Nguyên hàm

Trong bộ môn giải tích, một nguyên hàm của một hàm số thực cho trước f là một hàm F có đạo hàm bằng f, nghĩa là, F′ = f. Quá trình tìm nguyên hàm được gọi là tích phân bất định. Tìm một biểu thức cho nguyên hàm là công việc khó hơn so với việc tìm đạo hàm, và không phải luôn luôn thực hiện được. Nguyên hàm được liên hệ với tích phân thông qua định lý cơ bản của giải tích, cung cấp một phương tiện tiện lợi để tính toán tích phân của nhiều hàm số.

Ví dụ

Hàm F(x) = x³/3 là một nguyên hàm của f(x) = x². Vì đạo hàm của một hằng số bằng không, x² sẽ có vô số nguyên hàm; chẳng hạn (x³/3) + 0, (x³ / 3) + 7, (x³ / 3) − 36, v.v... Do đó, họ các nguyên hàm của x² được biểu thị tổng quát bởi F(x) = (x³ / 3) + C; với C là một hằng số bất kỳ.

Tính chất

Các nguyên hàm có ý nghĩa quan trọng vì chúng được dùng để tính toán các tích phân, sử dụng định lý cơ bản của giải tích: nếu F là một nguyên hàm của f, thì:

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).$

Vì lý do này, tập hợp tất cả các nguyên hàm của một hàm f cho trước đôi khi được gọi là tích phân bất định của f và được ký hiệu bằng dấu tích phân, không có các cận:

$\int f(x)\,dx.$

Nếu F là một nguyên hàm của f, và hàm f xác định trên một khoảng nào đó, thì mọi nguyên hàm G khác của f khác với F bởi một hằng số: tồn tại một số C sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x. Nếu tập xác định của F gồm hai hay nhiều khoảng, thì có thể chọn những hằng số khác nhau trên mỗi khoảng. Ví dụ

$F(x)={\begin{cases}-{\frac {1}{x}}+C_{1}\quad x<0\\-{\frac {1}{x}}+C_{2}\quad x>0\end{cases}}$

là nguyên hàm tổng quát nhất của $f(x)=1/x^{2}$ trên tập xác định $(-\infty ,0)\cup (0,\infty ).$ của nó.

Mọi hàm liên tục f đều có nguyên hàm.

Có nhiều hàm số có nguyên hàm nhưng không thể biểu diễn dưới dạng các hàm sơ cấp. Ví dụ :$\int e^{-x^{2}}\,dx,\qquad \int {\frac {\sin(x)}{x}}\,dx,\qquad \int {\frac {1}{\ln x}}\,dx.$

Xin xem lý thuyết vi phân Galois để thảo luận chi tiết hơn.