|
|
Dòng 21: |
Dòng 21: |
|
: <math>\int\frac{dx}{\sin^n ax} = \frac{\cos ax}{a(1-n) \sin^{n-1} ax}+\frac{n-2}{n-1}\int\frac{dx}{\sin^{n-2}ax} \qquad(n>1)\,\!</math> |
|
: <math>\int\frac{dx}{\sin^n ax} = \frac{\cos ax}{a(1-n) \sin^{n-1} ax}+\frac{n-2}{n-1}\int\frac{dx}{\sin^{n-2}ax} \qquad(n>1)\,\!</math> |
|
: <math>\int x\sin ax\;dx = \frac{\sin ax}{a^2}-\frac{x\cos ax}{a}+C\,\!</math> |
|
: <math>\int x\sin ax\;dx = \frac{\sin ax}{a^2}-\frac{x\cos ax}{a}+C\,\!</math> |
|
: <math>\int x^n\sin ax\;dx = -\frac{x^n}{a}\cos ax+\frac{n}{a}\int x^{n-1}\cos ax\;dx = \sum_{k=0}^{2k\leq n} (-1)^{k+1} \frac{x^{n-2k}}{a^{1+2k}}\frac{n!}{(n-2k)!} \cos ax +\sum_{k=0}^{2k+1\leq n}(-1)^k \frac{x^{n-1-2k}}{a^{2+2k}}\frac{n!}{(n-2k-1)!} \sin ax \qquad(n>0)\,\!</math> |
|
: <math>\int x^n\sin ax\;dx = -\frac{x^n}{a}\cos ax+\frac{n}{a}\int x^{n-1}\cos ax\;dx = \sum_{k=0}^{2k\leq n} (-1)^{k+1} \frac{x^{n-2k}}{a^{1+2k}}\frac{n!}{(n-2k)!} \cos ax +\sum_{k=0}^{2k+1\leq n}(-1)^k \frac{x^{n-1-2k}}{a^{2+2k}}\frac{n!}{(n-2k-1)!} \sin ax \qquad(n>0)\,\!</math> |
|
: <math>\int_{\frac{-a}{2}}^{\frac{a}{2}} x^2\sin^2 {\frac{n\pi x}{a}}\;dx = \frac{a^3(n^2\pi^2-6)}{24n^2\pi^2} \qquad(n=2,4,6...)\,\!</math> |
|
: <math>\int_{\frac{-a}{2}}^{\frac{a}{2}} x^2\sin^2 {\frac{n\pi x}{a}}\;dx = \frac{a^3(n^2\pi^2-6)}{24n^2\pi^2} \qquad(n=2,4,6...)\,\!</math> |
|
: <math>\int\frac{\sin ax}{x} dx = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{(ax)^{2n+1}}{(2n+1)\cdot (2n+1)!} +C\,\!</math> |
|
: <math>\int\frac{\sin ax}{x} dx = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{(ax)^{2n+1}}{(2n+1)\cdot (2n+1)!} +C\,\!</math> |
|
: <math>\int\frac{\sin ax}{x^n} dx = -\frac{\sin ax}{(n-1)x^{n-1}} + \frac{a}{n-1}\int\frac{\cos ax}{x^{n-1}} dx\,\!</math> |
|
: <math>\int\frac{\sin ax}{x^n} dx = -\frac{\sin ax}{(n-1)x^{n-1}} + \frac{a}{n-1}\int\frac{\cos ax}{x^{n-1}} dx\,\!</math> |
Dòng 42: |
Dòng 42: |
|
: <math>\int x^2\cos^2 {ax}\;dx = \frac{x^3}{6} + \left(\frac {x^2}{4a} - \frac{1}{8a^3} \right) \sin 2ax + \frac{x}{4a^2} \cos 2ax +C\!</math> |
|
: <math>\int x^2\cos^2 {ax}\;dx = \frac{x^3}{6} + \left(\frac {x^2}{4a} - \frac{1}{8a^3} \right) \sin 2ax + \frac{x}{4a^2} \cos 2ax +C\!</math> |
|
|
|
|
|
: <math>\int x^n\cos ax\;dx = \frac{x^n\sin ax}{a} - \frac{n}{a}\int x^{n-1}\sin ax\;dx\,= \sum_{k=0}^{2k+1\leq n} (-1)^{k} \frac{x^{n-2k-1}}{a^{2+2k}}\frac{n!}{(n-2k-1)!} \cos ax +\sum_{k=0}^{2k\leq n}(-1)^{k} \frac{x^{n-2k}}{a^{1+2k}}\frac{n!}{(n-2k)!} \sin ax \!</math> |
|
: <math>\int x^n\cos ax\;dx = \frac{x^n\sin ax}{a} - \frac{n}{a}\int x^{n-1}\sin ax\;dx\,= \sum_{k=0}^{2k+1\leq n} (-1)^{k} \frac{x^{n-2k-1}}{a^{2+2k}}\frac{n!}{(n-2k-1)!} \cos ax +\sum_{k=0}^{2k\leq n}(-1)^{k} \frac{x^{n-2k}}{a^{1+2k}}\frac{n!}{(n-2k)!} \sin ax \!</math> |
|
|
|
|
|
: <math>\int\frac{\cos ax}{x} dx = \ln|ax|+\sum_{k=1}^\infty (-1)^k\frac{(ax)^{2k}}{2k\cdot(2k)!}+C\,\!</math> |
|
: <math>\int\frac{\cos ax}{x} dx = \ln|ax|+\sum_{k=1}^\infty (-1)^k\frac{(ax)^{2k}}{2k\cdot(2k)!}+C\,\!</math> |
Dòng 91: |
Dòng 91: |
|
:<math>\int \sec^n{ax} \, dx = \frac{\sec^{n-2}{ax} \tan {ax}}{a(n-1)} \,+\, \frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2}{ax} \, dx \qquad (n\ne 1)\,\!</math> |
|
:<math>\int \sec^n{ax} \, dx = \frac{\sec^{n-2}{ax} \tan {ax}}{a(n-1)} \,+\, \frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2}{ax} \, dx \qquad (n\ne 1)\,\!</math> |
|
|
|
|
|
:<math>\int \sec^n{x} \, dx = \frac{\sec^{n-2}{x}\tan{x}}{n-1} \,+\, \frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2}{x}\,dx</math><ref>Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals, 6th Edition. Thomson: 2008</ref> |
|
:<math>\int \sec^n{x} \, dx = \frac{\sec^{n-2}{x}\tan{x}}{n-1} \,+\, \frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2}{x}\,dx</math><ref>Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals, 6th Edition. Thomson: 2008</ref> |
|
|
|
|
|
:<math>\int \frac{dx}{\sec{x} + 1} = x - \tan{\frac{x}{2}}+C</math> |
|
:<math>\int \frac{dx}{\sec{x} + 1} = x - \tan{\frac{x}{2}}+C</math> |
Dòng 97: |
Dòng 97: |
|
:<math>\int \frac{dx}{\sec{x} - 1} = - x - \cot{\frac{x}{2}}+C</math> |
|
:<math>\int \frac{dx}{\sec{x} - 1} = - x - \cot{\frac{x}{2}}+C</math> |
|
<!-- |
|
<!-- |
|
In the 17th century, the integral of the secant function was the subject of a well-known conjecture posed in the 1640s by Henry Bond. The problem was solved by [[Isaac Barrow]].<ref>V. Frederick Rickey and Philip M. Tuchinsky, "An Application of Geography to Mathematics: History of the Integral of the Secant", ''[[Mathematics Magazine]]'', volume 53, number 3, May 2980, pages 162–166</ref> It was originally for the purposes of [[cartography]] that this was needed. --> |
|
In the 17th century, the integral of the secant function was the subject of a well-known conjecture posed in the 1640s by Henry Bond. The problem was solved by [[Isaac Barrow]].<ref>V. Frederick Rickey and Philip M. Tuchinsky, "An Application of Geography to Mathematics: History of the Integral of the Secant", ''[[Mathematics Magazine]]'', volume 53, number 3, May 2980, pages 162–166</ref> It was originally for the purposes of [[cartography]] that this was needed. --> |
|
|
|
|
|
== Tích phân chỉ chứa hàm [[hàm lượng giác|cosecant]] == |
|
== Tích phân chỉ chứa hàm [[hàm lượng giác|cosecant]] == |
Dòng 150: |
Dòng 150: |
|
: <math>\int\sin ax\cos^n ax\;dx = -\frac{1}{a(n+1)}\cos^{n+1} ax +C\qquad(n\neq -1)\,\!</math> |
|
: <math>\int\sin ax\cos^n ax\;dx = -\frac{1}{a(n+1)}\cos^{n+1} ax +C\qquad(n\neq -1)\,\!</math> |
|
|
|
|
|
: <math>\int\sin^n ax\cos^m ax\;dx = -\frac{\sin^{n-1} ax\cos^{m+1} ax}{a(n+m)}+\frac{n-1}{n+m}\int\sin^{n-2} ax\cos^m ax\;dx \qquad(m,n>0)\,\!</math> |
|
: <math>\int\sin^n ax\cos^m ax\;dx = -\frac{\sin^{n-1} ax\cos^{m+1} ax}{a(n+m)}+\frac{n-1}{n+m}\int\sin^{n-2} ax\cos^m ax\;dx \qquad(m,n>0)\,\!</math> |
|
: và: <math>\int\sin^n ax\cos^m ax\;dx = \frac{\sin^{n+1} ax\cos^{m-1} ax}{a(n+m)} + \frac{m-1}{n+m}\int\sin^n ax\cos^{m-2} ax\;dx \qquad(m,n>0)\,\!</math> |
|
: và: <math>\int\sin^n ax\cos^m ax\;dx = \frac{\sin^{n+1} ax\cos^{m-1} ax}{a(n+m)} + \frac{m-1}{n+m}\int\sin^n ax\cos^{m-2} ax\;dx \qquad(m,n>0)\,\!</math> |
|
|
|
|
Dòng 192: |
Dòng 192: |
|
== Tích phân chứa hàm [[sin]] và [[hàm lượng giác|cotang]] == |
|
== Tích phân chứa hàm [[sin]] và [[hàm lượng giác|cotang]] == |
|
|
|
|
|
: <math>\int\frac{\cot^n ax\;dx}{\sin^2 ax} = -\frac{1}{a(n+1)}\cot^{n+1} ax +C\qquad(n\neq -1)\,\!</math> |
|
: <math>\int\frac{\cot^n ax\;dx}{\sin^2 ax} = -\frac{1}{a(n+1)}\cot^{n+1} ax +C\qquad(n\neq -1)\,\!</math> |
|
|
|
|
|
== Tích phân chứa hàm [[hàm lượng giác|cos]] và [[hàm lượng giác|cotang]] == |
|
== Tích phân chứa hàm [[hàm lượng giác|cos]] và [[hàm lượng giác|cotang]] == |
Dòng 203: |
Dòng 203: |
|
: <math>\int_{{-c}}^{{c}}\cos {x}\;dx = 2\int_{{0}}^{{c}}\cos {x}\;dx = 2\int_{{-c}}^{{0}}\cos {x}\;dx = 2\sin {c} \!</math> |
|
: <math>\int_{{-c}}^{{c}}\cos {x}\;dx = 2\int_{{0}}^{{c}}\cos {x}\;dx = 2\int_{{-c}}^{{0}}\cos {x}\;dx = 2\sin {c} \!</math> |
|
: <math>\int_{{-c}}^{{c}}\tan {x}\;dx = 0 \!</math> |
|
: <math>\int_{{-c}}^{{c}}\tan {x}\;dx = 0 \!</math> |
|
: <math>\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} x^2\cos^2 {\frac{n\pi x}{a}}\;dx = \frac{a^3(n^2\pi^2-6)}{24n^2\pi^2} \qquad(n=1,3,5...)\,\!</math> |
|
: <math>\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} x^2\cos^2 {\frac{n\pi x}{a}}\;dx = \frac{a^3(n^2\pi^2-6)}{24n^2\pi^2} \qquad(n=1,3,5...)\,\!</math> |
|
|
|
|
|
==Tham khảo== |
|
==Tham khảo== |
Đây là danh sách các tích phân của các hàm lượng giác. Đối với tích phân của hàm số có hàm lượng giác và hàm mũ, xem danh sách tích phân với hàm mũ. Đối với danh sách đầy đủ các tích phân, xem danh sách tích phân. Xem thêm tích phân lượng giác.
Một cách tổng quát, với là đạo hàm của hàm số , ta có
Trong mọi công thức dưới đây, a là một hằng số không âm và C là kí hiệu của hằng số tích phân.
Tích phân chỉ chứa hàm sin
Tích phân chỉ chứa hàm cos
Tích phân chỉ chứa hàm tan
Tích phân chỉ chứa hàm secant
- Xem Tích phân của hàm secant.
- [1]
Tích phân chỉ chứa hàm cosecant
Tích phân chỉ chứa hàm cotang
Tích phân chứa hàm sin và cos
- và:
- và:
- và:
- và:
- và:
Tích phân chứa hàm sin và tang
Tích phân chứa hàm cos và tang
Tích phân chứa hàm sin và cotang
Tích phân chứa hàm cos và cotang
Tích phân với giới hạn đối xứng
Tham khảo
- ^ Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals, 6th Edition. Thomson: 2008