Xem mã nguồn của Phương trình Maxwell

[[Tập tin:James-clerk-maxwell 1.jpg|phải|nhỏ|James Clerk Maxwell]]
{{Điện từ học|cTopic=Điện động}}
Các '''phương trình Maxwell''' bao gồm bốn [[phương trình]], đề ra bởi [[James Clerk Maxwell]], dùng để mô tả [[trường điện từ]] cũng như những [[lực|tương tác]] của chúng đối với vật chất.
Bốn phương trình Maxwell mô tả lần lượt:
* [[Điện tích]] tạo ra [[điện trường]] như thế nào ([[định luật Gauss]]).
* Sự không tồn tại của vật chất [[đơn cực từ|từ tích]].
* [[Dòng điện]] tạo ra [[từ trường]] như thế nào ([[định luật Ampere]]).
* Và [[từ trường]] tạo ra [[điện trường]] như thế nào ([[định luật cảm ứng Faraday]])

Đây cũng chính là nội dung của '''thuyết điện từ học Maxwell'''.
== Lịch sử ==
Các [[công thức]] của Maxwell vào năm [[1865]] bao gồm 20 [[phương trình]] với 20 [[biến số|ẩn số]], nhiều [[phương trình]] trong đó được coi là nguồn gốc của '''hệ phương trình Maxwell''' ngày nay. Các [[phương trình]] của Maxwell đã [[tổng quát hóa]] các [[định luật vật lý|định luật]] [[thí nghiệm|thực nghiệm]] được những người đi trước phát hiện ra: chỉnh sửa [[định luật vật lý|định luật]] Ampère (ba [[phương trình]] cho ba [[chiều]] (x, y, z)), [[định luật Gauss]] cho [[điện tích]] (một [[phương trình]]), [[mối quan hệ]] giữa [[dòng điện]] tổng và [[dòng điện dịch]] (ba [[phương trình]] (x, y, z)), mối quan hệ giữa [[từ trường]] và [[thế năng vectơ]] (ba phương trình (x, y, z), chỉ ra sự không tồn tại của [[đơn cực từ|từ tích]]), mối quan hệ giữa [[điện trường]] và [[thế năng]] [[vô hướng]] cũng như [[thế năng vectơ]] (ba phương trình (x, y, z), [[định luật Faraday]]), mối quan hệ giữa [[điện trường]] và trường dịch chuyển (ba phương trình (x, y, z)), [[định luật Ohm]] về [[dòng điện|mật độ dòng điện]] và [[điện trường]] (ba phương trình (x, y, z)), và phương trình cho [[tính liên tục]] (một phương trình).
Các [[phương trình]] nguyên bản của Maxwell được viết lại bởi [[Oliver Heaviside]] và [[Willard Gibbs]] vào năm [[1884]] dưới dạng các [[phương trình vectơ]]. Sự thay đổi này diễn tả được [[tính đối xứng]] của các trường trong cách biểu diễn [[toán học]]. Những [[công thức]] có [[tính đối xứng]] này là nguồn gốc hai bước nhảy lớn trong [[vật lý hiện đại]] đó là [[thuyết tương đối hẹp]] và [[vật lý lượng tử]].

Thật vậy, các phương trình của Maxwell cho phép đoán trước được sự tồn tại của [[bức xạ điện từ|sóng điện từ]], có nghĩa là khi có sự thay đổi của một trong các yếu tố như [[dòng điện#Cường độ dòng điện|cường độ dòng điện]], [[mật độ]] [[điện tích]]... sẽ sinh ra sóng điện từ truyền đi được trong [[không gian]]. [[Vận tốc]] của sóng điện từ là ''c'', được tính bởi phương trình Maxwell, bằng với [[tốc độ ánh sáng|vận tốc ánh sáng]] được đo trước đó bằng [[thí nghiệm|thực nghiệm]]. Điều này cho phép kết luận rằng [[ánh sáng]] là [[bức xạ điện từ|sóng điện từ]]. Các [[nghiên cứu]] về ánh sáng và sóng điện từ, tiêu biểu là các nghiên cứu của [[Max Planck]] về [[vật đen]] và của [[Heinrich Hertz]] về [[hiện tượng quang điện]] đã cho ra đời [[cơ học lượng tử|lý thuyết lượng tử]].

Sự không phụ thuộc của [[tốc độ ánh sáng|vận tốc ánh sáng]] vào [[chiều]] và [[hệ quy chiếu]] - những kết luận được rút ra từ phương trình Maxwell - là nền tảng của [[thuyết tương đối]]. Chú ý rằng khi ta thay đổi [[hệ quy chiếu]], những [[nguyên lý tương đối Galileo|biến đổi Galileo]] cổ điển không áp dụng được vào các phương trình Maxwell mà phải sử dụng một biến đổi mới, đó là [[biến đổi Lorentz]]. [[Albert Einstein|Einstein]] đã áp dụng [[biến đổi Lorentz]] vào [[cơ học cổ điển]] và cho ra đời [[thuyết tương đối hẹp]].

== Tóm tắt ==

Bảng sau đây tóm tắt các phương trình và khái niệm cho trường hợp tổng quát. Ký hiệu bằng '''chữ đậm''' là [[vectơ]], trong khi đó những ký hiệu ''in nghiêng'' là [[vô hướng]].

{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" 
|- style="background-color: #bbeecc;"
! Tên
! [[Phương trình vi phân riêng phần|Dạng phương trình vi phân]] 
! Dạng [[tích phân]]
|-
| [[Định luật Gauss]]:
| <math>\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho </math>     
| <math>\oint_S  \mathbf{D} \cdot d\mathbf{A} = \int_V \rho dV</math>
|-
| Đinh luật Gauss cho từ trường <br /> (sự không tồn tại của [[đơn cực từ|từ tích]]):
| <math> \nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math>    
| <math>\oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} = 0</math>
|-
| [[Định luật cảm ứng Faraday|Định luật Faraday]] cho [[từ trường]]:
| <math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math>     
| <math>\oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = - \ { d \over dt }   \int_S   \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}</math> 
|-
| [[Định luật Ampere]]<br /> (với sự bổ sung của [[James Clerk Maxwell|Maxwell]]):
| <math>\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t}</math>
| <math>\oint_C \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = \int_S \mathbf{J} \cdot d \mathbf{A} +
{d \over dt} \int_S \mathbf{D} \cdot d \mathbf{A}</math>
|}

Bảng sau đây liệt kê khái niệm của các [[đại lượng]] trong hệ đo lường [[SI]]:

{|  border="1" cellpadding="8" cellspacing="0"
|- style="background-color: #aabbcc;"
! Ký hiệu
! Ý nghĩa
! Đơn vị trong hệ [[SI]]
|-
| <math>\mathbf{E}</math> 
|  [[Điện trường|Cường độ điện trường]] 
|  [[vôn|volt]] / [[mét]]
|-
| <math>\mathbf{H}</math> 
| [[Từ trường|Cường độ từ trường]] 
| [[ampe]]re / mét
|-
| <math>\mathbf{D}</math> 
| mật độ thông lượng điện<br /> 
|  coulomb / [[mét vuông]]
|-
| <math>\mathbf{B}</math> 
|  Mật độ thông lượng từ <br /> 
|  [[tesla (unit)|tesla]],  <br />  [[weber (unit)|weber]] / [[mét vuông]]
|-
| <math>\ \rho \ </math>
| Mật độ [[điện tích]], <br />
|  [[coulomb (đơn vị)|coulomb]] / [[mét khối]] 
|-
|<math>\mathbf{J}</math>
| [[Dòng điện|Mật độ dòng điện]], <br />
| [[ampe]]re / [[mét vuông]]
|-
| <math>d\mathbf{A}</math> 
| Vectơ [[đạo hàm và vi phân của hàm số|vi phân]] diện tích ''A'',  có hướng vuông góc với mặt S
| mét vuông
|-
|<math> dV \  </math> 
| Vi phân của thể tích ''V'' được bao bọc bởi diện tích ''S''
| mét khối
|-
| <math> d \mathbf{l} </math>
| Vectơ vi phân của ''đường cong'', [[tiếp tuyến]] với [[đường kính]] ''C'' bao quanh diện tích ''S''
| mét
|-
|<math>\nabla \cdot</math> (còn gọi là [[toán tử div|div]])
| [[toán tử]] tính [[toán tử div|suất tiêu tán]]: <math>\nabla\cdot\textbf{a}=\left(\frac{\partial a_x}{\partial x}+\frac{\partial a_y}{\partial y}+\frac{\partial a_z}{\partial z}\right)</math>
| trên mét
|-
| <math>\nabla \times</math> (còn gọi là [[rot (toán tử)|rot\curl]])
| toán tử tính độ xoáy cuộn của trường vectơ.
| trên mét
|}

Các đại lượng '''D''' và '''B''' liên hệ với '''E''' và '''H''' bởi:

:<math>\mathbf{D} \ \ = \ \ \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P} \ \ = \ \ (1 + \chi_e) \varepsilon_0 \mathbf{E} \ \   
= \ \ \varepsilon \mathbf{E} </math>

:<math>\mathbf{B} \ \ = \ \  \mu_0 (\mathbf{H} + \mathbf{M}) \ \  = \ \ (1 + \chi_m) \mu_0 \mathbf{H} \ \ 
=  \ \ \mu \mathbf{H} </math>

trong đó:

<math> \chi_e </math> là [[hệ số cảm ứng điện]] của môi trường,

<math> \chi_m </math> là [[hệ số cảm ứng từ]] của môi trường,

'''ε''' là [[hằng số điện môi]] của môi trường, và

'''μ''' là [[hằng số từ môi]] của môi trường.

Khi hai hằng số '''ε''' and '''μ''' phụ thuộc vào cường độ điện trường và từ trường, ta có [[quang học phi tuyến|hiện tượng phi tuyến]]; xem thêm trong các bài [[hiệu ứng Kerr]] và [[hiệu ứng Pockels]].)

=== Trong môi trường tuyến tính ===
Trong môi trường tuyến tính, vectơ phân cực điện '''P''' (coulomb / mét vuông) và vectơ phân cực từ '''M''' (ampere / mét) cho bởi:

:<math> \mathbf{P} = \chi_e \varepsilon_0 \mathbf{E} </math>

:<math> \mathbf{M} = \chi_m \mathbf{H} </math>

Trong môi trường không tán sắc (các hằng số không phụ thuộc vào tần số của sóng điện từ), và [[đẳng hướng]] (không biến đổi đối với phép quay), ε và μ không phụ thuộc vào thời gian, phương trình Maxwell trở thành:

:<math>\nabla \cdot \varepsilon \mathbf{E} =  \rho  </math>

:<math>\nabla \cdot \mu \mathbf{H} = 0</math>

:<math>\nabla \times \mathbf{E} = - \mu \frac{\partial \mathbf{H}} {\partial t}</math>

:<math>\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}</math>

Trong môi trường đồng đều (không biến đổi đối với phép tịnh tiến), ε và μ không đổi theo không gian, và có thể được đưa ra ngoài các phép đạo hàm theo không gian.

Trong trường hợp tổng quát, ε và μ có thể là [[tensor]] hạng 2 mô tả môi trường [[lưỡng chiết]]. Và trong các môi trường tán sắc ε và/hoặc μ phụ thuộc vào [[tần số]] ánh sáng (sóng điện từ), những sự phụ thuộc này tuân theo mối liên hệ [[Kramers-Kronig]].

=== Trong chân không ===
Chân không là môi trường tuyến tính, đồng đẳng (không biến đổi theo phép quay và phép tịnh tiến), không [[tán sắc]], với các hằng số [[độ điện thẩm chân không|ε<sub>0</sub>]] và [[độ từ thẩm chân không|μ<sub>0</sub>]] (hiện tượng phi tuyến trong chân không vẫn tồn tại nhưng chỉ quan sát được khi cường độ ánh sáng vượt qua một ngưỡng rất lớn so với giới hạn tuyến tính trong môi trường vật chất).

:<math>\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} </math>

:<math>\mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{H} </math>

Đồng thời trong chân không không tồn tại điện tích cũng như dòng điện, phương trình Maxwell trở thành:

:<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0</math>

:<math>\nabla \cdot \mathbf{H} = 0</math>

:<math>\nabla \times \mathbf{E} =  - \mu_0 \frac{\partial\mathbf{H}} {\partial t}</math>

:<math>\nabla \times \mathbf{H} = \ \    \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}</math>

Những phương trình này có nghiệm đơn giản là các hàm sin và cos mô tả sự truyền sóng điện từ trong chân không, vận tốc truyền sóng là:

:<math>c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} </math>

{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="8"
|- style="background-color: #aaddcc;"
! Ký hiệu
! Tên
! Giá trị 
! Đơn vị trong hệ [[SI]]
|-
|-
| <math> c \  </math>
| [[Tốc độ ánh sáng|Vận tốc ánh sáng]]
|<math> 2.998 \times 10^{8} </math>
| mét trên giây
|-
| <math> \ \varepsilon_0 </math>
| [[Độ điện thẩm chân không]]
| <math> 8.854 \times 10^{-12} </math>
| [[fara]] / mét
|-
|<math>\  \mu_0 \ </math>
| [[Độ từ thẩm chân không]]
|<math> 4 \pi \times 10^{-7} </math>
| [[henry]] / mét
|}

== Cụ thể ==
=== Phương trình Maxwell-Gauss ===
Phương trình Maxwell-Gauss thừa hưởng từ định lý Gauss mô tả liên hệ giữa thông lượng điện trường qua một mặt kín và tổng điện tích chứa trong mặt kín đó:

<math>\oint_S  \mathbf{D} \cdot d\mathbf{A} = \int_V \rho dV</math>

Phương trình này nói lên rằng: mật độ [[điện tích]] là nguồn của [[điện trường]]. Nói cách khác, sự hiện diện của [[điện tích]] (vế phải) sẽ gây nên một [[điện trường]] có [[điện cảm]] '''D''' thể hiện ở vế trái. Ví dụ: một điện tích điểm ''q'' nằm ở gốc tọa độ O. [[Lực tĩnh điện|Định luật Coulomb]] cho biết trường tĩnh điện sinh ra bởi điện tích điểm này tại một điểm M trong không gian. Ta có <math>\mathbf{OM} = \mathbf{r} = r \ \mathbf{u}_r</math> với <math>\mathbf{u}_r</math> là vectơ li tâm có độ lớn đơn vị:

{| align="center" border="0"
|<math>\mathbf{E}(M) \ = \ \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 \, r^2 } \ \mathbf{u}_r</math>
|}

Trường tĩnh điện này thỏa mãn phương trình Maxwell-Gauss với mật độ điện tích:

{| align="center" border="0"
|<math>\rho(\mathbf{r},t) \ = \ q \ \delta^{(3)}(\mathbf{r})</math>
|}

trong đó <math>\delta^{(3)}(\mathbf{r})</math> là [[hàm delta Dirac]] ba chiều.

=== Bảo toàn thông lượng ===
Thông lượng của từ trường qua một mặt kín S luôn luôn bằng không:

<math>\oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{S} = 0</math>

Điều này chỉ ra sự không tồn tại của [[đơn cực từ]]. Tương tự như [[điện tích]] điểm cho điện trường trong định luật Gauss, đơn cực từ là nguồn điểm của từ trường và nó luôn bằng không. Trong thực tế, nguồn của từ trường là các thanh [[nam châm]]. Một thanh nam châm là một [[lưỡng cực]] từ bao gồm cực nam và cực bắc. Khi ta cắt thanh nam châm ra làm hai, ta sẽ thu được hai lưỡng cực từ chứ không phải là hai cực nam và bắc riêng biệt.

=== Phương trình Maxwell-Faraday ===
{{Chính|Định luật cảm ứng Faraday}}
'''Phương trình Maxwell-Faraday''' hay '''Định luật cảm ứng Faraday''' (còn gọi là '''Định luật Faraday-Lenz''') cho biết mối liên hệ giữa [[biến thiên]] [[từ thông]] trong [[diện tích]] [[mặt cắt]] của một vòng kín và [[điện trường]] cảm ứng dọc theo vòng đó.
:<math>\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{s} = -{d\Phi_B \over dt}</math>
với '''E''' là điện trường cảm ứng, ''d'''''s''' là một phần tử [[vô cùng bé]] của vòng kín và ''d''Φ<sub>B</sub>/''dt'' là biến thiên từ thông.

=== Phương trình Maxwell-Ampere ===
{{Chính|Định luật Ampere}}.
Phương trình Maxwell-Ampere cho biết sự lan truyền [[từ trường]] trong mạch kín với [[dòng điện]] đi qua đoạn mạch:

:<math>\oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{s} = \mu_0 I_{\mathrm{enc}} </math>

trong đó:

<math>\mathbf{B}</math> là [[từ trường]],

<math>d\mathbf{s}</math> là thành phần [[đạo hàm và vi phân của hàm số|vi phân]] của mạch kín <math>S</math>,

<math>I_{\mathrm{enc}}</math> là dòng điện bao phủ bởi đường cong <math>S</math>,

<math>\mu_0</math> là [[độ từ thẩm]] của môi trường,

<math>\oint_S</math> là [[đường tích phân]] theo mạch kín <math>S</math>.

== Hệ đơn vị CGS ==

Các phương trình trên được cho trong [[sI|hệ đo lường quốc tế]] (viết tắt là SI). Trong hệ  [[CGS]] ([[hệ xentimét-gam-giây]]), các phương trình trên có dạng sau:

:<math> \nabla \cdot \mathbf{E} = 4\pi\rho</math>

:<math> \nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math>

:<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}</math>

:<math>\nabla \times \mathbf{B} = \frac{1}{c} \frac{ \partial \mathbf{E}} {\partial t} + \frac{4\pi}{c} \mathbf{J}</math>

Trong chân không, các phương trình trên trở thành:

:<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0</math>

:<math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math>

:<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math>

:<math>\nabla \times \mathbf{B} = \frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} </math>

== Phương trình truyền sóng ==
{{Chính|Phương trình truyền xạ}}
[[Phương trình truyền sóng]] hay còn gọi là phương trình [[Jean le Rond d'Alembert|d'Alembert]] mô tả sự truyền đi của [[bức xạ điện từ|sóng điện từ]] trong môi trường.

=== Điện trường ===

Bắt đầu từ phương trình:

<math>\nabla\times(\nabla\times\textbf{E}) = \nabla(\nabla\cdot\textbf{E})-\nabla^{2}\textbf{E} </math>

Trong [[chân không]] (với mật độ điện tích bằng không), phương trình Maxwell - Gauss có dạng:

<math>\nabla\cdot\textbf{E}=0</math>

nên phương trình đầu tiên trở thành:

<math>\nabla\times(\nabla\times\textbf{E}) = -\nabla^{2}\textbf{E} </math>.

Quay sang phương trình Maxwell-Faraday:

<math>\nabla\times\textbf{E}=-\frac{\partial\textbf{B}}{\partial t}</math>

Lấy rot hai vế, phương trình trên trở thành:

<math>\nabla\times\left(-\frac{\partial\textbf{B}}{\partial t}\right) = \nabla\times(\nabla\times\textbf{E}) = -  \nabla^2\textbf{E} </math>

Theo [[định luật Schwartz]] ta có thể đổi thứ tự của [[đạo hàm và vi phân của hàm số|đạo hàm]] theo [[không gian]] và đạo hàm theo [[thời gian]] (hai biến này hoàn toàn độc lập trong vật lý phi [[thuyết tương đối|tương đối tính]]):

<math>-\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\textbf{B}) = - \nabla^2\textbf{E} </math>

Cùng với mật độ điện tích, vectơ [[dòng điện|mật độ dòng điện]] trong chân không cũng bằng không <math>\textbf{j} = \textbf{0} </math>, nên phương trình Maxwell-Ampère trở thành:

<math>\nabla\times\textbf{B}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial\textbf{E}}{\partial t}</math>

nên cuối cùng ta thu được một phương trình đạo hàm riêng cấp hai cho vecto cường độ điện trường <math>\textbf{E}</math> với nghiệm có dạng dao động điều hòa:

<math>\nabla^2\textbf{E} = \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^2\textbf{E}}{\partial t^2}</math>

Trong một số sách, ta có thể thấy phương trình này được viết dưới dạng:

<math>\Delta\textbf{E} = \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^2\textbf{E}}{\partial t^2}</math>

với toán tử <math>\Delta=\nabla^2</math>.

Đây là phương trình truyền sóng điện từ (thành phần điện trường) trong chân không. Trong dạng 4 chiều, phương trình này đặc biệt gọn:

<math>\Delta\textbf{E}=0</math>.

=== Từ trường ===

Hoàn toàn tương tự như trên cho từ trường, ta có:

<math>\vec{rot}(\vec{rot}\vec{H}) = \vec{grad}(div \vec{H})-{\nabla}^{2}\vec{H} </math>

Trong chân không mật độ dòng điện bằng không, phương trình Maxwell-Ampère trở thành:

<math>\vec{rot}\vec{H}=\epsilon_{0} \frac{\partial\vec{E}}{\partial t}</math>

Phương trình trên trở thành:

<math>\vec{rot}(\epsilon_{0}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}) = - {\nabla}^{2}\vec{H} </math>

Theo [[định luật Schwartz]] ta co thể đổi thứ tự của [[đạo hàm và vi phân của hàm số|đạo hàm]] theo [[không gian]] và đạo hàm theo [[thời gian]]:

<math>\epsilon_{0}\frac{\partial} {\partial t}(\vec{rot}\vec{E})= - {\nabla}^{2}\vec{H} </math>

Theo định luật Maxwell-Faraday cho chân không ta có:
<math>\vec{rot}\vec{E}=-\mu_0 \frac{\partial\vec{H}}{\partial t}</math>

Thu được:

<math>{\nabla}^{2}\vec{H} = \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}\vec{H}}{\partial t^{2}}</math>

Đây là phương trình truyền sóng điện từ (thành phần từ trường) trong chân không.

= Xem thêm =
* [[Phương trình truyền sóng]]
* [[Đơn cực từ]]
* [[Vectơ Poynting]]

==Tham khảo==
{{tham khảo}}
{{thuyết tương đối}}

[[Thể loại:Điện từ học]]
[[Thể loại:Điện từ trường]]
[[Thể loại:Sóng điện từ]]
[[Thể loại:Điện động lực học]]
[[Thể loại:Khái niệm vật lý]]
[[Thể loại:Phương trình vi phân riêng]]