Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Cực trị của hàm số”

Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào

Nội tuyến

Phiên bản lúc 13:01, ngày 27 tháng 6 năm 2017

Cực trị của hàm số là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất mà hàm số có thể đạt được. Trong hình học, nó biểu diễn khoảng cách lớn nhất từ điểm này sang điểm kia và khoảng cách nhỏ nhất từ điểm này sang điểm nọ. Nếu trên hệ tọa độ Descartes giá trị lớn nhất là điểm thuộc đỉnh cao nhất trên trục tọa độ và giá trị nhỏ nhất là điểm thuộc đáy "sâu nhất" của hệ tọa dộ.

Giá trị lớn nhất thường gọi là giá trị cực đại (Maximum). Ký hiệu là max.

Giá trị nhỏ nhất thường gọi là giá trị cực tiểu (Minimum). Ký hiệu là min.

Cực trị hàm một biến

Nếu đạo hàm cấp một của hàm f(x) tại x=x₀ là f '(x₀)=0 thì f(x₀) là điểm dừng (stationary value) của hàm f(x)^[1].

Nếu đạo hàm cấp n của hàm f(x) tại x=x₀ là f⁽ⁿ⁾(x₀)≠0 thì điểm dừng f(x₀) là^[2]:

Cực đại địa phương nếu n là số chẵn và f⁽ⁿ⁾(x₀)<0. Cực đại toàn cục nếu n là số chẵn và f⁽ⁿ⁾(x)<0
Cực tiểu địa phương nếu n là số chẵn và f⁽ⁿ⁾(x₀)>0. Cực tiểu toàn cục nếu n là số chẵn và f⁽ⁿ⁾(x)>0
Điểm uốn nếu n là số lẻ

Cực trị hàm nhiều biến

Điều kiện cần để hàm z= f(x₁, x₂,..., x_n) có cực trị là dz = f₁ dx₁ + f₂ dx₂ +... + f_n dx_n = 0^[3].

dz = 0 khi và chỉ khi f₁ dx₁ = f₂ dx₂ =... = f_n dx_n = 0

d²z được biểu diễn bằng ma trận Hessian:

\mathbf {H} ={\begin{bmatrix}f_{11}&f_{12}&\cdots &f_{1n}\\f_{21}&f_{22}&\cdots &f_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{n1}&f_{n2}&\cdots &f_{nn}\end{bmatrix}}.

Từ ma trận H có các ma trận con $\mathbf {H_{1}} ={\begin{bmatrix}f_{11}\end{bmatrix}}$ , $\mathbf {H_{2}} ={\begin{bmatrix}f_{11}&f_{12}\\f_{21}&f_{22}\end{bmatrix}}$ ,..., $\mathbf {H_{n}} ={\begin{bmatrix}f_{11}&f_{12}&\cdots &f_{1n}\\f_{21}&f_{22}&\cdots &f_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{n1}&f_{n2}&\cdots &f_{nn}\end{bmatrix}}$ .

Điều kiện đủ để hàm có cực đại là det(H₁) < 0, det(H₂) > 0, det(H₃) < 0,..., (-1)ⁿ det(H_n) > 0^[3]

Điều kiện đủ để hàm có cực tiểu là det(H₁), det(H₂), det(H₃),..., det(H_n) > 0^[3]

Tham khảo

^ Fundamental Methods of Mathematical Economics, 3rd Edition, Alpha C Chiang, McGraw-Hill, 1984, page 235
^ Fundamental Methods of Mathematical Economics, 3rd Edition, Alpha C Chiang, McGraw-Hill, 1984, page 266
^ ^a ^b ^c Fundamental Methods of Mathematical Economics, 3rd Edition, Alpha C Chiang, McGraw-Hill, 1984, page 336

Bài viết này vẫn còn sơ khai. Bạn có thể giúp Wikipedia mở rộng nội dung để bài được hoàn chỉnh hơn.

[1] Fundamental Methods of Mathematical Economics, 3rd Edition, Alpha C Chiang, McGraw-Hill, 1984, page 235

[2] Fundamental Methods of Mathematical Economics, 3rd Edition, Alpha C Chiang, McGraw-Hill, 1984, page 266

[Chiang336-3] Fundamental Methods of Mathematical Economics, 3rd Edition, Alpha C Chiang, McGraw-Hill, 1984, page 336

[1]

[2]

[3]

@@ Dòng 1: / Dòng 1: @@
+'''Cực trị của hàm số''' là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất mà hàm số có thể đạt được. Trong hình học, nó biểu diễn khoảng cách lớn nhất từ điểm này sang điểm kia và khoảng cách nhỏ nhất từ điểm này sang điểm nọ. Nếu trên [[hệ tọa độ Descartes]] giá trị lớn nhất là điểm thuộc đỉnh cao nhất trên trục tọa độ và giá trị nhỏ nhất là điểm thuộc đáy "sâu nhất" của hệ tọa dộ.
+Giá trị lớn nhất thường gọi là giá trị cực đại (Maximum). Ký hiệu là max.
+Giá trị nhỏ nhất thường gọi là giá trị cực tiểu (Minimum). Ký hiệu là min.
+==Cực trị hàm một biến==
+Nếu đạo hàm cấp một của hàm f(x) tại x=x<sub>0</sub> là f '(x<sub>0</sub>)=0 thì f(x<sub>0</sub>) là điểm dừng (stationary value) của hàm f(x)<ref>Fundamental Methods of Mathematical Economics, 3rd Edition,  Alpha C Chiang, McGraw-Hill, 1984, page 235</ref>.
+Nếu đạo hàm cấp n của hàm f(x) tại x=x<sub>0</sub> là f<sup>(n)</sup>(x<sub>0</sub>)≠0 thì điểm dừng f(x<sub>0</sub>) là<ref>Fundamental Methods of Mathematical Economics, 3rd Edition,  Alpha C Chiang, McGraw-Hill, 1984, page 266</ref>:
+*Cực đại địa phương nếu n là số chẵn và f<sup>(n)</sup>(x<sub>0</sub>)<0. Cực đại toàn cục nếu n là số chẵn và f<sup>(n)</sup>(x)<0
+*Cực tiểu địa phương nếu n là số chẵn và f<sup>(n)</sup>(x<sub>0</sub>)>0. Cực tiểu toàn cục nếu n là số chẵn và f<sup>(n)</sup>(x)>0
+*Điểm uốn nếu n là số lẻ
+==Cực trị hàm nhiều biến==
+Điều kiện cần để hàm z= f(x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>,..., x<sub>n</sub>) có cực trị là dz = f<sub>1</sub> dx<sub>1</sub> + f<sub>2</sub> dx<sub>2</sub> +... + f<sub>n</sub> dx<sub>n</sub> = 0<ref name="Chiang336">Fundamental Methods of Mathematical Economics, 3rd Edition,  Alpha C Chiang, McGraw-Hill, 1984, page 336</ref>.
+dz = 0 khi và chỉ khi f<sub>1</sub> dx<sub>1</sub> = f<sub>2</sub> dx<sub>2</sub> =... = f<sub>n</sub> dx<sub>n</sub> = 0
+d<sup>2</sup>z được biểu diễn bằng ma trận Hessian:
+:<math> \mathbf{H} =
+ \begin{bmatrix}
+ f_{11} & f_{12} & \cdots & f_{1n} \\
+ f_{21} & f_{22} & \cdots & f_{2n} \\
+ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+ f_{n1} & f_{n2} & \cdots & f_{nn}
+ \end{bmatrix}.
+</math>
+Từ ma trận <big>H</big> có các ma trận con <math> \mathbf{H_{1}} =
+ \begin{bmatrix}
+ f_{11}
+ \end{bmatrix}
+</math>, <math> \mathbf{H_{2}} =
+ \begin{bmatrix}
+ f_{11} & f_{12} \\
+ f_{21} & f_{22}
+ \end{bmatrix}
+</math>,..., <math> \mathbf{H_{n}} =
+ \begin{bmatrix}
+ f_{11} & f_{12} & \cdots & f_{1n} \\
+ f_{21} & f_{22} & \cdots & f_{2n} \\
+ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+ f_{n1} & f_{n2} & \cdots & f_{nn}
+ \end{bmatrix}
+</math>.
+Điều kiện đủ để hàm có cực đại là det(H<sub>1</sub>) < 0, det(H<sub>2</sub>) > 0, det(H<sub>3</sub>) < 0,..., (-1)<sup>n</sup> det(H<sub>n</sub>) > 0<ref name="Chiang336"/>
+Điều kiện đủ để hàm có cực tiểu là det(H<sub>1</sub>), det(H<sub>2</sub>), det(H<sub>3</sub>),..., det(H<sub>n</sub>) > 0<ref name="Chiang336"/>
+==Tham khảo==
+{{tham khảo}}
+{{sơ khai}}
 [[Thể loại:Giải tích]]