Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Phương trình Diophantos”

Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào

Nội tuyến

Phiên bản lúc 17:24, ngày 26 tháng 8 năm 2022

Việc tìm tất cả các tam giác vuông có cạnh nguyên tương đương với việc giải phương trình Diophantos $a 2 + b 2 = c 2$ .

Trong toán học, phương trình Diophantos là phương trình đa thức, thường bao gồm ít nhất hai biến và các nghiệm của phương trình phải là số nguyên. Phương trình Diophantos tuyến tính là phương trình trong đó tổng của hai hay nhiều hơn đơn thức bằng với một hằng số nào đó, và mỗi đơn thức có bậc một. Phương trình Diophantos mũ là phương trình mà trong đó biến nằm trong số mũ của lũy thừa nào đó.

Các bài toán Diophantos thường có ít phương trình hơn số biến và yêu cầu phải tìm tất cả các số nguyên là nghiệm của tất cả các phương trình. Bởi vậy, từ hệ phương trình ta định nghĩa ra đường cong đại số, mặt phẳng đại số, hay tổng quát hơn là tập đại số. Việc học và nghiên cứu các khái niệm này là một phần của hình học đại số, nhánh đó được gọi là hình học Diophantos.

Từ Diophantos nói đến nhà toán học Hy Lạp của thế kỷ thứ ba, Diofantos xứ Alexandria, người đã nghiên cứu các phương trình dưới dạng đó, và là một trong những nhà toán học đầu tiên giới thiệu các ký hiệu toán học cho đại số. Việc nghiên cứu các bài toán Diophantos được gọi là giải tích Diophantos.

Trong khi các bài toán riêng lẻ thường được dùng làm bài đố và được xét từng bài một qua lịch sử, tìm ra lý thuyết tổng quát cho các phương trình Diophantos (trên cả trường hợp tuyến tính và toàn phương) được coi là thành tựu của toán học thế kỷ 20.

Các ví dụ

Trong các phương trình Diophantos sau, $w$ , $x$ , $y$ , and $z$ là các ẩn số và các ký tự chữ cái khác là các hằng số cho trước:

$ax + by = c$	Đây là phương trình Diophantos tuyến tính.
$w 3 + x 3 = y 3 + z 3$	Nghiệm nguyên dương nhỏ nhất không tầm thường là 12³ + 1³ = 9³ + 10³ = 1729. Nó được tìm thấy bởi tính chất đặc biệt của số 1729, còn gọi là số taxicab (hay còn được đặt tên là số Hardy–Ramanujan) bởi Ramanujan với Hardy khi gặp mặt nhau vào năm 1917.^[1] Có vô số nghiệm không tầm thường.^[2]
$x n + y n = z n$	Với $n$ = 2, có vô số nghiệm $(x, y, z)$ : là các bộ ba số Pythagoras. Đối với các số $n$ lớn hơn, định lý lớn Fermat (bắt nguồn từ năm 1637 bởi Fermat và được chứng minh bởi Andrew Wiles trong 1995^[3]) phát biểu rằng không có nghiệm nguyên dương nào tồn tại cho $(x, y, z)$ .
$x 2 - ny 2 = \pm1$	Đây là phương trình Pell, được theo tên nhà toán học Anh John Pell. Nó được nghiên cứu bởi Brahmagupta trong thế kỷ thứ bảy, và bởi Fermat vào thế kỷ 17.
$.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}4/n = 1/x + 1/y + 1/z$	Giả thuyết Erdős–Straus phát biểu rằng với mọi số nguyên $n$ ≥ 2, tồn tại nghiệm cho $x$ , $y$ , và $z$ , các nghiệm này đều là số nguyên dương. Mặc dù thường không phát biểu dưới dạng đa thức, ví dụ này tương đương với phương trình đa thức: $4 xyz = yzn + xzn + xyn = n (yz + xz + xy)$ .
$x 4 + y 4 + z 4 = w 4$	Phỏng đoán sai bởi Euler rằng không có nghiệm không tầm thường nào. Được chứng minh bởi Elkies có vô số nghiệm không tầm thường. Tìm kiếm bằng máy tính cùng Frye xác định được nghiệm nhỏ nhất là: 95800⁴ + 217519⁴ + 414560⁴ = 422481⁴.^[4]^[5]

Phương trình Diophantos tuyến tính

Một phương trình

Phương trình Diophantos đơn giản nhất có dạng $ax + by = c$ , trong $a$ , $b$ và $c$ là các số nguyên được cho trước integers. Các nghiệm được tìm theo định lý sau:

Phương trình Diophantos này có nghiệm (trong đó

x

và

y

là các số nguyên) khi và chỉ khi

c

là bội của ước chung lớn nhất của

a

và

b

. Hơn nữa, nếu

(x, y)

là nghiệm của phương trình, thì các nghiệm khác có dạng

(x + kv, y - ku)

, trong đó

k

là số nguyên tùy ý, còn

u

và

v

là thương của

a

và

b

(tương ứng) chia bởi ước chung lớn nhất của

a

và

b

.

Chứng minh: Nếu $d$ là ước chung lớn nhất thì bổ đề Bézout khẳng định sự tồn tại của hai số nguyên $e$ và $f$ sao cho $ae + bf = d$ . Nếu $c$ là bội của $d$ , thì $c = dh$ với một số số nguyên $h$ , và $(eh, fh)$ là nghiệm cần tìm. Mặt khác, với mỗi cặp số nguyên $x$ và $y$ , ước chung lớn nhất $d$ của $a$ và $b$ là ước của $ax + by$ . Do đó, nếu phương trình có nghiệm thì $c$ phải là bội của $d$ . Nếu $a = ud$ và $b = vd$ , thì với mọi nghiệm $(x, y)$ , ta có

a (x + kv) + b (y - ku) = ax + by + k (av - bu) = ax + by + k (udv - vdu) = ax + by

,

suy ra $(x + kv, y - ku)$ cũng là một nghiệm khác. Cho hai nghiệm thỏa mãn $ax 1 + by 1 = ax 2 + by 2 = c$ , ta có thể suy ra rằng $u (x 2 - x 1) + v (y 2 - y 1) = 0$ . Bởi $u$ và $v$ nguyên tố cùng nhau, từ bổ đề Euclid ra được rằng $v$ là ước của $x 2 - x 1$ , do đó tồn tại số nguyên $k$ sao cho $x 2 - x 1 = kv$ và $y 2 - y 1 = - ku$ . Do vậy, $x 2 = x 1 + kv$ và $y 2 = y 1 - ku$ , hoàn thành bài chứng minh.

Định lý số dư Trung Quốc

Định lý số dư Trung Quốc mô tả một lớp quan trọng của các hệ phương trình Diophantos tuyến tính: Gọi $n 1, \dots, n k$ là $k$ số nguyên lớn hơn một và nguyên tố cùng nhau đôi một, $a 1, \dots, a k$ là $k$ số nguyên tùy ý, và $N$ là tích của $n 1 \dots n k$ . Định lý số dư Trung Quốc khẳng định rằng hệ phương trình Diophantos tuyến tính sau có duy nhất một nghiệm $(x, x 1, \dots, x k)$ sao cho $0 \leq x < N$ , và các nghiệm khác có thể thu về được bằng cách cộng vào $x$ bội của $N$ :

{\begin{aligned}x&=a_{1}+n_{1}\,x_{1}\\&\;\;\vdots \\x&=a_{k}+n_{k}\,x_{k}\end{aligned}}

Hệ phương trình Diophantos tuyến tính

Tổng quát hơn, mọi hệ phương trình Diophantos tuyến tính có thể được giải bằng cách dùng dạng chuẩn tắc Smith của ma trận của hệ, theo cách tương tự với cách khử về dạng hàng bậc thang để giải hệ phương trình tuyến tính trên một trường. Sử dụng ký hiệu ma trận mọi hệ phương trình Diophantos tuyến tính có thể được viết lại thành

A X = C

,

trong đó $A$ là ma trận kích thước $m \times n$ của các số nguyên, $X$ là ma trận cột kích thước $n \times 1$ của các ẩn số và $C$ là ma trận cột kích thước $m \times 1$ của các số nguyên.

Tính dạng chuẩn tắc Smith của $A$ cho hai ma trận đơn modula (là các ma trận khả nghịch trên số nguyên và có định thức bằng ±1) $U$ và $V$ có số chiều $m \times m$ và $n \times n$ tương ứng, sao cho ma trận

B = [b i, j] = UAV

thỏa mãn $b i, i$ khác không khi $i$ không lớn hơn số nguyên $k$ , còn các phần tử khác thì bằng không. Hệ phương trình có thể viết lại thành:

B (V -1 X) = UC

.

Gọi $y i$ là phần tử của $V -1 X$ và $d i$ là phần tử của $D = UC$ , tìm được hệ phương trình sau

b i, i y i = d i

với

1 \leq i \leq k

,

0 y i = d i

với

k < i \leq n

.

Hệ phương trình này tương đương với hệ phương trình cho trước bởi: Ma trận cột của các số nguyên $x$ là nghiệm của hệ phương trình khi và chỉ khi $x = Vy$ với một số ma trận cột $y$ thỏa mãn $By = D$ .

Từ đây, ta suy ra được rằng hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $b i, i$ là ước của $d i$ với $i \leq k$ và $d i = 0$ khi $i > k$ . Nếu điều kiện này được thỏa mãn thì các nghiệm của hệ phương trình cho trước là

V\,{\begin{bmatrix}{\frac {d_{1}}{b_{1,1}}}\\\vdots \\{\frac {d_{k}}{b_{k,k}}}\\h_{k+1}\\\vdots \\h_{n}\end{bmatrix}}\,,

trong đó $h k +1, \dots, h n$ là các số nguyên tùy ý.

Phương trình Diophantos thuần nhất

Các câu hỏi liên quan đến phương trình Diophantine

Các vấn đề sau được đặt ra khi giải một phương trình nghiệm nguyên, chúng được sắp xếp theo thứ tự từ dễ đến khó:

Phương trình có thể giải quyết được hay không, nghĩa là nó có nghiệm, hay vô nghiệm?
Nếu có nghiệm, phương trình có bao nhiêu nghiệm, có hữu hạn hay có vô số nghiệm?
Tìm tất cả nghiệm của phương trình?

Ví dụ về giải phương trình Diophantos

Đưa phương trình $(*)$ về dạng $f_{1}(x_{1};x_{2};x_{3};...;x_{n})f_{2}(x_{1};x_{2};x_{3};...;x_{n})f_{3}(x_{1};x_{2};x_{3};...;x_{n})...f_{n}(x_{1};x_{2};x_{3};...;x_{n})=a$ và $a=a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n}$ , khi đó:

⇒ $f_{1}(x_{1};x_{2};x_{3};...;x_{n})=a_{1}$ ; $f_{2}(x_{1};x_{2};x_{3};...;x_{n})=a_{2}$ ; $f_{3}(x_{1};x_{2};x_{3};...;x_{n})=a_{3}$ ;...; $f_{n}(x_{1};x_{2};x_{3};...;x_{n})=a_{n}$

Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 3xy+y+x=6

Giải: viết phương trình trên về dạng

3(3xy+y)+ 3x+1= 19

hay

3y(3x+1)+ 3x+1= 19

hay

(3y+1)(3x+1)= 19 (1)

do đó 3y+1; 3x+1

\in

Ư(19)= {1;-1;19;-19}

x,y

\in

Z và thỏa (1)

nên (x;y)=(0;6);(6;0)

2. Sử dụng một số tính chất của số nguyên

Ví dụ 1) tìm nghiệm nguyên của phương trình:

$2008x^{2009}+2009y^{2010}=2011$

Chú thích

^ “Quotations by Hardy”. Gap.dcs.st-and.ac.uk. Bản gốc lưu trữ 16 tháng Bảy năm 2012. Truy cập 20 Tháng mười một năm 2012.
^ Everest, G.; Ward, Thomas (2006), An Introduction to Number Theory, Graduate Texts in Mathematics, 232, Springer, tr. 117, ISBN 9781846280443.
^ Wiles, Andrew (1995). “Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem” (PDF). Annals of Mathematics. 141 (3): 443–551. doi:10.2307/2118559. JSTOR 2118559. OCLC 37032255.
^ Elkies, Noam (1988). “On A⁴ + B⁴ + C⁴ = D⁴” (PDF). Mathematics of Computation. 51 (184): 825–835. doi:10.2307/2008781. JSTOR 2008781. MR 0930224.
^ Frye, Roger E. (1988). “Finding 95800⁴ + 217519⁴ + 414560⁴ = 422481⁴ on the Connection Machine”. Proceedings of Supercomputing 88, Vol.II: Science and Applications. tr. 106–116. doi:10.1109/SUPERC.1988.74138.

Tham khảo

Mordell, L. J. (1969). Diophantine equations. Academic Press. ISBN 0-12-506250-8.
Schmidt, Wolfgang M. (2000). Diophantine approximations and Diophantine equations. Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag.
Shorey, T. N.; Tijdeman, R. (1986). Exponential Diophantine equations. Cambridge Tracts in Mathematics. 87. Cambridge University Press. ISBN 0-521-26826-5.
Smart, N. P. (1998). The algorithmic resolution of Diophantine equations. London Mathematical Society Student Texts. 41. Cambridge University Press. ISBN 0-521-64156-X.

Liên kết ngoài

Diophantine Equation. From MathWorld at Wolfram Research.
Diophantine Equation Lưu trữ 2016-03-08 tại Wayback Machine. From PlanetMath.
Hazewinkel, Michiel biên tập (2001), “Diophantine equations”, Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
Dario Alpern's Online Calculator. Truy cập 18 March, 2009

[1] “Quotations by Hardy”. Gap.dcs.st-and.ac.uk. Bản gốc lưu trữ 16 tháng Bảy năm 2012. Truy cập 20 Tháng mười một năm 2012.

[2] Everest, G.; Ward, Thomas (2006), An Introduction to Number Theory, Graduate Texts in Mathematics, 232, Springer, tr. 117, ISBN 9781846280443.

[wiles-3] Wiles, Andrew (1995). “Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem” (PDF). Annals of Mathematics. 141 (3): 443–551. doi:10.2307/2118559. JSTOR 2118559. OCLC 37032255.

[4] Elkies, Noam (1988). “On A⁴ + B⁴ + C⁴ = D⁴” (PDF). Mathematics of Computation. 51 (184): 825–835. doi:10.2307/2008781. JSTOR 2008781. MR 0930224.

[5] Frye, Roger E. (1988). “Finding 95800⁴ + 217519⁴ + 414560⁴ = 422481⁴ on the Connection Machine”. Proceedings of Supercomputing 88, Vol.II: Science and Applications. tr. 106–116. doi:10.1109/SUPERC.1988.74138.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

@@ Dòng 1: / Dòng 1: @@
+{{Short description|Phương trình đa thức xét nghiệm nguyên}}
-{{Nhiều vấn đề|
-{{Chú thích trong bài|date=tháng 6/2022}}
+{{Use dmy dates|date=October 2020}}
+[[File:Rtriangle.svg|thumb|Việc tìm tất cả các [[bộ ba số Pythagoras|tam giác vuông có cạnh nguyên]] tương đương với việc giải phương trình Diophantos {{math|1=''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> = ''c''<sup>2</sup>}}.]]
-{{Cần biên tập|date=tháng 6/2022}}
-}}
-'''Phương trình Diophantine''' (tiếng Anh: ''diophantine equation''), '''phương trình Đi-ô-phăng''' hay '''phương trình nghiệm nguyên bất định''' có dạng
+Trong [[toán học]], '''phương trình Diophantos''' là [[phương trình đa thức]], thường bao gồm ít nhất hai [[biến (toán học)|biến]] và các nghiệm của phương trình phải là số nguyên. '''Phương trình Diophantos tuyến tính''' là phương trình trong đó tổng của hai hay nhiều hơn [[đơn thức]] bằng với một hằng số nào đó, và mỗi đơn thức có [[bậc của đa thức|bậc]] một.  '''Phương trình Diophantos mũ''' là phương trình mà trong đó biến nằm trong số mũ của lũy thừa nào đó.
-<math>f(x_1;x_2;x_3;...x_n)=0  </math> <math>(*)
-</math>
+Các '''bài toán Diophantos''' thường có ít phương trình hơn số biến và yêu cầu phải tìm tất cả các số nguyên là nghiệm của tất cả các phương trình. Bởi vậy, từ [[hệ phương trình]] ta định nghĩa ra [[đường cong đại số]], [[mặt phẳng đại số]], hay tổng quát hơn là [[tập đại số]]. Việc học và nghiên cứu các khái niệm này là một phần của [[hình học đại số]], nhánh đó được gọi là ''[[hình học Diophantos]]''.
-khi <math>n\geq2</math>, và <math>f(x_1;x_2;x_3;...x_n)</math> là một [[đa thức nguyên]] với một hoặc đa [[biến số|biến]] thì <math>(*)
-</math> được gọi là [https://thcs.toanmath.com/2020/03/chuyen-de-phuong-trinh-nghiem-nguyen.html phương trình nghiệm nguyên] (''algebraic diophantine equation'') với bộ số <math>x^0_1;x^0_2;x^0_3;...;x^0_n</math> thỏa mãn <math>(*)
-</math> được gọi là một [[Nghiệm|nghiệm nguyên]] của phương trình.
+Từ ''Diophantos'' nói đến [[Toán học Hy Lạp|nhà toán học Hy Lạp]] của thế kỷ thứ ba, [[Diofantos]] xứ [[Alexandria]], người đã nghiên cứu các phương trình dưới dạng đó, và là một trong những nhà toán học đầu tiên giới thiệu các [[ký hiệu toán học]] cho [[đại số]]. Việc nghiên cứu các bài toán Diophantos được gọi là '''giải tích Diophantos'''.
-Một phương trình có một hoặc nhiều cách giải gọi là phương trình có thể giải quyết được.
+Trong khi các bài toán riêng lẻ thường được dùng làm bài đố và được xét từng bài một qua lịch sử,  tìm ra lý thuyết tổng quát cho các phương trình Diophantos (trên cả trường hợp tuyến tính và [[phương trình toàn phương|toàn phương]]) được coi là thành tựu của toán học thế kỷ 20.
-Từ [[Diofantos|Diophantine]] được đặt theo tên [[danh sách nhà toán học|nhà toán học]] [[Hy Lạp cổ đại|Hy Lạp]] ở thế kỉ thứ 3 sau công nguyên, [[Diofantos]] xứ [[Alexandria]]. [[Diofantos|Diophantus]], ở [[Alexandria]], đã nghiên cứu các phương trình dạng này, và là một trong những nhà toán học đầu tiên đã [[ký hiệu hóa]] [[đại số]]. Nhánh toán học nghiên cứu về các vấn đề Diophantine được gọi là [[Giải tích Diophantine]].
+==Các ví dụ==
-== Các câu hỏi liên quan đến phương trình Diophantine ==
+Trong các phương trình Diophantos sau, {{math|''w''}}, {{math|''x''}}, {{math|''y''}}, and {{math|''z''}} là các ẩn số và các ký tự chữ cái khác là các hằng số cho trước:
+{| class="wikitable"
+| {{math|1=''ax'' + ''by'' = c}}||Đây là phương trình Diophantos tuyến tính.
+|-
+| {{math|1=''w''<sup>3</sup> + ''x''<sup>3</sup> = ''y''<sup>3</sup> + ''z''<sup>3</sup>}}|| Nghiệm nguyên dương nhỏ nhất không tầm thường là 12<sup>3</sup> + 1<sup>3</sup> = 9<sup>3</sup> + 10<sup>3</sup> = 1729.  Nó được tìm thấy bởi tính chất đặc biệt của số 1729, còn gọi là [[số taxicab]] (hay còn được đặt tên là [[số Hardy–Ramanujan]]) bởi [[Ramanujan]] với [[G. H. Hardy|Hardy]] khi gặp mặt nhau vào năm 1917.<ref>{{cite web |url=http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Quotations/Hardy.html |title=Quotations by Hardy |publisher=Gap.dcs.st-and.ac.uk |access-date=20 November 2012 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120716185939/http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Quotations/Hardy.html |archive-date=16 July 2012 |url-status=dead }}</ref> Có vô số nghiệm không tầm thường.<ref>{{citation|title=An Introduction to Number Theory|volume=232|series=Graduate Texts in Mathematics|first1=G.|last1=Everest|first2=Thomas|last2=Ward|publisher=Springer|year=2006|isbn=9781846280443|page=117|url=https://books.google.com/books?id=Z9MAm0lTKuEC&pg=PA117}}.</ref>
+|-
+| {{math|1=''x<sup>n</sup>'' + ''y<sup>n</sup>'' = ''z<sup>n</sup>''}}||Với {{math|''n''}} = 2, có vô số nghiệm {{math|(''x'', ''y'', ''z'')}}: là các [[bộ ba số Pythagoras]]. Đối với các số {{math|''n''}} lớn hơn, [[định lý lớn Fermat]] (bắt nguồn từ năm 1637 bởi Fermat và được chứng minh [[Bài chứng minh của Wiles cho định lý lớn Fermat|bởi Andrew Wiles]] trong 1995<ref name=wiles>{{cite journal|last=Wiles|first=Andrew|author-link=Andrew Wiles|year=1995|title=Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem|url=http://users.tpg.com.au/nanahcub/flt.pdf |journal=Annals of Mathematics|volume=141|issue=3|pages=443–551|oclc=37032255|doi=10.2307/2118559|jstor=2118559}}</ref>) phát biểu rằng không có nghiệm nguyên dương nào tồn tại cho {{math|(''x'', ''y'', ''z'')}}.
+|-
+| {{math|1=''x''<sup>2</sup> − ''ny''<sup>2</sup> = ±1}}|| Đây là [[phương trình Pell]], được theo tên nhà toán học Anh [[John Pell]]. Nó được nghiên cứu bởi [[Brahmagupta]] trong thế kỷ thứ bảy, và bởi Fermat vào thế kỷ 17.
+|-
+| {{math|1={{sfrac|4|''n''}} = {{sfrac|1|''x''}} + {{sfrac|1|''y''}} + {{sfrac|1|''z''}}}}||[[Giả thuyết Erdős–Straus]] phát biểu rằng với mọi số nguyên {{math|''n''}} ≥ 2, tồn tại nghiệm cho {{math|''x''}}, {{math|''y''}}, và {{math|''z''}}, các nghiệm này đều là số nguyên dương. Mặc dù thường không phát biểu dưới dạng đa thức, ví dụ này tương đương với phương trình đa thức: {{math|1=4''xyz'' = ''yzn'' + ''xzn'' + ''xyn'' = ''n''(''yz'' + ''xz'' + ''xy'')}}.
+|-
+| {{math|1=''x''<sup>4</sup> + ''y''<sup>4</sup> + ''z''<sup>4</sup> = ''w''<sup>4</sup>}}||Phỏng đoán sai bởi [[Euler]] rằng không có nghiệm không tầm thường nào.  Được chứng minh bởi [[Elkies]] có vô số nghiệm không tầm thường. Tìm kiếm bằng máy tính cùng Frye xác định được nghiệm nhỏ nhất là: {{nowrap|1=95800<sup>4</sup> + 217519<sup>4</sup> + 414560<sup>4</sup> = 422481<sup>4</sup>}}.<ref>{{cite journal |authorlink=Noam Elkies |first=Noam |last=Elkies |title=On ''A''<sup>4</sup> + ''B''<sup>4</sup> + ''C''<sup>4</sup> = ''D''<sup>4</sup> |url= https://www.ams.org/journals/mcom/1988-51-184/S0025-5718-1988-0930224-9/S0025-5718-1988-0930224-9.pdf |journal=[[Mathematics of Computation]] |year=1988 |volume=51 |issue=184 |pages=825–835 |doi=10.2307/2008781 |mr=0930224 |jstor=2008781}}</ref><ref>{{cite conference|last = Frye|first = Roger E.|year = 1988|title = Proceedings of Supercomputing 88, Vol.II: Science and Applications|contribution = Finding 95800<sup>4</sup> + 217519<sup>4</sup> + 414560<sup>4</sup> = 422481<sup>4</sup> on the Connection Machine|doi = 10.1109/SUPERC.1988.74138|pages = 106–116}}</ref>
+|}
+=={{anchor|Linear Diophantine}}Phương trình Diophantos tuyến tính==
-Các vấn đề sau được đặt ra  khi giải một phương trình nghiệm nguyên, chúng được sắp xếp theo thứ tự từ dễ đến khó:
+===Một phương trình===
-#  Phương trình có thể giải quyết được hay không, nghĩa là nó có nghiệm, hay vô nghiệm?
+Phương trình Diophantos đơn giản nhất có dạng {{math|1=''ax'' + ''by'' = ''c''}}, trong {{math|''a''}}, {{math|''b''}} và {{math|''c''}} là các số nguyên được cho trước integers. Các nghiệm được tìm theo định lý sau:
-#  Nếu có nghiệm, phương trình có bao nhiêu nghiệm, có hữu hạn hay có vô số nghiệm?
+:''Phương trình Diophantos này có nghiệm'' (trong đó {{math|''x''}} và {{math|''y''}} là các số nguyên) ''khi và chỉ khi'' {{math|''c''}} '' là bội của [[ước chung lớn nhất]] của '' {{math|''a''}} ''và'' {{math|''b''}}. ''Hơn nữa, nếu'' {{math|(''x'', ''y'')}} '' là nghiệm của phương trình, thì các nghiệm khác có dạng'' {{math|(''x'' + ''kv'', ''y'' − ''ku'')}}, ''trong đó'' {{math|''k''}} ''là số nguyên tùy ý, còn'' {{math|''u''}} ''và'' {{math|''v''}} ''là thương của'' {{math|''a''}} ''và'' {{math|''b''}} ''(tương ứng) chia bởi ước chung lớn nhất của '' {{math|''a''}} ''và'' {{math|''b''}}.
-#  Tìm tất cả nghiệm của phương trình?
+'''Chứng minh:''' Nếu {{math|''d''}} là ước chung lớn nhất thì [[bổ đề Bézout]] khẳng định sự tồn tại của hai số nguyên {{math|''e''}} và {{math|''f''}} sao cho {{math|1=''ae'' + ''bf'' = ''d''}}. Nếu {{math|''c''}} là bội của {{math|''d''}}, thì {{math|1=''c'' = ''dh''}} với một số số nguyên {{math|''h''}}, và {{math|(''eh'', ''fh'')}} là nghiệm cần tìm. Mặt khác, với mỗi cặp số nguyên {{math|''x''}} và {{math|''y''}}, ước chung lớn nhất {{math|''d''}} của {{math|''a''}} và {{math|''b''}} là ước của {{math|''ax'' + ''by''}}. Do đó, nếu phương trình có nghiệm thì {{math|''c''}} phải là bội của {{math|''d''}}. Nếu {{math|1=''a'' = ''ud''}} và {{math|''b'' {{=}} ''vd''}}, thì với mọi nghiệm {{math|(''x'', ''y'')}}, ta có
-== Lịch sử ==
+:{{math|1=''a''(''x'' + ''kv'') + ''b''(''y'' − ''ku'') = ''ax'' + ''by'' + ''k''(''av'' − ''bu'') = ''ax'' + ''by'' + ''k''(''udv'' − ''vdu'') = ''ax'' + ''by''}},
+suy ra {{math|(''x'' + ''kv'', ''y'' − ''ku'')}} cũng là một nghiệm khác. Cho hai nghiệm thỏa mãn {{math|1=''ax''<sub>1</sub> + ''by''<sub>1</sub> = ''ax''<sub>2</sub> + ''by''<sub>2</sub> = ''c''}}, ta có thể suy ra rằng {{math|1=''u''(''x''<sub>2</sub> − ''x''<sub>1</sub>) + ''v''(''y''<sub>2</sub> − ''y''<sub>1</sub>) = 0}}. Bởi {{math|''u''}} và {{math|''v''}} [[nguyên tố cùng nhau]], từ [[bổ đề Euclid]] ra được rằng {{math|''v''}} là ước của {{math|''x''<sub>2</sub> − ''x''<sub>1</sub>}}, do đó tồn tại số nguyên {{math|''k''}} sao cho {{math|1=''x''<sub>2</sub> − ''x''<sub>1</sub> = ''kv''}} và {{math|1=''y''<sub>2</sub> − ''y''<sub>1</sub> = −''ku''}}. Do vậy, {{math|1=''x''<sub>2</sub> = ''x''<sub>1</sub> + ''kv''}} và {{math|1=''y''<sub>2</sub> = ''y''<sub>1</sub> − ''ku''}}, hoàn thành bài chứng minh.
-== Một số bài toán ==
+===Định lý số dư Trung Quốc===
-Cách [[giải phương trình]] Đi-ô-phăng rất phong phú. Tuy vậy có thể rút ra một số cách giải chung tùy thuộc vào dạng của chúng.
-=== Phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính ===
-[[Phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính]] có dạng
-:<math> ax + by = c </math>
-Tùy thuộc vào mối quan hệ giữa [[Ước số chung lớn nhất|ƯCLN]](a,b) và c mà suy ra số nghiệm của phương trình:
-: nếu c không chia hết cho ƯCLN(a,b) thì phương trình đã cho vô nghiệm;
-: nếu c = ƯCLN(a,b) thì phương trình đã cho có vô số nghiệm;
-: nếu c chia hết cho ƯCLN (a,b) và lớn hơn ƯCLN(a,b) thì phương trình đã cho cũng có vô số nghiệm.
+[[Định lý số dư Trung Quốc]] mô tả một lớp quan trọng của các hệ phương trình Diophantos tuyến tính: Gọi {{math|''n''<sub>1</sub>, …, ''n''<sub>''k''</sub>}} là {{math|''k''}} số nguyên lớn hơn một và [[nguyên tố cùng nhau]] đôi một, {{math|''a''<sub>1</sub>, …, ''a''<sub>''k''</sub>}} là {{math|''k''}} số nguyên tùy ý, và {{math|''N''}} là tích của {{math|''n''<sub>1</sub> ⋯ ''n''<sub>''k''</sub>}}. Định lý số dư Trung Quốc khẳng định rằng hệ phương trình Diophantos tuyến tính sau có duy nhất một nghiệm {{math|(''x'', ''x''<sub>1</sub>, …, ''x''<sub>''k''</sub>)}} sao cho {{math|0 ≤ ''x'' < ''N''}}, và các nghiệm khác có thể thu về được bằng cách cộng vào {{math|''x''}} bội của {{math|''N''}}:
-Muốn biết chi tiết hơn về cách [[giải phương trình]] Đi-ô-phăng tuyến tính xin xem ở bài [[giải thuật Euclid mở rộng]].
+:<math>\begin{align}
+x &= a_1 + n_1\,x_1\\
+&\;\;\vdots\\
+x &= a_k + n_k\,x_k
+\end{align}</math>
-=== Phương trình Pell ===
+===Hệ phương trình Diophantos tuyến tính===
+Tổng quát hơn, mọi hệ phương trình Diophantos tuyến tính có thể được giải bằng cách dùng [[dạng chuẩn tắc Smith]] của ma trận của hệ, theo cách tương tự với cách khử về [[dạng hàng bậc thang]] để giải [[hệ phương trình tuyến tính]] trên một trường. Sử dụng [[Ma trận(toán học)|ký hiệu ma trận]] mọi hệ phương trình Diophantos tuyến tính có thể được viết lại thành
-[[Phương trình Pell]] có dạng chính tắc là
+:{{math|1=''A''&thinsp;''X'' = ''C''}},
-:<math>x^2 - dy^2 = 1 </math>.
+trong đó {{math|''A''}} là ma trận kích thước {{math|''m'' × ''n''}} của các số nguyên, {{math|''X''}} là [[ma trận cột]] kích thước {{math|''n'' × 1}} của các ẩn số và {{math|''C''}} là ma trận cột kích thước {{math|''m'' × 1}} của các số nguyên.
+Tính dạng chuẩn tắc Smith của {{math|''A''}} cho hai [[ma trận đơn modula]] (là các ma trận khả nghịch trên số nguyên và có định thức bằng ±1) {{math|''U''}} và {{math|''V''}} có số chiều {{math|''m'' × ''m''}} và {{math|''n'' × ''n''}} tương ứng, sao cho ma trận
-=== Bộ ba Pytago ===
+:{{math|1=''B'' = [''b''{{sub|''i'',''j''}}] = ''UAV''}}
-[[Bộ ba số Pythagore|Bộ ba Pytago]] là nghiệm nguyên dương của phương trình sau:
+thỏa mãn {{math|''b''<sub>''i'',''i''</sub>}} khác không khi {{math|''i''}} không lớn hơn số nguyên {{math|''k''}}, còn các phần tử khác thì bằng không. Hệ phương trình có thể viết lại thành:
-:<math> x^2 + y^2 = z^2 </math>
+:{{math|1=''B''&thinsp;(''V''{{i sup|−1}}''X'') = ''UC''}}.
+Gọi {{math|''y''<sub>''i''</sub>}} là phần tử của {{math|''V''{{i sup|−1}}''X''}} và {{math|''d''<sub>''i''</sub>}} là phần tử của {{math|1=''D'' = ''UC''}}, tìm được hệ phương trình sau
+:{{math|1=''b''<sub>''i'',''i''</sub>&thinsp;''y''<sub>''i''</sub> = ''d''<sub>''i''</sub>}} với {{math|1 ≤ ''i'' ≤ ''k''}},
+:{{math|1=0&thinsp;''y''<sub>''i''</sub> = ''d''<sub>''i''</sub>}} với {{math|''k'' < ''i'' ≤ ''n''}}.
+Hệ phương trình này tương đương với hệ phương trình cho trước bởi: Ma trận cột của các số nguyên {{math|''x''}} là nghiệm của hệ phương trình khi và chỉ khi {{math|1=''x'' = ''Vy''}} với một số ma trận cột {{math|''y''}} thỏa mãn {{math|1=''By'' = ''D''}}.
+Từ đây, ta suy ra được rằng hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi {{math|''b''<sub>''i'',''i''</sub>}} là ước của {{math|''d''<sub>''i''</sub>}} với {{math|''i'' ≤ ''k''}} và {{math|1=''d''<sub>''i''</sub> = 0}} khi {{math|''i'' > ''k''}}. Nếu điều kiện này được thỏa mãn thì các nghiệm của hệ phương trình cho trước là
-=== Định lý lớn Fermat ===
+:<math> V\,
-Đây có lẽ là phương trình Đi-ô-phăng nổi tiếng nhất, và được nghiên cứu nhiều nhất.
+\begin{bmatrix}
+\frac{d_1}{b_{1,1}}\\
+\vdots\\
+\frac{d_k}{b_{k,k}}\\
+h_{k+1}\\
+\vdots\\
+h_n
+\end{bmatrix}\,, </math>
+trong đó {{math|''h''<sub>''k''+1</sub>, …, ''h''<sub>''n''</sub>}} là các số nguyên tùy ý.
+==Phương trình Diophantos thuần nhất==
-Bài toán được phát biểu rất đơn giản,
-:''Không tồn tại các nghiệm [[số nguyên|nguyên]] khác không ''x'', ''y'', và ''z'' thoả ''x''<sup>n</sup> + ''y''<sup>n</sup> = ''z''<sup>n</sup> trong đó ''n'' là một số nguyên lớn hơn 2''.
+== Các câu hỏi liên quan đến phương trình Diophantine ==
-Xem thêm ở [[Định lý lớn Fermat]].
+Các vấn đề sau được đặt ra  khi giải một phương trình nghiệm nguyên, chúng được sắp xếp theo thứ tự từ dễ đến khó:
+#  Phương trình có thể giải quyết được hay không, nghĩa là nó có nghiệm, hay vô nghiệm?
+#  Nếu có nghiệm, phương trình có bao nhiêu nghiệm, có hữu hạn hay có vô số nghiệm?
+#  Tìm tất cả nghiệm của phương trình?
-=== Một số dạng và phương pháp khác ===
+=== Ví dụ về giải phương trình Diophantos ===
 # Đưa phương trình <math>(*)

x t s Lý thuyết số
Nhánh	Lý thuyết số đại số Lý thuyết số giải tích Lý thuyết số tính toán Lý thuyết số siêu việt Hình học Diophantos Hình học số học Lý thuyết số tổ hợp
Khái niệm chính	Số Số tự nhiên Số nguyên tố Số hữu tỉ Số vô tỉ Số đại số Số siêu việt Số p-adic Số học Số học mô đun Hàm số học
Khái niệm nâng cao	Dạng toàn phương Dạng modular Hàm L Phương trình Diophantos Xấp xỉ Diophantos Phân số liên tục
Thể loại * Hình ảnh