Không gian Étalé

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Trong toán học, không gian Étalé

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

(a) Một không gian Étalé trên một không gian tôpô X là một không gian tôpô Y cùng với một toàn ánh liên tục π:Y → X sao cho π là một đồng phôi địa phương. Kí hiệu là (Y,π,X).

(b) Một nhát cắt của một không gian étalé (Y,π,X) trên một tập mở U, trong X, là một ánh xạ liên tục f:U → Y sao cho . Tập các nhát cắt trên U được kí hiệu bởi Γ(U,Y).

Ta sẽ kết hợp một tiền bó bất kỳ trên X một không gian étalé sao cho bó các nhát cắt của cho một mô hình khác của nếu là một bó.

Xét tiền bó trên X, và đặt là giới hạn xạ ảnh của các tập theo các ánh xạ hạn chế của . Nếu có một cấu trúc đại số mà được bảo toàn qua giới hạn xạ ảnh, thì , được gọi là thớ của tại x, sẽ có cấu trúc đó.

Có một ánh xạ tự nhiên được cho bằng cách gán các phần tử trong với lớp tương đương của nó qua giới hạn xạ ảnh. Nếu , thì được gọi là mầm của s tại x, và s được gọi là một đại diện cho mầm . Đặt và đặt là phép chiếu tụ nhiên gán các điểm trong với x.Để là một không gian étalé, chỉ cần trang bị cho một tôpô sao cho là liên tục và là một đồng phôi địa phương. Với mỗi định nghĩa hàm tập bằng cách đặt với mỗi . Để ý rằng . Đặt { trong đó U là mở trong X, } là một cơ sơ cho tôpô của . Khi đó, tất cả các hàm là liên tục. Hơn nữa, dễ dàng kiểm tra rằng là liên tục và là một đồng phôi địa phương.

Do vậy ta đã kết hợp mỗi tiền bó trên X một không gian étalé. Trong việc kết hợp một không gian étalé với một tiền bó , ta cũng đã kết hợp một bó với , gọi là bó các nhát cắt của . Chúng ta gọi bó này là bó được sinh bởi . Để thấy rõ hơn mối quan hệ giữa tiền bó và bó các nhát cắt của mà ta gọi là từ lúc này trở đi. Chúng ta cũng đã sử dụng một kết quả là có một đồng cấu tiền bó, kí hiệu bởi , nghĩa là được cho bởi . Trong trường hợp là một bó, ta có kết quả cơ bản sau đây. Tuy nhiên ta bỏ qua chứng minh của nó.

Định lí[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu là một bó, thì là một đăng cấu bó.

Định lí nói rằng với mỗi bó Ta có thể kết hợp một không gian étalé mà bó các nhát cắt của nó là bó ban đầu; tức là, chứa cùng lượng thông tin như .

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Các chủ đề chính trong toán học
Nền tảng toán học | Đại số | Giải tích | Hình học | Lý thuyết số | Toán học rời rạc | Toán học ứng dụng |
Toán học giải trí | Toán học tô pô | Xác suất thống kê