

Vận tốc-4[sửa | sửa mã nguồn]

Vận tốc là đạo hàm theo thời gian của vị trí. Vận tốc-4 là đạo hàm theo thời gian của véctơ vị trí-4:

U^a:= \frac{dx^a}{d \tau}= \frac{dx^a}{dt}\frac{dt}{d \tau}= \left(\gamma c, \gamma \mathbf{u} \right)

với

u^i = \frac{dx^i}{dt}

i = 1, 2, 3. Chú ý rằng:

 U^a U_a = -c^2 \,

Gia tốc-4[sửa | sửa mã nguồn]

Gia tốc là đạo hàm theo thời gian của vận tốc. Gia tốc-4 là đạo hàm theo thời gian của véctơ vận tốc-4:

A^a:= \frac{dU^a}{d \tau} = \left(\gamma \dot{\gamma} c, \gamma \dot{\gamma} \mathbf{u} + \gamma^2 \mathbf{\dot{u}} \right)

Chú ý rằng:

A^a U_a = 0 \,

Động lượng-4[sửa | sửa mã nguồn]

Động lượng-4 có thể được định nghĩa từ vận tốc-4:

P^a:=m_0 U^a = \left(mc,  \mathbf{p} \right)

với m0khối lượng nghỉ còn m = γm0khối lượng tương đối tínhp = muđộng lượng tương đối tính.

Lực-4[sửa | sửa mã nguồn]

Lực-4 có thể đinhj nghĩa từ định luật 2 Newton mở rộng cho không thời gian:

 F^a:= m_0 A^a = \left(\gamma \dot{m} c, \gamma \mathbf{f} \right)

với

 \mathbf{f} = m_0 \dot{\gamma} \mathbf{u} + m_0 \gamma \mathbf{\dot{u}} .

Mật độ dòng điện-4[sửa | sửa mã nguồn]

Mật độ dòng điện-4 có thể được định nghĩa từ vận tốc-4 và cho ra kết quả:

 J^a:= \left(\rho c, \mathbf{j} \right)

với j là mật độ cường độ dòng điện cổ điển còn ρ là mật độ điện tích

Điện từ thế-4[sửa | sửa mã nguồn]

Điện từ thế-4 gộp lại điện thế cổ điển, φ, và vectơ từ thế cổ điển A:

\Phi^a:=\left(\phi,  \mathbf{A} c \right)

Tần số-4[sửa | sửa mã nguồn]

Các sóng điện từ phẳng có thể được biểu diến qua tần số-4:

N ^a:=\left(\nu, \nu \mathbf{n}  \right)

với \nutần số cổ điển của sóng, và n véctơ đơn vị ba chiều chỉ phương lan truyền của sóng. Chú ý

 N^a N_a = \nu ^2 \left(n^2 - 1 \right) = 0

nghĩa là tần số-4 là véctơ-4 không.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  • Rindler, W. Introduction to Special Relativity (2nd edn.) (1991) Clarendon Press Oxford ISBN 0-19-853952-5