Xem mã nguồn của Phép phản xạ

[[Tập tin:Symetrie axe.png|nhỏ|Tam giác ''ABC'' và ảnh phản xạ của nó ''A<nowiki>''B''C''</nowiki>'' qua phép phản xạ qua trục đối xứng c<sub>1</sub>c<sub>2</sub>.]]
Trong [[toán học]], '''phép phản xạ''' là một [[ánh xạ]] [[Phép đẳng cự|đẳng cự]] từ một [[không gian Euclid]] vào chính nó với các [[Điểm cố định (toán học)|điểm cố định]] nằm trên một [[siêu phẳng]]; tập hợp những điểm này được gọi là [[Đối xứng trục|trục]] (trong số chiều 2) hay [[Mặt phẳng (toán học)|mặt phẳng]] (trong số chiều 3) đối xứng. Ảnh của một hình bởi phép phản xạ là [[Ảnh phản chiếu|ảnh gương]] của nó qua trục hoặc mặt phẳng phản xạ. Chẳng hạn, ảnh gương của chữ cái Latinh thường '''p''' đối với phép phản xạ qua trục thẳng đứng sẽ trông giống chữ cái '''q''', còn ảnh của nó đối với phép phản xạ qua trục nằm ngang sẽ trông giống chữ cái '''b'''. Phép phản xạ có tính chất [[Hàm số tự nghịch đảo|tự nghịch đảo]]: khi được thực hiện hai lần liên tiếp, mỗi điểm sẽ trở về vị trí ban đầu và mỗi đối tượng hình học quay trở lại trạng thái ban đầu.

Thuật ngữ ''phản xạ'' (''reflection'' hay ''reflexion'')<ref>[https://web.archive.org/web/20120829214317/http://oxforddictionaries.com/definition/english/reflexion "Reflexion" is an archaic spelling]</ref> đôi khi được dùng để chỉ một lớp rộng hơn các ánh xạ từ một không gian Euclid vào chính nó, tức là các phép đẳng cự khác đồng nhất mà tự nghịch đảo. Các phép đẳng cự như vậy có một tập hợp các điểm cố định ("gương") là một [[Không gian afin|không gian afin con]], nhưng có thể thấp chiều hơn siêu phẳng. Chẳng hạn phép [[Đối xứng tâm|phản xạ qua một điểm]] là một phép đẳng cự tự nghịch đảo với chỉ một điểm cố định; ảnh của chữ cái '''p''' qua nó sẽ trông giống chữ cái '''d'''. Phép toán này đôi khi cũng được gọi là [[Đối xứng tâm|phép nghịch đảo tâm]] {{harv|Coxeter|1969|loc=§7.2}}, và thể hiện không gian Euclid dưới dạng [[không gian đối xứng]]. Trong một [[Không gian Euclid|không gian vectơ Euclid]], phép phản xạ qua điểm gốc tọa độ là tương đương với việc lấy vectơ đối. Một số ví dụ khác bao gồm phép phản xạ qua một đường thẳng trong không gian ba chiều. Tuy nhiên thông thường việc sử dụng thuật ngữ "phép phản xạ" mà không nói rõ thêm có nghĩa là phép phản xạ qua một siêu phẳng.

Một số nhà toán học dùng từ "'''lật'''" như một từ đồng nghĩa với "phản xạ" qua một [[siêu phẳng]].<ref>{{Citation|last=Childs|first=Lindsay N.|title=A Concrete Introduction to Higher Algebra|url=https://books.google.com/books?id=qyDAKBr_I2YC&q=flip&pg=PA251|page=251|year=2009|edition=3rd|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=9780387745275}}</ref><ref>{{Citation|last=Gallian|first=Joseph|title=Contemporary Abstract Algebra|url=https://books.google.com/books?id=Ef4KAAAAQBAJ&q=flip&pg=PA32|page=32|year=2012|edition=8th|publisher=Cengage Learning|isbn=978-1285402734|author-link=Joseph Gallian}}</ref><ref>{{Citation|last=Isaacs|first=I. Martin|title=Algebra: A Graduate Course|url=https://books.google.com/books?id=5tKq0kbHuc4C&q=flip&pg=PA6|page=6|year=1994|publisher=American Mathematical Society|isbn=9780821847992|author-link=Martin Isaacs}}</ref>

{{TOC limit|2}}

== Cách dựng ==
[[Tập_tin:Perpendicular-construction.svg|nhỏ|236x236px|Điểm {{mvar|Q}} là ảnh phản xạ của điểm {{mvar|P}} qua đường thẳng {{mvar|AB}}.]]
Trong hình học phẳng (hoặc tương tự trong không gian), để tìm ảnh phản xạ của một điểm, hạ đường [[vuông góc]] từ điểm đó tới trục (hay mặt phẳng) được dùng cho phép phản xạ, sau đó kéo dài với cùng khoảng cách tới bên kia. Để tìm ảnh phản xạ của một hình, ta thực hiện phép phản xạ với từng điểm trong hình.

Bằng [[Phép dựng hình bằng thước kẻ và compa|thước và compa]], quá trình dựng ảnh phản xạ của điểm {{math|P}} qua trục đối xứng {{math|AB}} là như sau (xem hình bên phải):

* Bước 1 (màu đỏ): dựng một [[đường tròn]] với tâm tại {{math|P}} và một bán kính cố định {{math|''r''}} nhỏ hơn độ dài đoạn {{math|AB}}, cắt đoạn {{math|AB}} tại hai điểm {{math|A′}} và {{math|B′}}, có [[Đồng khoảng cách|cùng khoảng cách]] tới {{math|P}}.
* Bước 2 (màu xanh lục): dựng hai đường tròn với tâm {{math|A′}} và {{math|B′}} và đều có bán kính {{math|''r''}}. {{math|P}} và {{math|Q}} sẽ là các giao điểm của hai đường tròn trên.

Điểm {{math|Q}} sẽ là ảnh phản xạ của điểm {{math|P}} qua trục {{math|AB}}, và thỏa mãn {{math|AB}} là [[đường trung trực]] của đoạn {{math|PQ}}.

== Tính chất ==
[[Ma trận (toán học)|Ma trận]] của một phép phản xạ qua siêu phẳng chứa gốc tọa độ là [[Ma trận trực giao|trực giao]] với [[định thức]] −1 và các [[giá trị riêng]] −1, 1, 1, ..., 1. Tích của hai ma trận như vậy là một ma trận trực giao đặc biệt biểu diễn cho một phép quay. Mỗi [[phép quay]] là kết quả của một số chẵn lần các phép phản xạ qua các siêu phẳng chứa gốc tọa độ, và mỗi [[phép quay không chính tắc]] là kết quả của một số lẻ lần phép phản xạ. Do đó các phép phản xạ sinh ra [[nhóm trực giao]], và kết quả này được biết dưới tên gọi là [[định lý Cartan–Dieudonné]].

Tương tự [[nhóm Euclid]], bao gồm tất cả các [[phép đẳng cự]] trong không gian Euclid được sinh bởi các phép phản xạ qua các siêu phẳng afin. Nói chung, một [[Nhóm (toán học)|nhóm]] được sinh bởi các phép phản xạ qua các siêu phẳng afin được gọi là [[nhóm phản xạ]]. Các [[nhóm hữu hạn]] được sinh bởi cách này là những ví dụ của các [[nhóm Coxeter]].
{{multiple image
| align = center
| direction = horizontal
| width = 200
| image1 = Simx2=transl OK.svg
| caption1 = Một phép phản xạ qua một trục (biến hình màu đỏ thành hình màu xanh lục) nối tiếp với một phép phản xạ khác (biến hình màu xanh lục thành xanh lam) qua một trục thứ hai song song với trục thứ nhất dẫn đến chuyển động tổng hợp là một [[phép tịnh tiến]] - với một lượng bằng hai lần khoảng cách giữa hai trục.
| image2 = Simx2=rotOK.svg
| caption2 = Một phép phản xạ qua một trục nối tiếp với một phép phản xạ khác qua một trục thứ hai không song song với trục thứ nhất dẫn đến chuyển động tổng hợp là một [[phép quay]], với một góc bằng gấp đôi góc giữa hai trục.
}}

== Biểu diễn ==

=== Phản xạ qua một đường thẳng trong mặt phẳng ===
Phản xạ qua một đường thẳng chứa gốc tọa độ trong [[không gian hai chiều]] có thể được mô tả bởi công thức sau đây

: <math>\operatorname{Ref}_l(v) = 2\frac{v \cdot l}{l \cdot l}l - v,</math>

trong đó <math>v</math> ký hiệu cho vectơ hay điểm được phản xạ, <math>l</math> ký hiệu cho một vectơ bất kỳ nằm trên đường thẳng mà phép phản xạ được thực hiện qua nó, và <math>v\cdot l</math> ký hiệu cho [[tích vô hướng]] của <math>v</math> với <math>l</math>. Chú ý rằng công thức trên còn có thể được viết dưới dạng

: <math>\operatorname{Ref}_l(v) = 2\operatorname{Proj}_l(v) - v,</math>

có nghĩa là phép phản xạ của <math>v</math> qua trục <math>l</math> bằng 2 lần [[Chiếu vectơ|hình chiếu]] của <math>v</math> lên <math>l</math>, trừ đi chính vectơ <math>v</math>. Phép phản xạ qua một đường thẳng có các giá trị riêng 1 và −1.

=== Phản xạ qua một siêu phẳng trong ''n'' chiều ===
Cho một vectơ <math>v</math> trong [[không gian Euclid]] <math>\mathbb R^n</math>, công thức cho phép phản xạ qua siêu phẳng chứa gốc tọa độ, [[trực giao]] với <math>a</math> được cho bởi

: <math>\operatorname{Ref}_a(v) = v - 2\frac{v\cdot a}{a\cdot a}a,</math>

trong đó <math>v\cdot a</math> ký hiệu cho [[tích vô hướng]] của <math>v</math> với <math>a</math>. Chú ý rằng số hạng thứ hai trong phương trình trên chính là hai lần [[hình chiếu vectơ]] của <math>v</math> lên <math>a</math>. Ta có thể dễ dàng kiểm tra rằng

* {{math|1=Ref<sub>''a''</sub>(''v'') = −''v''}}, nếu <math>v</math> là song song với <math>a</math>
* {{math|1=Ref<sub>''a''</sub>(''v'') =  ''v''}}, nếu <math>v</math> là vuông góc với <math>a</math>.

Sử dụng [[Đại số hình học|tích hình học]], công thức trên có thể được viết dưới dạng

: <math>\operatorname{Ref}_a(v) = -\frac{a v a}{a^2} .</math>

Bởi các phép phản xạ này là đẳng cự của không gian Euclid và giữ cố định điểm gốc tọa độ nên chúng còn có thể được biểu diễn bởi các [[ma trận trực giao]], và còn được gọi là [[biến đổi Householder]]. Ma trận trực giao tương ứng với phép phản xạ trên là [[Ma trận (toán học)|ma trận]]

: <math>R = I-2\frac{aa^T}{a^Ta},</math>

trong đó <math>I</math> ký hiệu [[ma trận đơn vị]] <math>n \times n</math> và <math>a^T</math> là chuyển vị của <math>a</math>. Các hệ số của nó là

: <math>R_{ij} = \delta_{ij} - 2\frac{a_i a_j}{ \left\| a \right\| ^2 },</math>

trong đó {{math|''δ''<sub>''ij''</sub>}} là ký hiệu [[Kronecker delta]].

Công thức cho phép phản xạ qua siêu phẳng afin <math>v\cdot a=c</math> không qua gốc tọa độ là

: <math>\operatorname{Ref}_{a,c}(v) = v - 2\frac{v \cdot a - c}{a\cdot a}a.</math>

== Xem thêm ==

* [[Phép quay]]
* [[Phản xạ định hướng]] của ánh sáng
* [[Đối xứng trục]] và [[đối xứng phản xạ]]
* [[Định lý Cartan–Dieudonné]]
* [[Biến đổi Householder]]
* [[Hình học nghịch đảo]]
* [[Ánh xạ phản xạ]]
* [[Nhóm phản xạ]]

== Tham khảo ==
{{tham khảo}}

=== Tham khảo sách ===

* {{Citation|last1=Coxeter|first1=Harold Scott MacDonald|title=Introduction to Geometry|year=1969|edition=2nd|location=New York|publisher=[[John Wiley & Sons]]|isbn=978-0-471-50458-0|mr=123930|author1-link=Harold Scott MacDonald Coxeter}}
* {{springer|title=Reflection|first=V.L.|last=Popov|authorlink=Vladimir L. Popov|id=R/r080510}}
* {{MathWorld|title=Reflection|urlname=Reflection}}

== Liên kết ngoài ==

* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Reflection.shtml Reflection in Line] at [[cut-the-knot]]
* [http://demonstrations.wolfram.com/Understanding2DReflection/ Understanding 2D Reflection] and [http://demonstrations.wolfram.com/Understanding3DReflection/ Understanding 3D Reflection] by Roger Germundsson, [[The Wolfram Demonstrations Project]].

[[Thể loại:Đối xứng Euclide]]
[[Thể loại:Hàm số và ánh xạ]]
[[Thể loại:Toán tử tuyến tính]]