Đường cao (tam giác)

Trực tâm

Đường cao của tam giác là đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến cạnh đối diện. Cạnh đối diện này được gọi là đáy ứng với đường cao. Độ dài của đường cao là khoảng cách giữa đỉnh và đáy.

Trong một tam giác cân (có hai cạnh bằng nhau), trung điểm của cạnh đáy là chân đường cao hạ từ đỉnh. Độ dài đường cao được sử dụng để tính diện tích của một tam giác: diện tích tam giác bằng nửa tích đường cao nhân với đáy.

Độ dài đường cao

Có rất nhiều cách để tính độ dài đường cao, cách đơn giản để tính độ dài đường cao khi có độ dài ba cạnh là dùng công thức Heron

$h_{a}=2{\frac {\sqrt {p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}{a}}$

Với a, b, c là độ dài các cạnh; p là nửa chu vi ta có:

$p={\frac {(a+b+c)}{2}}$

Qua các hàm số lượng giác, có thể dùng đường cao để xác định độ dài cạnh.

Trực tâm

Ba đường cao của tam giác đồng quy tại một điểm, gọi là trực tâm của tam giác.

Tính chất: "Khoảng cách từ một đỉnh tới trực tâm của một tam giác bằng hai lần khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó đến trung điểm cạnh nối hai đỉnh còn lại".

• Chú ý: Trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh của tam giác vuông đó.

Tính chất:

Trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao xuất phát từ đỉnh đối diện của cạnh đó.

Trực tâm của tam giác nhọn ABC trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác tạo bởi ba đỉnh là chân ba đường cao từ các đỉnh A,B,C đến các cạnh BC,AC,AB tương ứng.

Định lý Carnot: Đường cao tam giác ứng với một đỉnh cắt đường tròn ngoại tiếp tại điểm thứ hai là đối xứng của trực tâm qua cạnh tương ứng.

Sách tham khảo

• Durell, C. V. Modern Geometry: The Straight Line and Circle. London: Macmillan, p. 20, 1928.
• Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, 1929.
• Bogomolny, A. "The Altitudes." http://www.cut-the-knot.org/triangle/altitudes.html.
• Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. "More on the Altitude and Orthocentric Triangle." §2.4 in Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 9 and 36-40, 1967.