Căn đơn vị

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới điều hướng Bước tới tìm kiếm
Căn đơn vị cấp 5 trong Mặt phẳng phức

Trong toán học, căn đơn vị, đôi khi gọi là số de Moivre, là số phức bất kỳ khi lũy thừa mũ nguyên dương n có kết quả bằng 1. Căn đơn vị được sử dụng trong nhiều nhánh của toán học, và đặc biệt quan trọng trong lý thuyết số, lý thuyết nhóm tính chất, và biến đổi Fourier rời rạc.

Trong lý thuyết trườnglý thuyết vành, khái niệm căn đơn vị cũng áp dụng cho bất kỳ vành nào có phần tử nhân được. Trường đóng đại số có chính xác n căn đơn vị cấp n nếu n không chia hết cho đặc trưng của trường.

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Căn đơn vị cấp n, trong đó n là một số nguyên dương (tức là n = 1, 2, 3, …), là một số z thỏa phương trình sau:[1][2]

Nếu không nói gì thêm, căn đơn vị là các số phức, (bao gồm số 1, và số -1 nếu n chẵn, là các số phức với phần ảo bằng 0), và trong trường hợp này, căn đơn vị cấp n có dạng

Một căn đơn vị cấp n được gọi là nguyên thủy nếu nó không là một căn đơn vị cấp k của các số k nhỏ hơn n:

Nếu nsố nguyên tố, tất cả căn đơn vị cấp n, ngoại trừ 1, đều nguyên thủy.

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Tìm các căn đơn vị cấp 3?

Theo định nghĩa, căn đơn vị cấp 3 là nghiệm của phương trình . Dễ thấy là một nghiệm của phương trình, vậy 1 là một căn đơn vị cấp 3.

Tuy nhiên, còn 2 nghiệm phức của phương trình là .

Vậy tập các căn đơn vị cấp 3 là

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Hadlock, Charles R. (2000). Field Theory and Its Classical Problems, Volume 14. Cambridge University Press. tr. 84–86. ISBN 978-0-88385-032-9.
  2. ^ Lang, Serge (2002). “Roots of unity”. Algebra. Springer. tr. 276–277. ISBN 978-0-387-95385-4.

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Đọc thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Storer, Thomas (1967). Cyclotomy and difference sets. Chicago: Markham Publishing Company. Zbl 0157.03301.