Định lý bất biến miền (Invariance of domain) còn có tên gọi là Định lý Brouwer về tính bất biến của miền (domain), được chứng minh bởi nhà toán học Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966) vào năm 1912. Định lý này được phát biểu cho không gian
với tôpô Euclid (hiện nay đã có phát biểu cho các không gian khác). Từ "miền" (domain) (với nghĩa hiện nay không phổ biến) chỉ tập mở.
- Cho tập hợp
là tập mở trong không gian
(với tôpô Euclid) và
là một đơn ánh liên tục. Khi đó
cũng mở trong
.
Chứng minh dưới đây là chứng minh phổ biến của hiện nay, tuy vậy đây không phải mà chứng minh của Brouwer. Mọi chứng minh cho đến hiện tại của định lý này ít nhiều đều phải nhờ đến các kết quả của tôpô đại số.
Cho
là tập mở. Với mỗi
, có một quả cầu đóng
tâm
sao cho
, có biên là
và phần trong là
. Ta sẽ chứng minh rằng
mở trong
, suy ra
mở trong
.
Tuy vậy, do có một sự “gần giống nhau” giữa
và
, cùng với việc nhiều kết quả đã đạt được đối với mặt cầu
, nên người ta thay việc chứng minh đối với
thành việc chứng minh đối với
. Các mệnh đề về compắc hóa dưới đây cho thấy sự “gần giống nhau” đó. Chứng minh các mệnh đề này có thể xem trong [1].
Mệnh đề. Compắc hóa Alexandroff của một không gian Hausdorff compắc địa phương thì Hausdorff.
Do đó các compắc hóa Alexandroff của
và
đều Hausdorff.
Mệnh đề. Nếu
đồng phôi với
thì compắc hóa một-điểm Hausdorff (Hausdorff one-point compactification) của
đồng phôi với compắc hóa một-điểm Hausdorff của
.
Do đó vì
, nên với
và
lần lượt là các compắc hóa một-điểm Hausdorff của
và
, ta có
.
Với
là ánh xạ chứa trong. Ta lưu ý rằng cách xây dựng compắc hóa Alexandroff
của
cho thấy mọi tập mở trong
vẫn mở trong
, tức
là ánh xạ mở. Nên với
,
mở trong
mở trong
mở trong
.
Ta thấy
là một đơn ánh, nên nếu với mọi
là đơn ánh liên tục, ta chứng minh được
mở trong
thì định lý bất biến miền được chứng minh.
Định lý. Cho
là một tập mở trong
và
là đơn ánh liên tục. Khi đó
cũng mở trong
.
Chứng minh. Với mỗi
, có một quả cầu đóng
tâm
sao cho
, có biên là
và phần trong là
. Ta sẽ chứng minh
mở trong
. Chứng minh này cần kết quả quan trọng sau (chứng minh mệnh đề sau đây khá dài, ta có thể xem trong [2]).
Mệnh đề. Cho
là một ánh xạ liên tục sao cho
. Khi đó
. (Tổng quát của mệnh đề này là, cho
là một ánh xạ liên tục sao cho
, khi đó
,
, với
là nhóm đồng điều rút gọn (reduced simplicial homology group) thứ
của
. Định lý này có tên là định lý phân chia Jordan - Brouwer, xem trong [2] hoặc [3]).
Áp dụng cho
. Do
là đơn ánh liên tục,
compắc và
Hausdorff nên
là một đồng phôi từ
sang
, ta có
. Suy ra theo mệnh đề trên, ta có
. Ta có
là liên thông đường, bên cạnh đó
cũng liên thông đường do
liên thông đường. Vậy nên
chia
thành 2 thành phần liên thông đường rời nhau
và
. Do
là compắc nên
cũng compắc, suy ra
đóng trong
(do
Hausdorff). Suy ra
mở trong
. Do đó hai thành phần liên thông đường
và
cũng là hai thành phần liên thông của
. Vậy nên chúng đều mở trong
, nói riêng
mở trong
, do đó
mở trong S^{n}. Ta có đpcm.
và
đồng phôi thì
phải bằng
.
Chứng minh. Giả sử có đồng phôi
và
. Khi đó với mọi tập mở
ta có
mở trong
. Do
, xét ánh xạ chứa trong
, ta thấy các phần tử của
sẽ được viết dưới dạng
. Mặt khác do
là một đơn ánh liên tục nên
, theo định lý bất biến miền, phải mở trong
, điều này là không thể bởi
không có lân cận mở nào trong
chứa trong
. Vậy
.
Làm ngược lại với
, ta có
. Vậy
và
phải bằng nhau.
Định lý này có thể chứng minh ngắn gọn bằng cách dùng kết quả về các nhóm đồng điều
.
Ý nghĩa trực quan. Định lý này cho thấy nếu xem phép đồng phôi, một cách trực quan, là phép co bóp kéo giãn mà không cắt hay dán, thì ta không thể kéo hay co bóp một "đường thẳng"
, mặt phẳng
hay cả không gian
thành hai thứ còn lại.