Định lý tang

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm
Hình 1 - Tam giác với ba cạnh a, b, c và ba góc đối diện α, β, γ

Trong lượng giác, định lý tang[1] biểu diễn mối liên quan giữa chiều dài hai cạnh của một tam giác và tang của hai góc đối diện với hai cạnh đó.

Với các kí hiệu trong hình bên, định lý tang được biểu diễn:

\frac{a-b}{a+b} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)]}{\tan[\frac{1}{2}(\alpha+\beta)]}.

Chứng minh[sửa | sửa mã nguồn]

Chứng minh định lý tang dựa vào định lý sin:

\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}.

Đặt

d = \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta},

ta có

a = d \sin\alpha \text{ and }b = d \sin\beta. \,

Do đó

\frac{a-b}{a+b} = \frac{d \sin \alpha - d\sin\beta}{d\sin\alpha + d\sin\beta} = \frac{\sin \alpha - \sin\beta}{\sin\alpha + \sin\beta}.

Dùng công thức lượng giác

 \sin(\alpha) \pm \sin(\beta) = 2 \sin\left( \frac{\alpha \pm \beta}{2} \right) \cos\left( \frac{\alpha \mp \beta}{2} \right), \;

ta có

\frac{a-b}{a+b} =  \frac{2\sin\tfrac{1}{2}\left(\alpha-\beta\right)\cos\tfrac{1}{2}\left(\alpha+\beta\right)}{2\sin\tfrac{1}{2}\left(\alpha+\beta \right)\cos\tfrac{1}{2}\left(\alpha-\beta\right)} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)]}{\tan[\frac{1}{2}(\alpha+\beta)]}. \qquad\blacksquare

Hoặc có thể chứng minh theo cách khác bằng công thức sau

 \tan\left( \frac{\alpha \pm \beta}{2} \right) = \frac{\sin\alpha \pm \sin\beta}{\cos\alpha + \cos\beta}

(xem công thức tang góc chia đôi).

Ứng dụng[sửa | sửa mã nguồn]

Từ công thức

\tan[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)] = \frac{a-b}{a+b} \tan[\frac{1}{2}(\alpha+\beta)]= 
\frac{a-b}{a+b} \cot[\frac{\gamma}{2}]

ta tính được \alpha-\beta nếu biết hai cạnh a, b của một tam giác và góc xen giữa \gamma hai cạnh đó. Biết \alpha+\beta=180^\circ-\gamma ta tính được \alpha\beta. Cạnh thứ ba c có thể tính bằng Định lý sin.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ See Eli Maor, Trigonometric Delights, Princeton University Press, 2002.