Biến đổi Fourier

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm
Biến đổi Fourier
Biến đổi Fourier liên tục
Chuỗi Fourier
Biến đổi Fourier rời rạc
Biến đổi Fourier theo thời gian gián đoạn

Biến đổi Fourier hay chuyển hóa Fourier, được đặt tên theo nhà toán học người Pháp Joseph Fourier, là một biến đổi tích phân dùng để khai triển một hàm số theo các hàm số sin cơ sở, có nghĩa là dưới dạng tổng hay một tích phân của các hàm số sin được nhân với các hằng số khác nhau (hay còn gọi là biên độ). Biến đổi Fourier có rất nhiều dạng khác nhau được mô tả dưới đây, chúng phụ thuộc vào dạng của hàm được khai triển.

Ứng dụng[sửa | sửa mã nguồn]

Biến đổi Fourier có rất nhiều ứng dụng khoa học, ví dụ như trong vật lý, số học, xử lý tín hiệu, xác suất, thống kê, mật mã, âm học, hải dương học, quang học, hình học và rất nhiều lĩnh vực khác. Trong xử lý tín hiệu và các ngành liên quan, biến đổi Fourier thường được nghĩ đến như sự chuyển đổi tín hiệu thành các thành phần biên độtần số. Sự ứng dụng rộng rãi của biến đổi Fourier bắt nguồn từ những tính chất hữu dụng của biến đổi này:

Các dạng của biến đổi Fourier[sửa | sửa mã nguồn]

Biến đổi Fourier liên tục[sửa | sửa mã nguồn]

Thông thường, tên gọi biến đổi Fourier được gắn cho biến đổi Fourier liên tục, biến đổi này biểu diễn một hàm bình phương khả tích f(t) bất kì theo tổng của các hàm e lũy thừa phức với tần số góc ω và biên độ phức F(ω):

f(t) = \mathcal{F}^{-1}(F)(t)=
  \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{i\omega t}\,d\omega.

Đây là biến đổi nghịch đảo của biến đổi Fourier liên tục, trong khi biến đổi Fourier biểu diễn hàm F(ω) theo f(t). Xem biến đổi Fourier liên tục để biết thêm chi tiết.

Chuỗi Fourier[sửa | sửa mã nguồn]

Bài chi tiết: chuỗi Fourier

Biến đổi Fourier liên tục là dạng tổng quát của một khái niệm có từ trước, đó là chuỗi Fourier. Chuỗi Fourier khai triển các hàm tuần hoàn f(x) với chu kì 2π (hoặc các hàm có tập xác định bị chặn) theo chuỗi của các hàm sin:

f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \,e^{inx},

trong đó F_n là biên độ phức. Cho các hàm thực, chuỗi Fourier có thể được viết dưới dạng:

f(x) = \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right],

trong đó anbn là các hằng số Fourier (giá trị thực).

Biến đổi Fourier rời rạc[sửa | sửa mã nguồn]

Các dạng khác[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]