Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Khoảng cách Euclid”

Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào

Nội tuyến

Phiên bản lúc 11:19, ngày 17 tháng 5 năm 2021

Trong toán học, khoảng cách Euclid (tiếng Anh: Euclidean distance) giữa hai điểm trong không gian Euclid là độ dài của đoạn thẳng nối hai điểm đó. Nó có thể được tính từ tọa độ Cartesian của hai điểm đó bằng cách sử dụng định lý Pytago, và do đó đôi khi còn được gọi là khoảng cách Pytago (tiếng Anh: Pythagorean distance). Hai danh pháp trên được đặt theo tên của hai nhà toán học Hy Lạp cổ đại Euclid và Pythagoras, dù Euclid không dùng số để chỉ khoảng cách, và mối liên hệ giữa định lý Pytago với việc tính khoảng cách chưa được thiết lập cho đến thế kỷ 18.

Khoảng cách giữa hai đối tượng hình học không phải là điểm thường được định nghĩa là khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm thuộc hai đối tượng đó. Có một số công thức đã biết để tính khoảng cách giữa các dạng đối tượng khác nhau, chẳng hạn như khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Trong toán học nâng cao, khái niệm khoảng cách được khái quát hóa sang không gian mêtric trừu tượng, và một số loại khoảng cách khác ngoài khoảng cách Euclid cũng đã được nghiên cứu. Ở một số ứng dụng trong thống kê và tối ưu hóa, bình phương khoảng cách Euclid được sử dụng thay vì chính khoảng cách đó.

Các công thức khoảng cách

Một chiều

Khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trên trục số là giá trị tuyệt đối của hiệu tọa độ của chúng. Như vậy với hai điểm $p$ và $q$ trên trục số, khoảng cách giữa chúng được cho bởi:^[1]

d(p,q)=|p-q|.

Một công thức phức tạp hơn, cho cùng kết quả với công thức trên nhưng dễ khái quát hóa hơn sang không gian nhiều chiều, là:^[1]

d(p,q)={\sqrt {(p-q)^{2}}}.

Trong công thức này, phép bình phương và lấy căn bậc hai không làm thay đổi giá trị của một số dương, nhưng thay một số âm bất kỳ bằng giá trị tuyệt đối của nó.^[1]

Hai chiều

Trong mặt phẳng Euclid, cho điểm $p$ có tọa độ Cartesian $(p_{1},p_{2})$ và điểm $q$ có tọa độ $(q_{1},q_{2})$ . Khi đó khoảng cách giữa $p$ và $q$ được tính bằng:^[2]

d(p,q)={\sqrt {(q_{1}-p_{1})^{2}+(q_{2}-p_{2})^{2}}}.

Công thức trên được suy ra bằng cách áp dụng định lý Pytago cho một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông song song với hai trục tọa độ và cạnh huyền là đoạn thẳng nối hai điểm $p$ và $q$ . Hai biểu thức được bình phương bên trong dấu căn cho giá trị là diện tích hình vuông dựng từ cạnh góc vuông tương ứng, và dấu căn ở ngoài cùng chuyển diện tích hình vuông dựng từ cạnh huyền thành độ dài cạnh huyền.^[3]

Ngoài ra, cũng có thể tính được khoảng cách giữa hai điểm khi biết tọa độ cực của chúng. Nếu tọa độ cực của $p$ là $(r,\theta )$ và tọa độ cực của $q$ là $(s,\psi )$ , thì khoảng cách giữa chúng là:^[2]

d(p,q)={\sqrt {r^{2}+s^{2}-2rs\cos(\theta -\psi )}}.

Khi $p$ và $q$ là hai điểm biểu diễn số phức trên mặt phẳng phức, công thức giống với công thức khoảng cách giữa hai điểm trên trục số có thể được áp dụng:^[4]

d(p,q)=|p-q|.

Nhiều chiều

Trong không gian ba chiều, với hai điểm bất kỳ có tọa độ Cartesian cho trước, khoảng cách giữa chúng là:

d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+(p_{3}-q_{3})^{2}}}.

Tổng quát, với hai điểm bất kỳ có tọa độ Cartesian cho trước trong không gian Euclid $n$ chiều, khoảng cách giữa chúng là:^[5]

d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{i}-q_{i})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}}}.

Đối tượng hình học khác

Với hai đối tượng hình học không phải đều là điểm, khoảng cách thường được định nghĩa một cách đơn giản là khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm bất kỳ thuộc hai đối tượng đó, mặc dù một vài dạng khái quát hóa từ điểm sang tập hợp cũng được sử dụng phổ biến, chẳng hạn như khoảng cách Hausdorff.^[6] Một số công thức tính khoảng cách giữa các đối tượng hình học khác nhau bao gồm:

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong mặt phẳng^[7]
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong không gian Euclid ba chiều^[7]
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian Euclid ba chiều^[8]

Tính chất

Khoảng cách Euclid là một ví dụ cơ bản về khoảng cách trong không gian mêtric,^[9] và thỏa mãn các tính chất sau đây của một không gian mêtric:^[10]

Nó có tính đối xứng, nghĩa là với mọi điểm $p$ và $q$ bất kỳ thì $d(p,q)=d(q,p)$ . Điều đó có nghĩa là khoảng cách giữa hai điểm không phụ thuộc vào việc điểm nào là điểm đầu và điểm nào là điểm cuối.^[10]
Nó có tính phân biệt dương, nghĩa là khoảng cách giữa hai điểm phân biệt bất kỳ luôn là một số dương, trong khi khoảng cách từ một điểm bất kỳ đến chính nó bằng 0.^[10]
Nó thỏa mãn bất đẳng thức tam giác: với ba điểm $p$ , $q$ và $r$ bất kỳ thì $d(p,q)+d(q,r)\geq d(p,r)$ . Về mặt trực quan, độ dài của đường đi từ điểm $p$ đến điểm $r$ qua điểm $q$ không thể ngắn hơn so với độ dài đường đi trực tiếp từ $p$ đến $r$ .^[10]

Một tính chất khác, bất đẳng thức Ptolemy, có liên quan đến khoảng cách Euclid giữa bốn điểm $p$ , $q$ , $r$ và $s$ . Theo đó

d(p,q)\cdot d(r,s)+d(q,r)\cdot d(p,s)\geq d(p,r)\cdot d(q,s).

Với bốn điểm trên mặt phẳng, có thể diễn đạt lại bất đẳng thức trên như sau: với một tứ giác bất kỳ, tổng của tích giữa mỗi cặp cạnh đối tương ứng luôn là một số không nhỏ hơn tích độ dài hai đường chéo của nó. Tuy nhiên, bất đẳng thức Ptolemy có thể được áp dụng một cách tổng quát cho các điểm trong không gian Euclid với số chiều bất kỳ, không phụ thuộc vào việc chúng được sắp xếp như thế nào.^[11] Hình học khoảng cách Euclid nghiên cứu các tính chất của khoảng cách Euclid, trong đó có bất đẳng thức Ptolemy, và ứng dụng của chúng trong việc kiểm tra xem một tập hợp khoảng cách cho trước có đến từ những điểm trong một không gian Euclid hay không.^[12]

Bình phương khoảng cách Euclid

Mặt nón, đồ thị của khoảng cách Euclid từ gốc tọa độ trong mặt phẳng

Paraboloid, đồ thị của bình phương khoảng cách Euclid từ gốc tọa độ

Trong một số ứng dụng, đặc biệt là khi so sánh khoảng cách, một cách thuận tiện hơn là bỏ qua bước lấy căn bậc hai trong phép tính khoảng cách Euclid. Khi đó, kết quả thu được được goi là bình phương khoảng cách Euclid.^[13] Nó có thể được biểu diễn dưới dạng tổng các bình phương:

d^{2}(p,q)=(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{i}-q_{i})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}.

Ngoài ứng dụng trong so sánh khoảng cách, bình phương khoảng cách Euclid còn đóng vai trò quan trọng trong thống kê, tại đó nó được áp dụng trong phương pháp bình phương tối thiểu, một phương pháp để xác định đường khớp với dữ liệu bằng cách tìm giá trị nhỏ nhất của bình phương khoảng cách trung bình giữa giá trị quan sát và giá trị được tính.^[14] Phép cộng giữa các bình phương khoảng cách với nhau, giống như khi được áp dụng trong phương pháp bình phương tối thiểu, tương ứng với một phép toán trên khoảng cách (chưa bình phương) được gọi là phép cộng Pytago.^[15] Trong phân tích cụm, bình phương khoảng cách có thể được áp dụng để làm tăng độ ảnh hưởng đối với khoảng cách dài hơn.^[13]

Bình phương khoảng cách Euclid không tạo thành không gian mêtric vì nó không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác.^[16] Tuy nhiên, nó là hàm lồi hoàn toàn và trơn của hai điểm, không giống với hàm khoảng cách, vốn là một hàm không trơn (gần các cặp điểm bằng nhau) và lồi nhưng không phải là hàm lồi hoàn toàn. Bình phương khoảng cách do đó được ưu tiên áp dụng trong lý thuyết tối ưu hóa toán học, vì nó cho phép sử dụng lý thuyết giải tích lồi. Vì hàm bình phương là một hàm số đơn điệu với giá trị không âm, việc tìm giá trị nhỏ nhất của bình phương khoảng cách cũng giống với việc tìm giá trị nhỏ nhất của khoảng cách Euclid, nên bài toán tối ưu hóa về mặt cách giải nào cũng đều tương đồng nhau, nhưng sẽ dễ giải hơn khi sử dụng bình phương khoảng cách.^[17]

Tập hợp tất cả bình phương khoảng cách giữa các cặp điểm từ một tập hữu hạn có thể được lưu trữ trong ma trận khoảng cách Euclid, và thường được sử dụng dưới dạng này trong hình học khoảng cách.^[18]

Khái quát hóa

Trong toán học cao cấp, khi xem không gian Euclid là một không gian vectơ, khoảng cách của nó có liên hệ tương ứng với một chuẩn được gọi là chuẩn Euclid, được định nghĩa là khoảng cách của một vectơ từ gốc tọa độ. Một trong những tính chất quan trọng của chuẩn này, có quan hệ với các chuẩn khác trong toán học, là nó vẫn không đổi ngay cả khi không gian được quay theo một góc bất kỳ quanh điểm gốc.^[19] Theo định lý Dvoretzky, đối với một không gian định chuẩn với số chiều hữu hạn, tồn tại một không gian con với số chiều lớn mà chuẩn của nó gần bằng với chuẩn Euclid; chuẩn Euclid là chuẩn duy nhất có tính chất này.^[20] Nó có thể được mở rộng sang không gian vectơ vô hạn chiều, chẳng hạn như không gian L² hoặc khoảng cách L².^[21]

Một số loại khoảng cách khác trên không gian Euclid và không gian vectơ ít chiều bao gồm:^[22]

Khoảng cách Chebyshev, đo khoảng cách với giả thiết rằng chỉ chiều có nghĩa nhất là thích hợp.
Khoảng cách Manhattan, đo khoảng cách chỉ theo hướng trục tọa độ.
Khoảng cách Minkowski, một dạng khái quát hóa liên hệ khoảng cách Euclid, khoảng cách Chebyshev và khoảng cách Manhattan.

Với những điểm trong một mặt ở ba chiều, khoảng cách Euclid cần phải được phân biệt với khoảng cách trắc địa, độ dài của một đường cong ngắn nhất thuộc mặt đó. Đặc biệt, để đo khoảng cách cung vòng lớn trên Trái Đất hoặc mặt cầu hay mặt tựa cầu khác, một số loại khoảng cách được sử dụng bao gồm khoảng cách haversine cho biết khoảng cách cung vòng lớn giữa hai điểm trong mặt cầu khi biết kinh độ và vĩ độ của chúng, và công thức Vincenty còn được gọi là "khoảng cách Vincenty" đối với khoảng cách trong một hình phỏng cầu.^[23]

Lịch sử

Khoảng cách Euclid là khoảng cách trong không gian Euclid; cả hai danh pháp này đều được đặt tên theo nhà toán học Hy Lạp cổ đại Euclid, tác giả của bộ Cơ sở vốn đã trở thành sách giáo khoa hình học tiêu chuẩn trong nhiều thế kỷ.^[24] Khái niệm về độ dài và khoảng cách rất phổ biến qua các nền văn hóa, có thể xuất hiện sớm nhất trong các tài liệu quan liêu thời kỳ Protoliterate từ Sumer vào thiên niên kỷ thứ tư trước Công nguyên (rất xa trước thời Euclid),^[25] và có giả thuyết cho rằng chúng phát triển ở trẻ sớm hơn so với hai khái niệm liên quan là tốc độ và thời gian.^[26] Nhưng khái niệm về khoảng cách, dưới dạng một số được xác định từ hai điểm, không thực sự xuất hiện trong bộ Cơ sở của Euclid. Thay vào đó, Euclid tiếp cận khái niệm này theo cách gián tiếp, thông qua tính tương đẳng của các đoạn thẳng, thông qua việc so sánh độ dài đoạn thẳng, và thông qua khái niệm tỉ lệ thuận.^[27]

Định lý Pytago cũng là một định lý toán học cổ đại, nhưng nó chỉ có thể đóng vai trò quan trọng trong việc đo khoảng cách sau khi tọa độ Cartesian được René Descartes phát minh vào năm 1637. Công thức khoảng cách được Alexis Clairaut xuất bản lần đầu vào năm 1731.^[28] Do công thức này nên khoảng cách Euclid đôi khi còn được gọi là khoảng cách Pytago.^[29] Mặc dù các phép đo khoảng cách lớn trên bề mặt Trái Đất, vốn không phải là khoảng cách Euclid, đã được nghiên cứu một lần nữa tại nhiều nền văn hóa từ sau thời cổ đại, ý tưởng rằng khoảng cách Euclid có thể không phải là cách duy nhất để đo khoảng cách giữa các điểm trong không gian toán học xuất hiện trễ hơn, với sự hình thành của hình học phi Euclid vào thế kỷ 19.^[30] Định nghĩa về chuẩn Euclid và khoảng cách Euclid đối với hình học nhiều hơn ba chiều cũng xuất hiện lần đầu vào thế kỷ 19 trong công trình của Augustin-Louis Cauchy.^[31]

Tham khảo

^ ^a ^b ^c Smith, Karl (2013), Precalculus: A Functional Approach to Graphing and Problem Solving, Jones & Bartlett Publishers, tr. 8, ISBN 978-0-7637-5177-7
^ ^a ^b Cohen, David (2004), Precalculus: A Problems-Oriented Approach (ấn bản 6), Cengage Learning, tr. 698, ISBN 978-0-534-40212-9
^ Aufmann, Richard N.; Barker, Vernon C.; Nation, Richard D. (2007), College Trigonometry (ấn bản 6), Cengage Learning, tr. 17, ISBN 978-1-111-80864-8
^ Andreescu, Titu; Andrica, Dorin (2014), “3.1.1 The Distance Between Two Points”, Complex Numbers from A to ... Z (ấn bản 2), Birkhäuser, tr. 57–58, ISBN 978-0-8176-8415-0
^ Tabak, John (2014), Geometry: The Language of Space and Form, Facts on File math library, Infobase Publishing, tr. 150, ISBN 978-0-8160-6876-0
^ Ó Searcóid, Mícheál (2006), “2.7 Distances from Sets to Sets”, Metric Spaces, Springer Undergraduate Mathematics Series, Springer, tr. 29–30, ISBN 978-1-84628-627-8
^ ^a ^b Ballantine, J. P.; Jerbert, A. R. (tháng 4 năm 1952), “Distance from a line, or plane, to a point”, Classroom notes, American Mathematical Monthly, 59 (4): 242–243, doi:10.2307/2306514, JSTOR 2306514
^ Bell, Robert J. T. (1914), “49. The shortest distance between two lines”, An Elementary Treatise on Coordinate Geometry of Three Dimensions (ấn bản 2), Macmillan, tr. 57–61
^ Ivanov, Oleg A. (2013), Easy as π?: An Introduction to Higher Mathematics, Springer, tr. 140, ISBN 978-1-4612-0553-1
^ ^a ^b ^c ^d Strichartz, Robert S. (2000), The Way of Analysis, Jones & Bartlett Learning, tr. 357, ISBN 978-0-7637-1497-0
^ Adam, John A. (2017), “Chapter 2. Introduction to the "Physics" of Rays”, Rays, Waves, and Scattering: Topics in Classical Mathematical Physics, Princeton Series in Applied Mathematics, Princeton University Press, tr. 26–27, doi:10.1515/9781400885404-004, ISBN 978-1-4008-8540-4
^ Liberti, Leo; Lavor, Carlile (2017), Euclidean Distance Geometry: An Introduction, Springer Undergraduate Texts in Mathematics and Technology, Springer, tr. xi, ISBN 978-3-319-60792-4
^ ^a ^b Spencer, Neil H. (2013), “5.4.5 Squared Euclidean Distances”, Essentials of Multivariate Data Analysis, CRC Press, tr. 95, ISBN 978-1-4665-8479-2
^ Randolph, Karen A.; Myers, Laura L. (2013), Basic Statistics in Multivariate Analysis, Pocket Guide to Social Work Research Methods, Oxford University Press, tr. 116, ISBN 978-0-19-976404-4
^ Moler, Cleve and Donald Morrison (1983), “Replacing Square Roots by Pythagorean Sums” (PDF), IBM Journal of Research and Development, 27 (6): 577–581, CiteSeerX 10.1.1.90.5651, doi:10.1147/rd.276.0577
^ Mielke, Paul W.; Berry, Kenneth J. (2000), “Euclidean distance based permutation methods in atmospheric science”, trong Brown, Timothy J.; Mielke, Paul W. Jr. (biên tập), Statistical Mining and Data Visualization in Atmospheric Sciences, Springer, tr. 7–27, doi:10.1007/978-1-4757-6581-6_2
^ Kaplan, Wilfred (2011), Maxima and Minima with Applications: Practical Optimization and Duality, Wiley Series in Discrete Mathematics and Optimization, 51, John Wiley & Sons, tr. 61, ISBN 978-1-118-03104-9
^ Alfakih, Abdo Y. (2018), Euclidean Distance Matrices and Their Applications in Rigidity Theory, Springer, tr. 51, ISBN 978-3-319-97846-8
^ Kopeikin, Sergei; Efroimsky, Michael; Kaplan, George (2011), Relativistic Celestial Mechanics of the Solar System, John Wiley & Sons, tr. 106, ISBN 978-3-527-63457-6
^ Matoušek, Jiří (2002), Lectures on Discrete Geometry, Graduate Texts in Mathematics, Springer, tr. 349, ISBN 978-0-387-95373-1
^ Ciarlet, Philippe G. (2013), Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications, Society for Industrial and Applied Mathematics, tr. 173, ISBN 978-1-61197-258-0
^ Klamroth, Kathrin (2002), “Section 1.1: Norms and Metrics”, Single-Facility Location Problems with Barriers, Springer Series in Operations Research, Springer, tr. 4–6, doi:10.1007/0-387-22707-5_1
^ Panigrahi, Narayan (2014), “12.2.4 Haversine Formula and 12.2.5 Vincenty's Formula”, Computing in Geographic Information Systems, CRC Press, tr. 212–214, ISBN 978-1-4822-2314-9
^ Zhang, Jin (2007), Visualization for Information Retrieval, Springer, ISBN 978-3-540-75148-9
^ Høyrup, Jens (2018), “Mesopotamian mathematics” (PDF), trong Jones, Alexander; Taub, Liba (biên tập), The Cambridge History of Science, Volume 1: Ancient Science, Cambridge University Press, tr. 58–72
^ Acredolo, Curt; Schmid, Jeannine (1981), “The understanding of relative speeds, distances, and durations of movement”, Developmental Psychology, 17 (4): 490–493, doi:10.1037/0012-1649.17.4.490
^ Henderson, David W. (2002), “Review of Geometry: Euclid and Beyond by Robin Hartshorne”, Bulletin of the American Mathematical Society, 39: 563–571, doi:10.1090/S0273-0979-02-00949-7
^ Maor, Eli (2019), The Pythagorean Theorem: A 4,000-Year History, Princeton University Press, tr. 133–134, ISBN 978-0-691-19688-6
^ Rankin, William C.; Markley, Robert P.; Evans, Selby H. (tháng 3 năm 1970), “Pythagorean distance and the judged similarity of schematic stimuli”, Perception & Psychophysics, 7 (2): 103–107, doi:10.3758/bf03210143, S2CID 144797925
^ Milnor, John (1982), “Hyperbolic geometry: the first 150 years”, Bulletin of the American Mathematical Society, 6 (1): 9–24, doi:10.1090/S0273-0979-1982-14958-8, MR 0634431
^ Ratcliffe, John G. (2019), Foundations of Hyperbolic Manifolds, Graduate Texts in Mathematics, 149 (ấn bản 3), Springer, tr. 32, ISBN 978-3-030-31597-9

[smith-1] Smith, Karl (2013), Precalculus: A Functional Approach to Graphing and Problem Solving, Jones & Bartlett Publishers, tr. 8, ISBN 978-0-7637-5177-7

[cohen-2] Cohen, David (2004), Precalculus: A Problems-Oriented Approach (ấn bản 6), Cengage Learning, tr. 698, ISBN 978-0-534-40212-9

[3] Aufmann, Richard N.; Barker, Vernon C.; Nation, Richard D. (2007), College Trigonometry (ấn bản 6), Cengage Learning, tr. 17, ISBN 978-1-111-80864-8

[4] Andreescu, Titu; Andrica, Dorin (2014), “3.1.1 The Distance Between Two Points”, Complex Numbers from A to ... Z (ấn bản 2), Birkhäuser, tr. 57–58, ISBN 978-0-8176-8415-0

[5] Tabak, John (2014), Geometry: The Language of Space and Form, Facts on File math library, Infobase Publishing, tr. 150, ISBN 978-0-8160-6876-0

[6] Ó Searcóid, Mícheál (2006), “2.7 Distances from Sets to Sets”, Metric Spaces, Springer Undergraduate Mathematics Series, Springer, tr. 29–30, ISBN 978-1-84628-627-8

[baljer-7] Ballantine, J. P.; Jerbert, A. R. (tháng 4 năm 1952), “Distance from a line, or plane, to a point”, Classroom notes, American Mathematical Monthly, 59 (4): 242–243, doi:10.2307/2306514, JSTOR 2306514

[8] Bell, Robert J. T. (1914), “49. The shortest distance between two lines”, An Elementary Treatise on Coordinate Geometry of Three Dimensions (ấn bản 2), Macmillan, tr. 57–61

[9] Ivanov, Oleg A. (2013), Easy as π?: An Introduction to Higher Mathematics, Springer, tr. 140, ISBN 978-1-4612-0553-1

[strichartz-10] Strichartz, Robert S. (2000), The Way of Analysis, Jones & Bartlett Learning, tr. 357, ISBN 978-0-7637-1497-0

[11] Adam, John A. (2017), “Chapter 2. Introduction to the "Physics" of Rays”, Rays, Waves, and Scattering: Topics in Classical Mathematical Physics, Princeton Series in Applied Mathematics, Princeton University Press, tr. 26–27, doi:10.1515/9781400885404-004, ISBN 978-1-4008-8540-4

[12] Liberti, Leo; Lavor, Carlile (2017), Euclidean Distance Geometry: An Introduction, Springer Undergraduate Texts in Mathematics and Technology, Springer, tr. xi, ISBN 978-3-319-60792-4

[spencer-13] Spencer, Neil H. (2013), “5.4.5 Squared Euclidean Distances”, Essentials of Multivariate Data Analysis, CRC Press, tr. 95, ISBN 978-1-4665-8479-2

[14] Randolph, Karen A.; Myers, Laura L. (2013), Basic Statistics in Multivariate Analysis, Pocket Guide to Social Work Research Methods, Oxford University Press, tr. 116, ISBN 978-0-19-976404-4

[15] Moler, Cleve and Donald Morrison (1983), “Replacing Square Roots by Pythagorean Sums” (PDF), IBM Journal of Research and Development, 27 (6): 577–581, CiteSeerX 10.1.1.90.5651, doi:10.1147/rd.276.0577

[16] Mielke, Paul W.; Berry, Kenneth J. (2000), “Euclidean distance based permutation methods in atmospheric science”, trong Brown, Timothy J.; Mielke, Paul W. Jr. (biên tập), Statistical Mining and Data Visualization in Atmospheric Sciences, Springer, tr. 7–27, doi:10.1007/978-1-4757-6581-6_2

[17] Kaplan, Wilfred (2011), Maxima and Minima with Applications: Practical Optimization and Duality, Wiley Series in Discrete Mathematics and Optimization, 51, John Wiley & Sons, tr. 61, ISBN 978-1-118-03104-9

[18] Alfakih, Abdo Y. (2018), Euclidean Distance Matrices and Their Applications in Rigidity Theory, Springer, tr. 51, ISBN 978-3-319-97846-8

[19] Kopeikin, Sergei; Efroimsky, Michael; Kaplan, George (2011), Relativistic Celestial Mechanics of the Solar System, John Wiley & Sons, tr. 106, ISBN 978-3-527-63457-6

[20] Matoušek, Jiří (2002), Lectures on Discrete Geometry, Graduate Texts in Mathematics, Springer, tr. 349, ISBN 978-0-387-95373-1

[21] Ciarlet, Philippe G. (2013), Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications, Society for Industrial and Applied Mathematics, tr. 173, ISBN 978-1-61197-258-0

[22] Klamroth, Kathrin (2002), “Section 1.1: Norms and Metrics”, Single-Facility Location Problems with Barriers, Springer Series in Operations Research, Springer, tr. 4–6, doi:10.1007/0-387-22707-5_1

[23] Panigrahi, Narayan (2014), “12.2.4 Haversine Formula and 12.2.5 Vincenty's Formula”, Computing in Geographic Information Systems, CRC Press, tr. 212–214, ISBN 978-1-4822-2314-9

[:0-24] Zhang, Jin (2007), Visualization for Information Retrieval, Springer, ISBN 978-3-540-75148-9

[25] Høyrup, Jens (2018), “Mesopotamian mathematics” (PDF), trong Jones, Alexander; Taub, Liba (biên tập), The Cambridge History of Science, Volume 1: Ancient Science, Cambridge University Press, tr. 58–72

[26] Acredolo, Curt; Schmid, Jeannine (1981), “The understanding of relative speeds, distances, and durations of movement”, Developmental Psychology, 17 (4): 490–493, doi:10.1037/0012-1649.17.4.490

[27] Henderson, David W. (2002), “Review of Geometry: Euclid and Beyond by Robin Hartshorne”, Bulletin of the American Mathematical Society, 39: 563–571, doi:10.1090/S0273-0979-02-00949-7

[28] Maor, Eli (2019), The Pythagorean Theorem: A 4,000-Year History, Princeton University Press, tr. 133–134, ISBN 978-0-691-19688-6

[29] Rankin, William C.; Markley, Robert P.; Evans, Selby H. (tháng 3 năm 1970), “Pythagorean distance and the judged similarity of schematic stimuli”, Perception & Psychophysics, 7 (2): 103–107, doi:10.3758/bf03210143, S2CID 144797925

[30] Milnor, John (1982), “Hyperbolic geometry: the first 150 years”, Bulletin of the American Mathematical Society, 6 (1): 9–24, doi:10.1090/S0273-0979-1982-14958-8, MR 0634431

[31] Ratcliffe, John G. (2019), Foundations of Hyperbolic Manifolds, Graduate Texts in Mathematics, 149 (ấn bản 3), Springer, tr. 32, ISBN 978-3-030-31597-9

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

@@ Dòng 1: / Dòng 1: @@
-[[File:Euclidean distance 2d.svg|thumb|Sử dụng định lý Pythagoras để tính toán khoảng cách Euclid trên mặt phẳng 2 chiều.]]
+[[Tập tin:Euclidean distance 2d.svg|nhỏ|upright=1.35|Áp dụng định lý Pytago để tính khoảng cách Euclid trong mặt phẳng]]
+Trong [[toán học]], '''khoảng cách Euclid''' ({{lang-en|Euclidean distance}}) giữa hai điểm trong [[không gian Euclid]] là độ dài của đoạn thẳng nối hai điểm đó. Nó có thể được tính từ [[tọa độ Cartesian]] của hai điểm đó bằng cách sử dụng [[Định lý Pythagoras|định lý Pytago]], và do đó đôi khi còn được gọi là '''khoảng cách Pytago''' ({{lang-en|Pythagorean distance}}). Hai danh pháp trên được đặt theo tên của hai nhà toán học Hy Lạp cổ đại [[Euclid]] và [[Pythagoras]], dù Euclid không dùng số để chỉ khoảng cách, và mối liên hệ giữa định lý Pytago với việc tính khoảng cách chưa được thiết lập cho đến thế kỷ 18.
+Khoảng cách giữa hai đối tượng hình học không phải là điểm thường được định nghĩa là khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm thuộc hai đối tượng đó. Có một số công thức đã biết để tính khoảng cách giữa các dạng đối tượng khác nhau, chẳng hạn như khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Trong toán học nâng cao, khái niệm khoảng cách được khái quát hóa sang [[không gian mêtric]] trừu tượng, và một số loại khoảng cách khác ngoài khoảng cách Euclid cũng đã được nghiên cứu. Ở một số ứng dụng trong thống kê và tối ưu hóa, bình phương khoảng cách Euclid được sử dụng thay vì chính khoảng cách đó.
-Trong [[toán học]], '''khoảng cách Euclid''' là [[khoảng cách]] "thường" giữa hai điểm mà người ta có thể đo được bằng cây thước, và được tính bằng [[định lý Pytago|công thức Pytago]].<ref>[https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/DistanceFormula.shtml The Distance Formula], cut-the-knot.org</ref> Với việc sử dụng công thức này để tính khoảng cách, không gian Euclid (hay thậm chí là bất kỳ [[không gian tích vô hướng]] nào) sẽ trở thành [[không gian mêtric]]. [[Dạng chuẩn (toán học)|Dạng chuẩn]] gắn liền với không gian này được gọi là '''[[dạng chuẩn Euclid]]'''. Những sách cũ gọi mêtric này là '''mêtric Pytago'''.
+== Các công thức khoảng cách ==
-==Định nghĩa==
+=== Một chiều ===
-'''Khoảng cách Euclid''' giữa hai điểm '''p''' và '''q''' là [[chiều dài]] [[đoạn thẳng]] <math>\overline{\mathbf{p}\mathbf{q}}</math>. Trong [[hệ tọa độ Descartes]], nếu '''p'''&nbsp;=&nbsp;(''p''<sub>1</sub>,&nbsp;''p''<sub>2</sub>,...,&nbsp;''p''<sub>''n''</sub>) và '''q'''&nbsp;=&nbsp;(''q''<sub>1</sub>,&nbsp;''q''<sub>2</sub>,...,&nbsp;''q''<sub>''n''</sub>) là hai điểm trong [[không gian Euclide|không gian Euclid ''n'' chiều]], thì khoảng cách từ '''p''' đến '''q''' bằng<ref>[https://www.itl.nist.gov/div898/software/dataplot/refman2/auxillar/eucldist.htm Khoảng cách Euclid]</ref> :
+Khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trên [[trục số]] là [[giá trị tuyệt đối]] của hiệu tọa độ của chúng. Như vậy với hai điểm <math>p</math> và <math>q</math> trên trục số, khoảng cách giữa chúng được cho bởi:<ref name="smith">{{citation|title=Precalculus: A Functional Approach to Graphing and Problem Solving|first=Karl|last=Smith|publisher=Jones & Bartlett Publishers|year=2013|isbn=978-0-7637-5177-7|page=8|url=https://books.google.com/books?id=ZUJbVQN37bIC&pg=PA8}}</ref>
+:<math>d(p,q) = |p-q|.</math>
+Một công thức phức tạp hơn, cho cùng kết quả với công thức trên nhưng dễ khái quát hóa hơn sang không gian nhiều chiều, là:<ref name="smith" />
+:<math>d(p,q) = \sqrt{(p-q)^2}.</math>
+Trong công thức này, phép [[bình phương]] và lấy [[căn bậc hai]] không làm thay đổi giá trị của một số dương, nhưng thay một số âm bất kỳ bằng giá trị tuyệt đối của nó.<ref name="smith" />
+=== Hai chiều ===
-<math>\mathrm{d}(\mathbf{p},\mathbf{q}) = \sqrt{(q_1-p_1)^2 + (q_2-p_2)^2 + \cdots + (q_n-p_n)^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (q_i-p_i)^2}.</math>
+Trong [[Mặt phẳng (toán học)|mặt phẳng Euclid]], cho điểm <math>p</math> có [[tọa độ Cartesian]] <math>(p_1,p_2)</math> và điểm <math>q</math> có tọa độ <math>(q_1,q_2)</math>. Khi đó khoảng cách giữa <math>p</math> và <math>q</math> được tính bằng:<ref name="cohen">{{citation|title=Precalculus: A Problems-Oriented Approach|first=David|last=Cohen|edition=6th|publisher=Cengage Learning|year=2004|isbn=978-0-534-40212-9|page=698|url=https://books.google.com/books?id=_6ukev29gmgC&pg=PA698}}</ref>
+:<math>d(p,q) = \sqrt{(q_1-p_1)^2 + (q_2-p_2)^2}.</math>
+Công thức trên được suy ra bằng cách áp dụng [[Định lý Pythagoras|định lý Pytago]] cho một [[tam giác vuông]] có hai cạnh góc vuông song song với hai trục tọa độ và cạnh huyền là đoạn thẳng nối hai điểm <math>p</math> và <math>q</math>. Hai biểu thức được bình phương bên trong dấu căn cho giá trị là diện tích hình vuông dựng từ cạnh góc vuông tương ứng, và dấu căn ở ngoài cùng chuyển diện tích hình vuông dựng từ cạnh huyền thành độ dài cạnh huyền.<ref>{{citation|title=College Trigonometry|first1=Richard N.|last1=Aufmann|first2=Vernon C.|last2=Barker|first3=Richard D.|last3=Nation|edition=6th|publisher=Cengage Learning|year=2007|isbn=978-1-111-80864-8|page=17|url=https://books.google.com/books?id=kZ8HAAAAQBAJ&pg=PA17}}</ref>
+Ngoài ra, cũng có thể tính được khoảng cách giữa hai điểm khi biết [[Hệ tọa độ cực|tọa độ cực]] của chúng. Nếu tọa độ cực của <math>p</math> là <math>(r,\theta)</math> và tọa độ cực của <math>q</math> là <math>(s,\psi)</math>, thì khoảng cách giữa chúng là:<ref name="cohen" />
-Dạng chuẩn Euclid là khoảng cách của một điểm đến điểm gốc trong không gian Euclid:
-:<math>\|\mathbf{p}\| = \sqrt{p_1^2+p_2^2+\cdots +p_n^2} = \sqrt{\mathbf{p}\cdot\mathbf{p}}</math>
+:<math>d(p,q)=\sqrt{r^2 + s^2 - 2rs\cos(\theta-\psi)}.</math>
+Khi <math>p</math> và <math>q</math> là hai điểm biểu diễn số phức trên mặt phẳng phức, công thức giống với công thức khoảng cách giữa hai điểm trên trục số có thể được áp dụng:<ref>{{citation|title=Complex Numbers from A to ... Z|first1=Titu|last1=Andreescu|first2=Dorin|last2=Andrica|publisher=Birkhäuser|year=2014|edition=2nd|isbn=978-0-8176-8415-0|contribution=3.1.1 The Distance Between Two Points|pages=57–58}}</ref>
-trong đó phương trình sau cùng là [[tích vô hướng]]. Đây là [[chiều dài]] của '''p''', khi ta xem nó là một [[Véc-tơ Euclid]] có gốc nằm ở gốc tọa độ. Khoảng cách khi đó bằng
+:<math>d(p,q) = |p-q|.</math>
-<math>\|\mathbf{p} - \mathbf{q}\| = \sqrt{(\mathbf{p}-\mathbf{q})\cdot(\mathbf{p}-\mathbf{q})} = \sqrt{\|\mathbf{p}\|^2 + \|\mathbf{q}\|^2 - 2\mathbf{p}\cdot\mathbf{q}}.</math>
-== Ví dụ ==
+=== Nhiều chiều ===
-Cho 2 điểm A (1, 1) và B (2, 2) trên mặt phẳng 2 chiều. Dựa theo công thức Pytago, khoảng cách Euclid giữa hai điểm A và B là:
+[[Tập tin:Euclidean distance 3d 2 cropped.png|nhỏ|upright=1.2|Áp dụng nhiều lần định lý Pytago để suy ra công thức khoảng cách Euclid trong không gian <math>n</math> chiều]]
+Trong không gian ba chiều, với hai điểm bất kỳ có tọa độ Cartesian cho trước, khoảng cách giữa chúng là:
+:<math>d(p,q)=\sqrt{(p_1-q_1)^2 + (p_2-q_2)^2 + (p_3-q_3)^2}.</math>
+Tổng quát, với hai điểm bất kỳ có tọa độ Cartesian cho trước trong không gian Euclid <math>n</math> chiều, khoảng cách giữa chúng là:<ref>{{citation|title=Geometry: The Language of Space and Form|series=Facts on File math library|first=John|last=Tabak|publisher=Infobase Publishing|year=2014|isbn=978-0-8160-6876-0|page=150|url=https://books.google.com/books?id=r0HuPiexnYwC&pg=PA150}}</ref>
+:<math>d(p,q) = \sqrt{(p_1- q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2+\cdots+(p_i - q_i)^2+\cdots+(p_n - q_n)^2}.</math>
+=== Đối tượng hình học khác ===
-<math>\|\mathbf{A-B}\| = \sqrt{(1-2)^2+(1-2)^2} = \sqrt{1+1} = 1.41421...</math>
+Với hai đối tượng hình học không phải đều là điểm, khoảng cách thường được định nghĩa một cách đơn giản là khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm bất kỳ thuộc hai đối tượng đó, mặc dù một vài dạng khái quát hóa từ điểm sang tập hợp cũng được sử dụng phổ biến, chẳng hạn như [[khoảng cách Hausdorff]].<ref>{{citation|title=Metric Spaces|series=Springer Undergraduate Mathematics Series|first=Mícheál|last=Ó Searcóid|publisher=Springer|year=2006|isbn=978-1-84628-627-8|contribution=2.7 Distances from Sets to Sets|pages=29–30|url=https://books.google.com/books?id=aP37I4QWFRcC&pg=PA29}}</ref> Một số công thức tính khoảng cách giữa các đối tượng hình học khác nhau bao gồm:
+* [[Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng]] trong mặt phẳng<ref name="baljer">{{citation|last1=Ballantine|first1=J. P.|last2=Jerbert|first2=A. R.|date=April 1952|department=Classroom notes|doi=10.2307/2306514|issue=4|journal=[[American Mathematical Monthly]]|jstor=2306514|pages=242–243|title=Distance from a line, or plane, to a point|volume=59}}</ref>
-== Xem thêm ==
+* [[Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng]] trong không gian Euclid ba chiều<ref name="baljer" />
-*[[Khoảng cách Mahalanobis]]
+* [[Hai đường thẳng chéo nhau|Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau]] trong không gian Euclid ba chiều<ref>{{citation|last=Bell|first=Robert J. T.|edition=2nd|contribution=49. The shortest distance between two lines|contribution-url=https://archive.org/details/elementarytreati00bell/page/56/mode/2up|pages=57–61|publisher=Macmillan|title=An Elementary Treatise on Coordinate Geometry of Three Dimensions|year=1914}}</ref>
-*[[Khoảng cách Manhattan]]
-*[[Khoảng cách Chebyshev]]
-*[[Khoảng cách Minkowski]]
-*[[Mêtric]]
-*[[Phép cộng Pytago]]
-==Tham khảo==
+== Tính chất ==
+Khoảng cách Euclid là một ví dụ cơ bản về khoảng cách trong [[không gian mêtric]],<ref>{{citation|title=Easy as π?: An Introduction to Higher Mathematics|first=Oleg A.|last=Ivanov|publisher=Springer|year=2013|isbn=978-1-4612-0553-1|page=140|url=https://books.google.com/books?id=reALBwAAQBAJ&pg=PA140}}</ref> và thỏa mãn các tính chất sau đây của một không gian mêtric:<ref name="strichartz">{{citation|title=The Way of Analysis|first=Robert S.|last=Strichartz|publisher=Jones & Bartlett Learning|year=2000|isbn=978-0-7637-1497-0|page=357|url=https://books.google.com/books?id=Yix09oVvI1IC&pg=PA357}}</ref>
-{{tham khảo}}
-{{sơ khai}}
+* Nó có ''tính đối xứng'', nghĩa là với mọi điểm <math>p</math> và <math>q</math> bất kỳ thì <math>d(p,q)=d(q,p)</math>. Điều đó có nghĩa là khoảng cách giữa hai điểm không phụ thuộc vào việc điểm nào là điểm đầu và điểm nào là điểm cuối.<ref name="strichartz" />
+* Nó có ''tính phân biệt dương'', nghĩa là khoảng cách giữa hai điểm phân biệt bất kỳ luôn là một [[số dương]], trong khi khoảng cách từ một điểm bất kỳ đến chính nó bằng 0.<ref name="strichartz" />
+* Nó thỏa mãn [[bất đẳng thức tam giác]]: với ba điểm <math>p</math>, <math>q</math> và <math>r</math> bất kỳ thì <math>d(p,q)+d(q,r)\ge d(p,r)</math>. Về mặt trực quan, độ dài của đường đi từ điểm <math>p</math> đến điểm <math>r</math> qua điểm <math>q</math> không thể ngắn hơn so với độ dài đường đi trực tiếp từ <math>p</math> đến <math>r</math>.<ref name="strichartz" />
+Một tính chất khác, [[bất đẳng thức Ptolemy]], có liên quan đến khoảng cách Euclid giữa bốn điểm <math>p</math>, <math>q</math>, <math>r</math> và <math>s</math>. Theo đó
+:<math>d(p,q)\cdot d(r,s)+d(q,r)\cdot d(p,s)\geq d(p,r)\cdot d(q,s).</math>
+Với bốn điểm trên mặt phẳng, có thể diễn đạt lại bất đẳng thức trên như sau: với một [[tứ giác]] bất kỳ, tổng của tích giữa mỗi cặp cạnh đối tương ứng luôn là một số không nhỏ hơn tích độ dài hai đường chéo của nó. Tuy nhiên, bất đẳng thức Ptolemy có thể được áp dụng một cách tổng quát cho các điểm trong không gian Euclid với số chiều bất kỳ, không phụ thuộc vào việc chúng được sắp xếp như thế nào.<ref>{{citation|title=Rays, Waves, and Scattering: Topics in Classical Mathematical Physics|series=Princeton Series in Applied Mathematics|first=John A.|last=Adam|publisher=Princeton University Press|year=2017|isbn=978-1-4008-8540-4|pages=26–27|chapter-url=https://books.google.com/books?id=DnygDgAAQBAJ&pg=PA26|chapter=Chapter 2. Introduction to the "Physics" of Rays|doi=10.1515/9781400885404-004}}</ref> [[Hình học khoảng cách]] Euclid nghiên cứu các tính chất của khoảng cách Euclid, trong đó có bất đẳng thức Ptolemy, và ứng dụng của chúng trong việc kiểm tra xem một tập hợp khoảng cách cho trước có đến từ những điểm trong một không gian Euclid hay không.<ref>{{citation|title=Euclidean Distance Geometry: An Introduction|series=Springer Undergraduate Texts in Mathematics and Technology|first1=Leo|last1=Liberti|first2=Carlile|last2=Lavor|publisher=Springer|year=2017|isbn=978-3-319-60792-4|page=xi|url=https://books.google.com/books?id=jOQ2DwAAQBAJ&pg=PP10}}</ref>
+== Bình phương khoảng cách Euclid ==
+{{multiple image
+| image1 = 3d-function-5.svg
+| caption1 = [[Mặt nón]], [[Đồ thị của hàm số|đồ thị]] của khoảng cách Euclid từ gốc tọa độ trong mặt phẳng
+| image2 = 3d-function-2.svg
+| caption2 = [[Paraboloid]], đồ thị của bình phương khoảng cách Euclid từ gốc tọa độ
+}}Trong một số ứng dụng, đặc biệt là khi so sánh khoảng cách, một cách thuận tiện hơn là bỏ qua bước lấy căn bậc hai trong phép tính khoảng cách Euclid. Khi đó, kết quả thu được được goi là [[bình phương]] khoảng cách Euclid.<ref name="spencer">{{citation|title=Essentials of Multivariate Data Analysis|first=Neil H.|last=Spencer|publisher=CRC Press|year=2013|isbn=978-1-4665-8479-2|contribution=5.4.5 Squared Euclidean Distances|page=95|contribution-url=https://books.google.com/books?id=EG3SBQAAQBAJ&pg=PA95}}</ref> Nó có thể được biểu diễn dưới dạng [[tổng các bình phương]]:
+:<math>d^2(p,q) = (p_1 - q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2+\cdots+(p_i - q_i)^2+\cdots+(p_n - q_n)^2.</math>
+Ngoài ứng dụng trong so sánh khoảng cách, bình phương khoảng cách Euclid còn đóng vai trò quan trọng trong [[thống kê]], tại đó nó được áp dụng trong phương pháp [[bình phương tối thiểu]], một phương pháp để xác định đường khớp với dữ liệu bằng cách tìm giá trị nhỏ nhất của bình phương khoảng cách trung bình giữa giá trị quan sát và giá trị được tính.<ref>{{citation|title=Basic Statistics in Multivariate Analysis|series=Pocket Guide to Social Work Research Methods|first1=Karen A.|last1=Randolph|first2=Laura L.|last2=Myers|publisher=Oxford University Press|year=2013|isbn=978-0-19-976404-4|page=116|url=https://books.google.com/books?id=WgSnudjEsrMC&pg=PA116}}</ref> Phép cộng giữa các bình phương khoảng cách với nhau, giống như khi được áp dụng trong phương pháp bình phương tối thiểu, tương ứng với một phép toán trên khoảng cách (chưa bình phương) được gọi là [[phép cộng Pytago]].<ref>{{citation|author=Moler, Cleve and Donald Morrison|title=Replacing Square Roots by Pythagorean Sums|journal=IBM Journal of Research and Development|volume=27|issue=6|pages=577–581|year=1983|url=http://www.research.ibm.com/journal/rd/276/ibmrd2706P.pdf|doi=10.1147/rd.276.0577|citeseerx=10.1.1.90.5651}}</ref> Trong [[phân tích cụm]], bình phương khoảng cách có thể được áp dụng để làm tăng độ ảnh hưởng đối với khoảng cách dài hơn.<ref name="spencer" />
+Bình phương khoảng cách Euclid không tạo thành không gian mêtric vì nó không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác.<ref>{{citation|last1=Mielke|first1=Paul W.|last2=Berry|first2=Kenneth J.|editor1-last=Brown|editor1-first=Timothy J.|editor2-last=Mielke|editor2-first=Paul W. Jr.|contribution=Euclidean distance based permutation methods in atmospheric science|doi=10.1007/978-1-4757-6581-6_2|pages=7–27|publisher=Springer|title=Statistical Mining and Data Visualization in Atmospheric Sciences|year=2000}}</ref> Tuy nhiên, nó là [[hàm lồi]] hoàn toàn và trơn của hai điểm, không giống với hàm khoảng cách, vốn là một hàm không trơn (gần các cặp điểm bằng nhau) và lồi nhưng không phải là hàm lồi hoàn toàn. Bình phương khoảng cách do đó được ưu tiên áp dụng trong [[Tối ưu hóa (toán học)|lý thuyết tối ưu hóa toán học]], vì nó cho phép sử dụng lý thuyết [[giải tích lồi]]. Vì hàm bình phương là một [[hàm số đơn điệu]] với giá trị không âm, việc tìm giá trị nhỏ nhất của bình phương khoảng cách cũng giống với việc tìm giá trị nhỏ nhất của khoảng cách Euclid, nên bài toán tối ưu hóa về mặt cách giải nào cũng đều tương đồng nhau, nhưng sẽ dễ giải hơn khi sử dụng bình phương khoảng cách.<ref>{{citation|title=Maxima and Minima with Applications: Practical Optimization and Duality|volume=51|series=Wiley Series in Discrete Mathematics and Optimization|first=Wilfred|last=Kaplan|publisher=John Wiley & Sons|year=2011|isbn=978-1-118-03104-9|page=61|url=https://books.google.com/books?id=bAo6KNZcUP0C&pg=PA61}}</ref>
+Tập hợp tất cả bình phương khoảng cách giữa các cặp điểm từ một tập hữu hạn có thể được lưu trữ trong [[ma trận khoảng cách Euclid]], và thường được sử dụng dưới dạng này trong hình học khoảng cách.<ref>{{citation|title=Euclidean Distance Matrices and Their Applications in Rigidity Theory|first=Abdo Y.|last=Alfakih|publisher=Springer|year=2018|isbn=978-3-319-97846-8|page=51|url=https://books.google.com/books?id=woJyDwAAQBAJ&pg=PA51}}</ref>
+== Khái quát hóa ==
+Trong toán học cao cấp, khi xem không gian Euclid là một [[không gian vectơ]], khoảng cách của nó có liên hệ tương ứng với một [[Chuẩn (toán học)|chuẩn]] được gọi là chuẩn Euclid, được định nghĩa là khoảng cách của một vectơ từ gốc tọa độ. Một trong những tính chất quan trọng của chuẩn này, có quan hệ với các chuẩn khác trong toán học, là nó vẫn không đổi ngay cả khi không gian được quay theo một góc bất kỳ quanh điểm gốc.<ref>{{citation|title=Relativistic Celestial Mechanics of the Solar System|first1=Sergei|last1=Kopeikin|first2=Michael|last2=Efroimsky|first3=George|last3=Kaplan|publisher=John Wiley & Sons|year=2011|isbn=978-3-527-63457-6|page=106|url=https://books.google.com/books?id=uN5_DQWSR14C&pg=PA106}}</ref> Theo [[định lý Dvoretzky]], đối với một [[không gian định chuẩn]] với số chiều hữu hạn, tồn tại một không gian con với số chiều lớn mà chuẩn của nó gần bằng với chuẩn Euclid; chuẩn Euclid là chuẩn duy nhất có tính chất này.<ref>{{citation|last=Matoušek|first=Jiří|isbn=978-0-387-95373-1|page=349|publisher=Springer|series=Graduate Texts in Mathematics|title=Lectures on Discrete Geometry|url=https://books.google.com/books?id=K0fhBwAAQBAJ&pg=PA349|year=2002}}</ref> Nó có thể được mở rộng sang không gian vectơ vô hạn chiều, chẳng hạn như [[Không gian Lp|không gian L<sup>2</sup>]] hoặc khoảng cách L<sup>2</sup>.<ref>{{citation|title=Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications|first=Philippe G.|last=Ciarlet|publisher=Society for Industrial and Applied Mathematics|year=2013|isbn=978-1-61197-258-0|page=173|url=https://books.google.com/books?id=AUlWAQAAQBAJ&pg=PA173}}</ref>
+Một số loại khoảng cách khác trên không gian Euclid và không gian vectơ ít chiều bao gồm:<ref>{{citation|last=Klamroth|first=Kathrin|contribution=Section 1.1: Norms and Metrics|doi=10.1007/0-387-22707-5_1|pages=4–6|publisher=Springer|series=Springer Series in Operations Research|title=Single-Facility Location Problems with Barriers|year=2002}}</ref>
+* [[Khoảng cách Chebyshev]], đo khoảng cách với giả thiết rằng chỉ chiều có nghĩa nhất là thích hợp.
+* [[Khoảng cách Manhattan]], đo khoảng cách chỉ theo hướng trục tọa độ.
+* [[Khoảng cách Minkowski]], một dạng khái quát hóa liên hệ khoảng cách Euclid, khoảng cách Chebyshev và khoảng cách Manhattan.
+Với những điểm trong một mặt ở ba chiều, khoảng cách Euclid cần phải được phân biệt với khoảng cách [[trắc địa]], độ dài của một đường cong ngắn nhất thuộc mặt đó. Đặc biệt, để đo khoảng cách cung vòng lớn trên Trái Đất hoặc mặt cầu hay mặt tựa cầu khác, một số loại khoảng cách được sử dụng bao gồm [[khoảng cách haversine]] cho biết khoảng cách cung vòng lớn giữa hai điểm trong mặt cầu khi biết kinh độ và vĩ độ của chúng, và [[công thức Vincenty]] còn được gọi là "khoảng cách Vincenty" đối với khoảng cách trong một hình phỏng cầu.<ref>{{citation|title=Computing in Geographic Information Systems|first=Narayan|last=Panigrahi|publisher=CRC Press|year=2014|isbn=978-1-4822-2314-9|contribution=12.2.4 Haversine Formula and 12.2.5 Vincenty's Formula|pages=212–214|url=https://books.google.com/books?id=kjj6AwAAQBAJ&pg=PA212}}</ref>
+== Lịch sử ==
+Khoảng cách Euclid là khoảng cách trong [[không gian Euclid]]; cả hai danh pháp này đều được đặt tên theo nhà toán học Hy Lạp cổ đại [[Euclid]], tác giả của bộ ''[[Cơ sở (Euclid)|Cơ sở]]'' vốn đã trở thành sách giáo khoa hình học tiêu chuẩn trong nhiều thế kỷ.<ref name=":0">{{citation|title=Visualization for Information Retrieval|first=Jin|last=Zhang|publisher=Springer|year=2007|isbn=978-3-540-75148-9}}</ref> Khái niệm về [[độ dài]] và [[khoảng cách]] rất phổ biến qua các nền văn hóa, có thể xuất hiện sớm nhất trong các tài liệu quan liêu thời kỳ Protoliterate từ [[Sumer]] vào thiên niên kỷ thứ tư trước Công nguyên (rất xa trước thời Euclid),<ref>{{citation|last=Høyrup|first=Jens|editor1-last=Jones|editor1-first=Alexander|editor2-last=Taub|editor2-first=Liba|contribution=Mesopotamian mathematics|contribution-url=https://akira.ruc.dk/~jensh/Publications/2018%7Bj%7D_Mesopotamian%20Mathematics_S.pdf|pages=58–72|publisher=Cambridge University Press|title=The Cambridge History of Science, Volume 1: Ancient Science|year=2018}}</ref> và có giả thuyết cho rằng chúng phát triển ở trẻ sớm hơn so với hai khái niệm liên quan là tốc độ và thời gian.<ref>{{citation|last1=Acredolo|first1=Curt|last2=Schmid|first2=Jeannine|doi=10.1037/0012-1649.17.4.490|issue=4|journal=Developmental Psychology|pages=490–493|title=The understanding of relative speeds, distances, and durations of movement|volume=17|year=1981}}</ref> Nhưng khái niệm về khoảng cách, dưới dạng một số được xác định từ hai điểm, không thực sự xuất hiện trong bộ ''Cơ sở'' của Euclid. Thay vào đó, Euclid tiếp cận khái niệm này theo cách gián tiếp, thông qua tính [[tương đẳng]] của các đoạn thẳng, thông qua việc so sánh độ dài đoạn thẳng, và thông qua khái niệm [[tỉ lệ thuận]].<ref>{{citation|last=Henderson|first=David W.|journal=Bulletin of the American Mathematical Society|pages=563–571|title=Review of ''Geometry: Euclid and Beyond'' by Robin Hartshorne|url=https://www.ams.org/journals/bull/2002-39-04/S0273-0979-02-00949-7|volume=39|year=2002|doi=10.1090/S0273-0979-02-00949-7|doi-access=free}}</ref>
+[[Định lý Pythagoras|Định lý Pytago]] cũng là một định lý toán học cổ đại, nhưng nó chỉ có thể đóng vai trò quan trọng trong việc đo khoảng cách sau khi [[tọa độ Cartesian]] được [[René Descartes]] phát minh vào năm 1637. Công thức khoảng cách được [[Alexis Clairaut]] xuất bản lần đầu vào năm 1731.<ref>{{citation|last=Maor|first=Eli|isbn=978-0-691-19688-6|pages=133–134|publisher=Princeton University Press|title=The Pythagorean Theorem: A 4,000-Year History|url=https://books.google.com/books?id=XuWZDwAAQBAJ&pg=PA133|year=2019}}</ref> Do công thức này nên khoảng cách Euclid đôi khi còn được gọi là khoảng cách Pytago.<ref>{{citation|last1=Rankin|first1=William C.|last2=Markley|first2=Robert P.|last3=Evans|first3=Selby H.|date=March 1970|doi=10.3758/bf03210143|issue=2|journal=Perception & Psychophysics|pages=103–107|title=Pythagorean distance and the judged similarity of schematic stimuli|volume=7|s2cid=144797925|doi-access=free}}</ref> Mặc dù các phép đo khoảng cách lớn trên bề mặt Trái Đất, vốn không phải là khoảng cách Euclid, đã được nghiên cứu một lần nữa tại nhiều nền văn hóa từ sau thời cổ đại, ý tưởng rằng khoảng cách Euclid có thể không phải là cách duy nhất để đo khoảng cách giữa các điểm trong không gian toán học xuất hiện trễ hơn, với sự hình thành của [[hình học phi Euclid]] vào thế kỷ 19.<ref>{{citation|last=Milnor|first=John|author-link=John Milnor|doi=10.1090/S0273-0979-1982-14958-8|issue=1|journal=Bulletin of the American Mathematical Society|mr=634431|pages=9–24|title=Hyperbolic geometry: the first 150 years|volume=6|year=1982|doi-access=free}}</ref> Định nghĩa về chuẩn Euclid và khoảng cách Euclid đối với hình học nhiều hơn ba chiều cũng xuất hiện lần đầu vào thế kỷ 19 trong công trình của [[Augustin-Louis Cauchy]].<ref>{{citation|title=Foundations of Hyperbolic Manifolds|volume=149|series=Graduate Texts in Mathematics|first=John G.|last=Ratcliffe|edition=3rd|publisher=Springer|year=2019|isbn=978-3-030-31597-9|page=32|url=https://books.google.com/books?id=yMO4DwAAQBAJ&pg=PA32}}</ref>
+== Tham khảo ==
+{{reflist|30em}}
 {{DEFAULTSORT:Khoảng cách Euclid}}