Quan hệ hai ngôi

Trong toán học, một quan hệ hai ngôi (hay còn gọi là quan hệ nhị phân) trên hai tập A và B là một tập các cặp được sắp (a, b), chứa các phần tử a thuộc A và các phần tử b thuộc B. Đó là một tập con của tích Descartes A × B. Nó mã hóa thông tin quan hệ: một phần tử a có liên quan với một phần tử b khi và chỉ khi cặp (a, b) thuộc về một tập hợp. Quan hệ hai ngôi là một dạng quan hệ được nghiên cứu nhiều nhất trong số các quan hệ toán học.

Một ví dụ trong quan hệ hai ngôi thường thấy là phép chia hết trên tập số nguyên tố $\mathbb {P}$ và tập số nguyên $\mathbb {Z}$,trong đó mỗi số nguyên p quan hệ với mỗi số nguyên z là bội của p, và không quan hệ với số không chia hết p. Ví dụ như số 2 có quan hệ với -4, 0, 6 nhưng không có quan hệ với các số -1, 9.

Quan hệ hai ngôi được sử dụng trong các lĩnh vực toán học để làm mẫu rất nhiều khái niệm. Ta có các ví dụ như:

• Quan hệ "lớn hơn", "bằng", "chia hết" trong Số học.
• Quan hệ "tương đẳng" trong Hình học.
• Quan hệ "kề nhau" trong Lý thuyết đồ thị.
• Quan hệ "trực giao" trong Đại số tuyến tính.

Một hàm số cũng có thể được coi là một dạng đặc biệt trong quan hệ hai ngôi . Quan hệ hai ngôi được sử dụng phổ biến trong Khoa học máy tính.

Một quan hệ hai 2 ngôi trên 2 tập X và Y là một phần tử trong tập lũy thừa X × Y. Bởi tập lũy thừa được xếp thứ tự theo phép chứa. Mỗi mối quan hệ có vị trí trong lưới của các tập con của X × Y.

Bởi các quan hệ là các tập hợp. Ta có thể biến đổi chúng bằng các phép toán trong tập hợp như phép hợp, phép giao và phép bù, thỏa mãn các định luật trong đại số tập hợp. Hơn nữa, ta còn có phép nghịch đảo của quan hệ và phép hợp hàm của quan hệ, thỏa mãn các định luật trong giải tích của quan hệ.

Trong một số hệ thống trong lý thuyết tiên đề tập hợp, các quan hệ hai ngôi được mở rộng thành các lớp (lớp là dạng tổng quát của tập hợp). Việc mở rộng này cần thiết cho việc mô tả khái niệm "là một phần tử của" hay "là tập con của" trong lý thuyết tập hợp mà không bị vướng với các mâu thuẫn logic như Nghịch lý Russell.

Định nghĩa

Cho hai tập X và Y, Tích đề các $X\times Y$ được định nghĩa $\{(x,y):x\in X{\text{ và }}y\in Y\},$ và các phần tử của nó là các cặp được sắp.

Quan hệ hai ngôi R trên tập X và tập Y là tập con của $X\times Y.$ Tập X được gọi là miền hoặc tập đi củaR, tập Y thì được gọi là đối miền hoặc tập đích của R. Tập G biểu diễn quan hệ là tập con của $X\times Y$ được gọi là đồ thị của quan hệ hai ngôi. Câu $(x,y)\in R$ được đọc là "x có quan hệ R với y" và ký hiệu là xRy. Miền xác định của R là tập các giá trị x sao cho xRy với ít nhất 1 giá trị y. Đối miền xác định hay còn được gọi là ảnh hoặc miền giá trị của R là tập các giá trị y sao cho xRy với ít nhất 1 giá trị x. Trường của R là hội của miền xác định và đối miền xác định.

Khi $X=Y,$ thì quan hệ hai ngôi được gọi là quan hệ đồng nhất. Ngược lại thì quan hệ được gọi là quan hệ không đồng nhất.

Cần để ý đến thứ tự của phần tử trong quan hệ hai ngôi bởi nếu $x\neq y$ thì giá trị đúng sai của yRx không phụ thuộc vào xRy. Để lấy ví dụ: 9 chia hết cho 3 nhưng 3 không có chia hết cho 9.

Các ví dụ

Ví dụ 2

A B′	cốc	bát	đũa	thìa
W	+	−	−	−
X	−	−	+	−
Z	−	+	−	−

Ví dụ 1

A B	cốc	bát	đũa	thìa
W	+	−	−	−
X	−	−	+	−
Y	−	−	−	−
Z	−	+	−	−

1) Ví dụ sau cho thấy tầm quan trọng trong việc chọn đối miền. Giả sử ta có tập 4 vật thể $A=\{{\text{cốc, bát, đũa, thìa}}\}$ và tập 4 bạn $B=\{{\text{W, X, Y, Z}}\}.$ Giả sử quan hệ giữa A và B là quan "được sở hữu bởi" cho như sau: $R=\{({\text{cốc, W}}),({\text{bát, X}}),({\text{thìa, Z}})\}.$ Nghĩa là W sở hữu cái cốc, X thì có cái bát còn Z thì sở hữu cái thìa. Không ai sở hữu cái đũa và Chinh thì không sở hữu cái gì cả, xem ví dụ 1. Bởi trong tập R không có Y nên tập R có thể được xem là tập con của $A\times \{{\text{W, X, Z}}\},$ hay nói cách khác mối quan hệ giữa A và $\{{\text{W, X, Z}}\},$ xem ví dụ 2. Ví dụ 2 có tính toàn ánh (xem dưới) trong khi ví dụ 1 thì không.

Các đại dương và châu lục (ẩn các đảo)

Đại dương kề châu lục

	NA	SA	AF	EU	AS	AU	AA
Ấn độ dương	0	0	1	0	1	1	1
Nam đại dương	1	0	0	1	1	0	0
Bắc băng dương	1	1	1	1	0	0	1
Thái bình dương	1	1	0	0	1	1	1

2) Đặt A = {Ấn độ dương, Nam đại dương, Bắc băng dương, Thái bình dương} là tập đại dương và B = { NA, SA, AF, EU, AS, AU, AA }, tập các châu lục. Giả sửaRb là quan hệ a kề với b. Khi đó ma trận logic của quan hệ này là:

$R={\begin{pmatrix}0&0&1&0&1&1&1\\1&0&0&1&1&0&0\\1&1&1&1&0&0&1\\1&1&0&0&1&1&1\end{pmatrix}}.$

Tính kết nối của trái đất có thể xem qua R R^T và R^T R, cái đầu là quan hệ phổ dụng $4\times 4$ trên A ($A\times A$ hoặc ma trận logic bao gồm toàn giá trị 1). Quan hệ phổ dụng này phản ánh mỗi đại dương đều cách các đại dương khác ít nhất 1 châu lục. Mặt khác, R^T R là quan hệ trên $B\times B$ nhưng không phổ dụng bởi phải đi qua ít nhất hai đại dương để đi từ châu Âu đến châu Úc.

3) Ta có thể biểu diễn các quan hệ hai ngôi bằng đồ thị: Đối với các quan hệ trên cùng 1 tập (quan hệ đồng nhất), đồ thị có hướng thường được dùng để mô tả quan hệ , trong trường hợp quan hệ đó là quan hệ đối xứng thì có thể dùng đồ thị không hướng. Đối với quan hệ không đồng nhất, siêu đồ thị có cạnh có thể nối nhiều hơn hai nút có thể biểu diễn bằng đồ thị hai phía.

Clique là phần không thể thiếu khi xét các quan hệ đồng nhất, còn clique hai chiều thì được dùng khi xét các quan hệ không đồng nhất; thật vậy, "dựa vào" đó ta có thể sinh ra lưới của quan hệ.

Các trục t biểu diễn thời gian cho người xem đang trong trạng thái di chuyển, các trục x tương ứng là các dòng xảy ra đồng thời

4) Trực giao hyperbol: Thời gian và không gian là hai phạm trù khác nhau với các tính chất thời gian phân biệt với không gian. Ý tưởng của việc sự việc đồng thời khá đơn giản trong không gian và thời gian tuyệt đối bởi mỗi thời điểm t ta xác định đồng thời một siêu phẳng trong vũ trụ đó. Herman Minkowski thay đổi ý tưởng trên bằng việc đưa ra khái niệm đồng thời tương đối, cái mà chỉ tồn tại khi các sự kiện không gian "chuẩn tắc" với thời gian được đặc trưng bởi vận tốc. Ông sử dụng một tích nội không giới hạn và chỉ ra rằng vecto thời gian chuẩn tắc với vecto không gian khi tích đó bằng không. Tích nội không giới hạn trong đại số hợp được tính như sau:

$<x,z>\ =\ x{\bar {z}}+{\bar {x}}z\;$ trong đó thanh ngang trên đầu hiển thị liên hợp.

Nếu ta xét quan hệ hai ngôi giữa sự kiện thời gian và sự kiện không gian, trực giao hyperbol (cũng được tìm thấy trong số tách phức) là quan hệ không đồng nhất

Các dạng đặc biệt của quan hệ

Ví dụ của 4 dạng quan hệ hai ngôi trên tập số thực: 1-1 (màu xanh lá cây), 1-nhiều (xanh dương), nhiều-1 (màu đỏ), nhiều-nhiều (màu đen).

Một số dạng quan trọng của quan hệ R trên tập X và Y là:

• đơn ánh (cũng được gọi là duy nhất trái): với mọi $x,z\in X$ àv $y\in Y,$ nếu xRy àv zRy thì x = z. Đối với quan hệ như vậy, {Y} được gọi là khóa chính của R. Ví dụ như, quan hệ xanh lá và xanh dương trong biểu đồ có tính đơn ánh, nhưng màu đỏ thì không (bởi −1 và 1 quan hệ với 1), và màu đen cũng không bởi (−1 và 1 quan hệ với 0).
• phiếm hàm (cũng được gọi là duy nhất phải,): với mọi $x\in X$ và tất cả $y,z\in Y,$ nếu xRy àv xRz thì y = z. Quan hệ hai ngôi như vậy được gọi là bán hàm. Trong quan hệ đó, $\{X\}$ được gọi là khóa chính của R. Ví dụ như, quan hệ màu xanh là và màu đỏ có tính phiếm hàm nhưng không phải màu xanh dương bởi (1 quan hệ với cả −1 và 1) và màu đen cũng không bởi (0 quan hệ với −1 và 1).
• 1-1: đơn ánh và phiếm hàm.
• 1-Nhiều: đơn ánh nhưng không phiếm hàm.
• Nhiều-1: phiếm hàm nhưng không đơn ánh.
• Nhiều-nhiều: không phiếm hàm cũng không đơn ánh

Quan hệ đồng nhất

Bài chi tiết: Quan hệ đồng nhất

Quan hệ đồng nhất trên tập X là quan hệ hai ngôi giữa X với chính nó hay tập quan hệ là tập con của tích decac $X\times X.$ Người ta thường gọi ngắn đi là quan hệ trên X.

Quan hệ đồng nhất R trên tập X có thể được xét bằng đồ thị có hướng cho phép vòng, với X là tập đỉnh và R là tập các cạnh (có cạnh giữa đỉnh x với đỉnh y nếu xRy). Tập tất cả các quan hệ hai ngôi ${\mathcal {B}}(X)$ trên tập X là tập lũy thừa $2^{X\times X}$, hay còn là đại số Boolean đi kèm với hàm tự nghịch đảo ánh xạ một quan hệ sang quan hệ ngược của nó. Xét việc hợp quan hệ làm phép toán hai ngôi trên ${\mathcal {B}}(X)$, nó tạo thành nửa nhóm với hàm tự nghịch đảo.

Một số tính chất quan trọng của quan hệ đồng nhất R trên tập X là:

• Phản xạ: với $x\in X,$ xRx. For example, $\,\geq \,$ là quan hệ phản xạ nhưng > thì không.
• Không phản xạ: với mọi $x\in X,$ không xRx.Ví dụ, $\,>\,$ là quan hệ không phản xạ nhưng $\,\geq \,$ thì không phản xạ.
• Đối xứng: với mọi $x,y\in X,$ nếu xRy thì yRx. Ví dụ, "là họ hàng của" là quan hệ đối xứng.
• Phản đối xứng: với mọi $x,y\in X,$ nếu xRy àv yRx thì $x=y.$ Ví dụ, $\,\geq \,$ là quan hệ phản đối xứng.
• Bán đối xứng: với mọi $x,y\in X,$ nếu xRy thì không yRx. Quan hệ bán đối xứng khi và chỉ khi nó không phản xạ và phản đối xứng. Ví dụ, > là quan hệ bán đối xứng, nhưng $\,\geq \,$ thì không.
• Bắc cầu: với mọi $x,y,z\in X,$ nếu xRy và yRz thì xRz. Quan hệ có tính bắc cầu mang thêm tính không phán xạ khi và chỉ khi nó bán đối xứng. Ví dụ, "là tổ tiên của" là quan hệ bắc cầu nhưng "là cha mẹ của" thì không.
• Kết nối: với mọi $x,y\in X,$ nếu $x\neq y$ thì xRy hoặc yRx.
• Kết nối mạnh: với $x,y\in X,$ xRy hoặc yRx.

Sách

• Enderton, Herbert (1977), Elements of set theory, Boston, MA: Academic Press, ISBN 978-0-12-238440-0.
• M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev (2000) Monoids, Acts and Categories: with Applications to Wreath Products and Graphs, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, ISBN 3-11-015248-7.
• Charles Sanders Peirce (1870) Description of a Notation for the Logic of Relatives from Google Books
• Gunther Schmidt (2010) Relational Mathematics Cambridge University Press ISBN 978-0-521-76268-7.

Liên kết ngoài

• Bản mẫu:Thể loại Commonsinline
• Hazewinkel, Michiel biên tập (2001), “Binary relation”, Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4