Hàm phân phối xác suất

Đồ thị của một hàm phân phối xác suất. Mọi giá trị của hàm phải không âm và có tổng bằng 1.

Trong lý thuyết xác suất, hàm phân phối xác suất (probability mass function, viết tắt PMF) là một hàm số liên hệ với một biến ngẫu nhiên rời rạc, cung cấp thông tin xác suất để một biến ngẫu nhiên rời rạc $X$ bằng với một giá trị $x$ nào đó trong miền giá trị của nó.

Định nghĩa

Hàm phân phối xác suất của một con xúc xắc chuẩn. Mọi mặt của con xúc xắc đều có cơ hội xuất hiện ngang nhau khi ta thả con xúc xắc.

Hàm khối xác suất của phân phối nhị thức với các tham số khác nhau. Đường thẳng nối các chấm nhằm mục đích minh họa.

Với $X:\Omega \to D$ là một biến ngẫu nhiên rời rạc, tương ứng với mỗi $\omega \in \Omega$ với một giá trị $X(\omega )$ trong tập rời rạc $D$ (nghĩa là tập này có hữu hạn hoặc vô hạn đếm được các phần tử). Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên này là hàm $p:\mathbb {R} \to [0,1]$ được định nghĩa bởi công thức

$p_{X}(x)=P(X=x)$

với $-\infty <x<\infty$ và $P$ là độ đo xác suất.

Ví dụ

Giả sử $X$ là đầu ra của phép thử gieo 1 đồng xu đồng chất, gán giá trị 0 cho mặt sấp và 1 cho mặt ngửa. Xác suất mà $X=x$ là $1/2$ trên với mỗi $x\in \{0,1\}$. Biến ngẫu nhiên rời rạc $X$ này có phân phối Bernoulli ${\text{Bernoulli}}(1/2)$, và nó có hàm khối xác suất là

$p_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}},&x\in \{0,1\},\\0,&x\in \mathbb {R} \backslash \{0,1\}.\end{cases}}$

Tính chất

Vì hàm khối xác suất cũng là một xác suất, nó phải thỏa mãn

1. $0\leq p_{X}(x)\leq 1,\ \,\forall x\in D$
2. $\sum _{x\in D}{p_{X}}(x)=1.$

Xem thêm

1. Biến ngẫu nhiên
2. Biến ngẫu nhiên rời rạc
3. Biến ngẫu nhiên liên tục
4. Hàm mật độ xác suất
5. Hàm phân phối tích lũy