Phép toán hyper

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới điều hướng Bước tới tìm kiếm

Trong toán học, phép toán hyper (tiếng Anh: hyperoperation) là một dãy vô hạn của các phép toán số học (được gọi là các hyperoperation trong ngữ cảnh này) bắt đầu bằng một phép toán một ngôi (hàm successor với n=0). Trình tự tiếp tục với các phép toán hai ngôi của phép cộng (n=1), phép nhân (n=2), phép luỹ thừa (n = 3).

Sau đó, trình tự tiếp tục với các phép toán hai ngôi mở rộng vượt qua luỹ thừa, sử dụng phép toán kết hợp. Đối với các phép toán vượt quá luỹ thừa, các phép toán thứ n của dãy này được Reuben Goodstein đặt tên theo tiền tố Hy Lạp của n có hậu tố -ation (chẳng hạn như tetration (n = 4), pentation (n = 5), hexation (n = 6), v.v...) và có thể được viết dưới dạng sử dụng n - 2 mũi tên trong ký hiệu mũi tên lên Knuth. Mỗi hyperoperation có thể được hiểu đệ quy theo nghĩa trước đó bằng cách:

Nó cũng có thể được định nghĩa theo phần quy tắc đệ quy của định nghĩa, như trong phiên bản mũi tên lên Knuth của hàm số Ackermann:

Điều này có thể được dùng để dễ dàng diễn giải những số lớn hơn nhiều so với số mà ký hiệu khoa học có thể, như là số Skewesgoogolplexplex (v.d. lớn hơn nhiều so với số Skewes và googoloplexplex), nhưng có những con số mà thậm chí chúng không thể dễ dàng diễn giải được, như là số GrahamTREE(3).

Quy tắc đệ quy này là phổ biến với nhiều biến thể của phép toán hyper (xem định nghĩa dưới đây).

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Dãy hyperoperation là một dãy các phép toán hai ngôi , định nghĩa đệ quy như sau:

(Lưu ý rằng đối với n = 0, phép toán hai ngôi về cơ bản sẽ giảm xuống còn phép toán một ngôi (hàm successor) bằng cách bỏ qua đối số đầu tiên.)

Với n = 0, 1, 2, 3, định nghĩa này tái tạo các phép toán số học cơ bản của hàm successor (là một phép toán một ngôi), cộng, nhânluỹ thừa, tương ứng, như

Vậy hoạt động tiếp theo sau lũy thừa là gì? Chúng ta đã xác định phép nhân sao cho và xác định lũy thừa sao cho vì vậy có vẻ hợp lý để xác định các phép toán tiếp theo, tetration, sao cho với một tháp ba 'a'. Tương tự, pentation của (a, 3) sẽ là tetration (a, tetration (a, a)), với ba "a" trong đó.

Nếu các phép toán H có n ≥ 3 thì có thể được viết bằng ký hiệu mũi tên lên Knuth như sau:

Ký hiệu Knuth có thể được mở rộng thành các chỉ số âm ≥ -2 theo cách đồng ý với toàn bộ dãy hyperoperation, ngoại trừ độ trễ trong việc lập chỉ mục:

Các hyperoperation có thể được coi là một câu trả lời cho câu hỏi "cái gì tiếp theo" trong dãy: hàm successor, cộng, nhân, luỹ thừa, và v.v.. Ghi chú điều đó

Mối quan hệ giữa các phép toán số học cơ bản được minh họa, cho phép các phép toán (hyperoperation) cao hơn được xác định một cách tự nhiên như trên. Các tham số của hệ thống phân cấp hyperoperation đôi khi được gọi bằng thuật ngữ lũy thừa tương tự của chúng,[1] vì vậy acơ số, b là số (hoặc siêu mũ), e), và nbậc (hoặc cấp), và được đọc là "n-thừa bậc b của a", ví dụ: được đọc là "tetration bậc 9 của 7", và được đọc là "123-thừa bậc 789 của 456".

Nói một cách phổ biến, các hyperoperation là những cách ghép các số tăng theo sự tăng trưởng dựa trên sự lặp lại của các hyperoperation trước đó. Các khái niệm hàm successor, cộng, nhân và lũy thừa đều là các hyperoperation, hàm successor (tạo x + 1 từ x) là cơ bản nhất, phép cộng xác định số lần 1 được cộng thêm vào chính nó để tạo ra giá trị cuối cùng, phép nhân xác định số lần một số được thêm vào chính nó, và luỹ thừa đề cập đến số lần một số được nhân với chính nó.

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Dưới đây là danh sách của bảy hyperoperation đầu tiên (thứ tự từ 0 đến 6) (0⁰ được định nghĩa là 1.).

n Hyperoperation,
Hn(a, b)
Định nghĩa Tên Miền
0 hoặc hyperoperation bậc 0, hàm successor, zeration Tuỳ ý
1 hoặc hyperoperation bậc 1, phép cộng Tuỳ ý
2 hoặc hyperoperation bậc 2, phép nhân Tuỳ ý
3 hoặc hyperoperation bậc 3, luỹ thừa b là số thực, với một số phần mở rộng đa trị cho số phức
4 hoặc hyperoperation bậc 4, tetration a ≥ 0 hoặc là một số nguyên, b là một số nguyên ≥ −1 (đó là một số phần mở rộng được đề xuất)
5 hoặc hyperoperation bậc 5, pentation a, b là các số nguyên ≥ −1
6 hyperoperation bậc 6, hexation a, b là các số nguyên ≥ −1

Trường hợp đặc biệt[sửa | sửa mã nguồn]

Hn(0, b) =

0, khi n = 2, hoặc n = 3, b ≥ 1, hoặc n ≥ 4, b lẻ (≥ −1)
1, khi n = 3, b = 0, hoặc n ≥ 4, b chẵn (≥ 0)
b, khi n = 1
b + 1, khi n = 0

Hn(1, b) =

1, khi n ≥ 3

Hn(a, 0) =

0, khi n = 2
1, khi n = 0, hoặc n ≥ 3
a, khi n = 1

Hn(a, 1) =

a, khi n ≥ 2

Hn(a, a) =

Hn+1(a, 2), khi n ≥ 1

Hn(a, −1) =

0, khi n = 0, hoặc n ≥ 4
a − 1, khi n = 1
a, khi n = 2
1/a, khi n = 3

Hn(2, 2) =

3, khi n = 0
4, khi n ≥ 1, dễ dàng chứng minh đệ quy.

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Một trong những cuộc thảo luận sớm nhất về phép toán hyper là của Albert Bennett năm 1914, người đã phát triển một số lý thuyết về hyperoperation giao hoán (xem bên dưới). Khoảng 12 năm sau đó, Wilhelm Ackermann đã định nghĩa hàm mà phần nào giống với dãy hyperoperation.

Trong bài báo năm 1947, R. L. Goodstein đã giới thiệu một dãy hoạt động cụ thể của các phép toán được gọi là phép toán hyper, và cũng đề nghị các tên Hy Lạp tetration (tetration), pentation (pentation), v.v., cho các hoạt động mở rộng vượt quá lũy thừa (bởi vì chúng tương ứng với các chỉ số 4, 5, v.v.). Là một hàm ba đối số, ví dụ, , toàn bộ dãy hyperoperation được coi là một phiên bản của hàm Ackermann gốc đệ quy nhưng không đệ quy cơ bản — được sửa đổi bởi Goodstein để kết hợp hàm successor cơ bản cùng với ba phép toán cơ bản khác của số học (phép cộng, phép nhân, luỹ thừa), và để làm cho một phần mở rộng liền mạch hơn của những điều này vượt quá lũy thừa.

Bản gốc ba đối số hàm Ackermann sử dụng quy tắc đệ quy tương tự như phiên bản của Goodstein (tức là, dãy hyperoperation), nhưng khác với nó theo hai cách. Thứ nhất, định nghĩa một dãy các phép toán bắt đầu từ phép cộng (n = 0) thay vì hàm successor, sau đó đến phép nhân (n = 1), luỹ thừa (n = 2), v.v.. Thứ hai, các điều kiện ban đầu cho dẫn đến , do đó khác với các hyperoperation vượt quá lũy thừa.[2] Ý nghĩa của b + 1 trong biểu thức trước đó là = , trong đó b đếm số lượng của hyperoperation (lũy thừa), thay vì đếm số lượng của toán hạng ("a" s) như b trong , và như vậy cho các phép toán cấp cao hơn. (Xem bài viết về hàm Ackermann để biết chi tiết.)

Các ký hiệu của hyperoperation[sửa | sửa mã nguồn]

Đây là danh sách các ký hiệu đã được sử dụng cho các hyperoperation.

Tên Ký hiệu tương đương với Giải thích
Ký hiệu mũi tên lên Knuth Được sử dụng bởi Knuth[3] (cho n ≥ 3), và được tìm thấy trong một số sách tham khảo.[4][5]
Ký hiệu Goodstein Được sử dụng bởi Wihelm Ackermann với n ≥ 1)
Hàm Ackermann gốc Được sử dụng bởi Reuben Goodstein.
Hàm Ackermann Điều này tương ứng với các hyperoperation cho cơ số 2
Ký hiệu Nambiar Được sử dụng bởi Nambiar (với n ≥ 1)[6]
Ký hiệu hộp Được sử dụng bởi Rubtsov và Romerio.
Ký hiệu bệ trên Được sử dụng bởi Robert Munafo.
Ký hiệu bệ dưới (đối với "các hạ hyperoperation") Được sử dụng cho các hạ hyperoperation của Robert Munafo.
Ký hiệu toán tử (đối với "các phép toán mở rộng") Được sử dụng cho các hạ hyperoperation bởi John DonnerAlfred Tarski (với n ≥ 1).
Ký hiệu ngoặc vuông Được sử dụng trong nhiều diễn đàn trực tuyến, thuận tiện cho ASCII..
Ký hiệu mũi tên xích Conway Được sử dụng bởi John Horton Conway (cho n ≥ 3)

Bắt đầu từ một (phép cộng)[sửa | sửa mã nguồn]

Năm 1928, Wilhelm Ackermann đã định nghĩa hàm 3 đối số dần dần phát triển thành hàm 2 đối số được gọi là hàm Ackermann. Hàm Ackermann gốc ít giống với dãy hyperoperation hiện đại, bởi vì điều kiện ban đầu của ông ấy bắt đầu bằng với mọi n > 2. Ngoài ra, ông đã gán phép cộng cho n = 0, phép nhân cho n = 1 và luỹ thừa cho n = 2, vì vậy các điều kiện ban đầu tạo ra các phép toán rất khác nhau cho tetration và vượt xa hơn.

n Phép toán Bình luận
0
1
2
3 Một dạng bù của tetration. Lặp lại của hoạt động này là khác nhau nhiều so với lặp lại của tetration.
4 Không được nhầm lẫn với pentation.

Bắt đầu từ 0 (hàm successor)[sửa | sửa mã nguồn]

Năm 1984, C. W. Clenshaw và F. W. J. Olver bắt đầu cuộc thảo luận về việc sử dụng các hyperoperation để ngăn chặn máy tính tràn dấu phẩy động.[7] Kể từ đó, nhiều tác giả khác[8][9][10] đã đổi mới quan tâm đến việc áp dụng các hyperoperation vào biểu diễn dấu phẩy động. (Vì Hn(a, b) đều được định nghĩa cho b = -1). Trong khi thảo luận về tetration, Clenshaw et al. giả định điều kiện ban đầu , điều này tạo ra một hệ thống phân cấp hyperoperation khác. Giống như trong các biến thể trước đó, phép toán thứ tư rất giống với tetration, nhưng bù lại bằng một.

n Phép toán Bình luận
0
1
2
3
4 Một dạng bù của tetration. Lặp lại của hoạt động này là khác nhau nhiều so với lặp lại của tetration.
5 Không được nhầm lẫn với pentation.

Hệ hạ hyperoperation[sửa | sửa mã nguồn]

Một sự thay thế cho các hyperoperation này có được bằng cách đánh giá từ trái sang phải. Kể từ khi

định nghĩa (với ° hoặc bệ dưới)

với

Điều này đã được Donner và Tarski mở rộng thành số thứ tự,[11] bởi:

Đối với a ≥ 2 và b ≥ 1,

Nhưng điều này phải chịu một loại sụp đổ, không thành lập "tháp mũ" theo truyền thống dự kiến ​​của các hyperoperation:

Nếu α ≥ 2 và γ ≥ 2,

n Phép toán Bình luận
0 hàm successor, zeration
1
2
3
4 Không được nhầm lẫn với tetration.
5 Không được nhầm lẫn với pentation.
Tương tự như tetration.

Phép toán hyper giao hoán[sửa | sửa mã nguồn]

Các hyperoperation giao hoán đã được Albert Bennett xem xét vào đầu năm 1914, đó có thể là nhận xét sớm nhất về bất kỳ dãy hyperoperation nào. Các hyperoperation giao hoán được xác định bởi quy tắc đệ quy

đối xứng trong ab, có nghĩa là tất cả các hyperoperation đều có tính giao hoán. Dãy này không chứa lũy thừa, và do đó không hình thành một hệ thống phân cấp hyperoperation.

n Operation Comment
0 Smooth tối đa
1
2 Điều này là do các thuộc tính của Logarit.
3 Một hình thức giao hoán của lũy thừa.
4 Không được nhầm lẫn với tetration.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ G. F. Romerio (21 tháng 1 năm 2008). “Hyperoperations Terminology”. Tetration Forum. Truy cập ngày 21 tháng 4 năm 2009.
  2. ^ Robert Munafo (3 tháng 11 năm 1999). “Versions of Ackermann's Function”. Large Numbers at MROB. Truy cập ngày 17 tháng 4 năm 2009.
  3. ^ Donald E. Knuth (tháng 12 năm 1976). “Mathematics and Computer Science: Coping with Finiteness”. Science. 194 (4271): 1235–1242. doi:10.1126/science.194.4271.1235. PMID 17797067. Truy cập ngày 21 tháng 4 năm 2009.
  4. ^ Daniel Zwillinger (2002). CRC standard mathematical tables and formulae, 31st Edition. CRC Press. tr. 4. ISBN 1-58488-291-3.
  5. ^ Eric W. Weisstein (2003). CRC concise encyclopedia of mathematics, 2nd Edition. CRC Press. tr. 127–128. ISBN 1-58488-347-2.
  6. ^ K. K. Nambiar (1995). “Ackermann Functions and Transfinite Ordinals”. Applied Mathematics Letters. 8 (6): 51–53. doi:10.1016/0893-9659(95)00084-4.
  7. ^ C.W. Clenshaw and F.W.J. Olver (tháng 4 năm 1984). “Beyond floating point”. Journal of the ACM. 31 (2): 319–328. doi:10.1145/62.322429. Truy cập ngày 21 tháng 4 năm 2009.
  8. ^ W. N. Holmes (tháng 3 năm 1997). “Composite Arithmetic: Proposal for a New Standard”. Computer. 30 (3): 65–73. doi:10.1109/2.573666. Truy cập ngày 21 tháng 4 năm 2009.
  9. ^ R. Zimmermann (1997). “Computer Arithmetic: Principles, Architectures, and VLSI Design” (PDF). Lecture notes, Integrated Systems Laboratory, ETH Zürich. Truy cập ngày 17 tháng 4 năm 2009.
  10. ^ T. Pinkiewicz and N. Holmes and T. Jamil (2000). “Design of a composite arithmetic unit for rational numbers”. Proceedings of the IEEE. tr. 245–252. Truy cập ngày 17 tháng 4 năm 2009.
  11. ^ John Donner; Alfred Tarski (1969). “An extended arithmetic of ordinal numbers”. Fundamenta Mathematicae. 65: 95–127.