Thành viên:Vu Nguyen Ngoc Han/Bài toán của Apollonius
Trong hình học phẳng Euclid, bài toán của Apollonius (tiếng Anh: Apollonius's problem) là bài toàn yêu cầu dựng một đường tròn tiếp xúc với ba đường tròn cho trước trên mặt phẳng. Apollonius xứ Perga (sinh năm 262 TCN - mất năm 190 TCN) là người đề xuất bài toán này và đã tự mình giải nó, tuy nhiên chứng minh này đã bị làm thất lạc. May mắn rằng một bản lời bình của chứng minh này từ thế kỉ thứ tư sau Công nguyên do Pappus của Alexandria bình luận vẫn còn được lưu trữ. Ba đường tròn được cho trước này sẽ luôn có tám đường tròn đều tiếp xúc với cả ba, và có 4 cách để chia ba đường tròn này thành hai nhóm có tổng lực lượng là ba, từ đó tám đường tròn này tạo thành bốn lời giải có đôi đáp án cơ bản cho bài toán này.
Vào thế kỷ thứ 16, Adriaan van Roomen đã giải bài toán này bằng cách sử dụng các hyperbol cắt nhau, tuy nhiên lời giải này không thỏa mãn việc chỉ sử dụng thước kẻ và compa để dựng hình. François Viète đã tìm ra một lời giải bằng việc đưa bài toán tới các trường hợp cực hạn, rằng ba đường tròn cho trước có thể được thu nhỏ lại trở thành một điểm hoặc có thể được kéo dài ra trở thành một đường thẳng. Với cách tiếp cận của Viète - sử dụng các trường hợp cực hạn đơn giản để giải quyết cho trường hợp tổng quát, đây cũng là tiếp cận được cho là giống với phương pháp giải của Apollonius nhất. Hướng tiếp cận của van Roomen cũng đã được đơn giản hóa bởi Isaac Newton, người đã chứng minh rằng bài toán của Apollonius tương đương với việc tìm một điểm với các khoảng cách cho trước với ba điểm đã biết. Sự đơn giản hóa của Isaac Newton có nhiều ứng dụng trong định hướng và các hệ thống định vị, ví dụ như LORAN.
Các nhà toán học sau này đã tiếp cận bài toán theo hướng đại số, thông qua việc chuyển một bài toán hình học trở thành các phương trình đại số.Các phương pháp này được đơn giản hóa bằng việc tận dụng các tính chất đối xứng trong bài toán của Apollonius. Joseph Diez Gergonne đã sử dụng sự đối xứng trong bài toán này để đưa ra một chứng minh bằng dựng hình thuần túy, trong khi các nhà toán học khác sử dụng các phép biến đổi hình học như đẳng phương để đơn giản hóa các đường tròn đã cho.
Bài toán của Apollonius làm tiền đề cho nhiều nghiên cứu khác xa hơn, ví dụ như trường hợp tổng quát trong không gian - dựng một mặt cầu tiếp xúc với bốn mặt cầu cho trước và xa hơn nữa đã được xét tới. René Descartes đã đưa ra một công thức tổng quát liên hệ bán kính của đường tròn cần tìm với các đường tròn cho trước, mà nay biết tới là định lý Descartes. Việc giải bài toán của Apollonius cũng dẫn tới việc tạo ra gioăng Apollonian, một trong những phân dạng sớm nhất được mô tả, và gioăng này quan trọng trong lĩnh vực lý thuyết số thông qua đường tròn Ford và phương pháp đường tròn Hardy-Littlewood.