Phương pháp Newton

Trong giải tích số, phương pháp Newton (còn được gọi là phương pháp Newton–Raphson), đặt tên theo Isaac Newton và Joseph Raphson, là một phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ gần đúng của một hàm số có tham số thực.

$x:f(x)=0\,.$

Phương pháp Newton–Raphson với một biến được thực hiện như sau

Phương pháp này bắt đầu với một hàm f  được xác định qua số thực x, với đạo hàm f ′, và một số gần đúng x₀ ban đầu sát với nghiệm của  f. Nếu chức năng đáp ứng các giả định được đưa ra trong công thức đạo hàm và số dự đoán ban đầu gần với nghiệm số, thì một phép xấp xỉ tốt hơn x₁ là

$x_{1}=x_{0}-{\frac {f(x_{0})}{f'(x_{0})}}\,.$

Về mặt hình học, (x₁, 0) là điểm giao giữa trục x và tiếp tuyến của đồ thị của f tại (x₀, f (x₀)).

Quá trình được lặp lại với

$x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}\,$

cho đến khi đạt được một giá trị nghiệm với độ chính xác cần thiết.

Thuật toán này là đầu tiên trong nhóm thuật toán của các phương pháp Householder, tiếp theo là phương pháp Halley. Phương pháp này cũng có thể được mở rộng cho các hàm số phức và các hệ phương trình.

Sách tham khảo và đọc thêm

• Kendall E. Atkinson, An Introduction to Numerical Analysis, (1989) John Wiley & Sons, Inc, ISBN 0-471-62489-6
• Tjalling J. Ypma, Historical development of the Newton-Raphson method, SIAM Review 37 (4), 531–551, 1995. doi:10.1137/1037125.
• Bonnans, J. Frédéric; Gilbert, J. Charles; Lemaréchal, Claude; Sagastizábal, Claudia A. (2006). Numerical optimization: Theoretical and practical aspects. Universitext . Berlin: Springer-Verlag. tr. xiv+490. doi:10.1007/978-3-540-35447-5. ISBN 3-540-35445-X. MR 2265882.
• P. Deuflhard, Newton Methods for Nonlinear Problems. Affine Invariance and Adaptive Algorithms. Springer Series in Computational Mathematics, Vol. 35. Springer, Berlin, 2004. ISBN 3-540-21099-7.
• C. T. Kelley, Solving Nonlinear Equations with Newton's Method, no 1 in Fundamentals of Algorithms, SIAM, 2003. ISBN 0-89871-546-6.
• J. M. Ortega, W. C. Rheinboldt, Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables. Classics in Applied Mathematics, SIAM, 2000. ISBN 0-89871-461-3.
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). “Chapter 9. Root Finding and Nonlinear Sets of Equations Importance Sampling”. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (ấn bản 3). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.. See especially Sections 9.4, 9.6, and 9.7.
• Endre Süli and David Mayers, An Introduction to Numerical Analysis, Cambridge University Press, 2003. ISBN 0-521-00794-1.
• Kaw, Autar; Kalu, Egwu (2008). “Numerical Methods with Applications” (ấn bản 1)Bản mẫu:Inconsistent citations Quản lý CS1: postscript (liên kết).
• Gil, A., Segura, J., & Temme, N. M., Numerical methods for special functions (2007) Society for Industrial and Applied Mathematics.