Phép nhân ma trận

Trong toán học, phép nhân ma trận là phép toán nhị phân tạo ra ma trận từ hai ma trận. Để nhân ma trận, số lượng cột trong ma trận thứ nhất phải bằng số lượng hàng trong ma trận thứ hai. Ma trận kết quả, được gọi là tích ma trận, có số lượng hàng của ma trận đầu tiên và số cột của ma trận thứ hai.

Phép nhân ma trận được nhà toán học người Pháp Jacques Philippe Marie Binet mô tả lần đầu vào năm 1812, để thể hiện hàm hợp của các bản đồ tuyến tính được biểu thị bằng ma trận. Do đó, nhân ma trận là một công cụ cơ bản của đại số tuyến tính, và như vậy có rất nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực toán học, cũng như trong toán học ứng dụng, thống kê, vật lý, kinh tế và kỹ thuật.^[1]^[2] Tính toán các tích ma trận là một hoạt động trung tâm trong tất cả các ứng dụng tính toán của đại số tuyến tính.

Ký hiệu

Bài viết này sẽ sử dụng các quy ước công chứng sau: ma trận được thể hiện bằng chữ in hoa, ví dụ: $A$ , vectơ in đậm chữ thường, ví dụ $a$ và các mục của vectơ và ma trận là chữ nghiêng (vì chúng là số từ một trường), vd $A$ và $a$ . Ký hiệu chỉ mục thường là cách rõ ràng nhất để diễn đạt các định nghĩa và được sử dụng làm tiêu chuẩn trong tài liệu. $i, j$ xâm nhập của ma trận $A$ được chỉ định bởi $(A) ij$ $A ij$ $a ij$ trong khi một nhãn số (không phải mục ma trận) trên một tập hợp các ma trận được ghi chữ nhỏ ở dưới, ví dụ: $A 1, A 2$ , v.v.

Định nghĩa

Nếu $A$ là ma trận $m \times n$ và $B$ là ma trận $n \times p$ ,

\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}},\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1p}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2p}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n1}&b_{n2}&\cdots &b_{np}\\\end{pmatrix}}

tích ma trận $C = AB$ (ký hiệu không có dấu nhân hoặc dấu chấm) được xác định là ma trận $m \times p$ ^[3]^[4]^[5]^[6]

\mathbf {C} ={\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots &c_{1p}\\c_{21}&c_{22}&\cdots &c_{2p}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{m1}&c_{m2}&\cdots &c_{mp}\\\end{pmatrix}}

trong đó

c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots +a_{in}b_{nj}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj},

với $i = 1,..., m$ và $j = 1,..., p$ .

Tham khảo

^ Lerner, R. G.; Trigg, G. L. (1991). Encyclopaedia of Physics (ấn bản thứ 2). VHC publishers. ISBN 978-3-527-26954-9.
^ Parker, C. B. (1994). McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (ấn bản thứ 2). ISBN 978-0-07-051400-3.
^ Lipschutz, S.; Lipson, M. (2009). Linear Algebra. Schaum's Outlines (ấn bản thứ 4). McGraw Hill (USA). tr. 30–31. ISBN 978-0-07-154352-1.
^ Riley, K. F.; Hobson, M. P.; Bence, S. J. (2010). Mathematical methods for physics and engineering. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.
^ Adams, R. A. (1995). Calculus, A Complete Course (ấn bản thứ 3). Addison Wesley. tr. 627. ISBN 0 201 82823 5.
^ Horn, Johnson (2013). Matrix Analysis (ấn bản thứ 2). Cambridge University Press. tr. 6. ISBN 978 0 521 54823 6.

[Physics_1991-1] Lerner, R. G.; Trigg, G. L. (1991). Encyclopaedia of Physics (ấn bản thứ 2). VHC publishers. ISBN 978-3-527-26954-9.

[2] Parker, C. B. (1994). McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (ấn bản thứ 2). ISBN 978-0-07-051400-3.

[3] Lipschutz, S.; Lipson, M. (2009). Linear Algebra. Schaum's Outlines (ấn bản thứ 4). McGraw Hill (USA). tr. 30–31. ISBN 978-0-07-154352-1.

[4] Riley, K. F.; Hobson, M. P.; Bence, S. J. (2010). Mathematical methods for physics and engineering. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.

[5] Adams, R. A. (1995). Calculus, A Complete Course (ấn bản thứ 3). Addison Wesley. tr. 627. ISBN 0 201 82823 5.

[6] Horn, Johnson (2013). Matrix Analysis (ấn bản thứ 2). Cambridge University Press. tr. 6. ISBN 978 0 521 54823 6.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

x t s Các chủ đề trong Đại số tuyến tính
Khái niệm cơ bản	Vô hướng Vectơ Không gian vectơ Phép nhân vô hướng Chiếu vectơ Hệ sinh Ánh xạ tuyến tính Phép chiếu tuyến tính Độc lập tuyến tính Tổ hợp tuyến tính Cơ sở Chuyển cơ sở Vectơ hàng và cột Không gian hàng và cột Hạt nhân Giá trị riêng và vectơ riêng Ma trận chuyển vị Hệ phương trình tuyến tính
Ma trận	Khối Phân rã Nghịch đảo Định thức con Tích Hạng Biến đổi Quy tắc Cramer Phép khử Gauss
Song tuyến tính	Trực giao Tích vô hướng Không gian tích trong Tích ngoài Quá trình Gram–Schmidt
Đại số đa tuyến tính	Định thức Tích vectơ Tích ba Tích vectơ 7 chiều Đại số hình học Đại số ngoài Song vectơ Đa vectơ Tenxơ Cấu xạ ngoài
Xây dựng không gian vectơ	Không gian đối ngẫu Tổng trực tiếp Không gian hàm Thương Không gian con Tích tenxơ
Đại số tuyến tính số	Floating-point Bình phương tối thiểu tuyến tính Ổn định số Basic Linear Algebra Subprograms Ma trận thưa Comparison of linear algebra libraries
Thể loại Mục lục Chủ đề Toán học Wikibook Wikiversity