Định lý phạm trù Baire

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Định lý phạm trù Baire là định lý quan trọng trong topo, trong giải tích hiện đại, định lý mang tên nhà toán học người Pháp René-Louis Baire (1874 - 1932).

Định lý có hai dạng, mỗi dạng cung cấp một điều kiện đủ để một không gian topo trở thành một không gian Baire.

Phát biểu[sửa | sửa mã nguồn]

Định nghĩa không gian Baire[sửa | sửa mã nguồn]

Cho (X,τ) là một không gian topo. (X,τ) được giọi là không gian Baire nếu như cho bất kì một họ {An} đếm được các tập đóng có phần trong rỗng (trong (X,τ)) thì An có phần trong rỗng (trong (X,τ)).

Nội dung định lý phạm trù Baire[sửa | sửa mã nguồn]

Chứng minh[sửa | sửa mã nguồn]

Dưới đây là chứng minh cho mọi không gian Compact địa phương Hasdroffkhông gian Baire.

Cho S là một không gian Compact địa phương Hasdroff, chứng minh cho Skhông gian Baire.

Cho V1,V2,V3,...là các tập mởtrù mật trong S, cho B0tập mở (khác rỗng) bất kì trong S. Chứng minh cho (Vn)B0.

V1 trù mật trong S nên V1B0.

Sử dụng mệnh đề sau: Cho (X,τ) là một không gian Compact địa phươngHausdroff, K là tập Compact trong (X,τ)U là một tập mở của (X,τ) thỏa K U. Khi đó, tồn tại tập mở V trong (X,τ) với Cl(V) là tập Compact và thỏa K V Cl(V) U.

Khi đó tìm được tập mở B1 trong S sao cho Cl(B1) V1B0 thỏa B1 là tập Compact và khác rỗng.

Tìm tập mở B2 thỏa mãn Cl(B2) V2B1 thỏa Cl(B2) là Compact. Dựa vào tính chất trù mật của V2 nên V2B1. Cách tìm B2 tương tự cách tìm với B1.

Với cách xây dựng các Bn tương tự, được một dãy tập mở B0, B1, B2, B3,... trong S với B0 Cl(B1) Cl(B2) ... thỏa Cl(Bn) VnBn-1 ∀n1, sao cho Cl(Bn) Compact và không rỗng.

Cuối cùng, sử dụng lý luận căn bản về các phép toán trên tập hợp, chứng minh (Vn)B0.

Một số Lưu ý[sửa | sửa mã nguồn]

Một số ứng dụng[sửa | sửa mã nguồn]

  • Một số định lý quan trọng
  1. Định lý 1
Cho một dãy các tập đóng không rỗng lồng nhau K1 K2 ...trong không gian metric đầy đủ (X,d). Nếu như diam Kn0 thì Kn.
  1. Định lý 2
Cho X là một không gian. (Y,d) là không gian metric. Cho {fn} là dãy các hàm liên tục từ X vào Y, thỏa mãn fn (x) f(x) với mọi x thuộc X, với fánh xạ từ X vào Y.
Khi đó, nếu Xkhông gian Baire thì tập hợp tất cả các điểm mà f liên tục trù mật trong X.
  1. Không gian các số thực R.
  2. Không gian các số vô tỉ.
  3. Tập hợp Cantor.
  4. Mọi đa tạp.
  5. Mọi không gian tô pô đẳng cấu với một không gian Baire.

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  • Schechter, Eric, Handbook of Analysis and its Foundations, Academic Press, ISBN 0-126-22760-8.
  • James Munkres(2000), Topology: A frist course, 2nd edition, Prentice-Hall, New Jersey.