Phương trình Diophantine

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Phương trình Diophantine (tiếng Anh: diophantine equation), phương trình Đi-ô-phăng hay phương trình nghiệm nguyên bất định có dạng:

f(x1;x2;x3;...;xn)=0 (*)

khi n \geq 2, và f(x1;x2;x3;...;xn) là một đa thức nguyên với một hoặc đa biến thì (*) được gọi là phương trình nghiệm nguyên (algebraic diophantine equation) bộ số (x01;x02;x03;...;x0n)\in Z thỏa (*) được gọi là một nghiệm nguyên của phương trình.

Một phương trình có một hoặc nhiều cách giải gọi là phương trình có thể giải quyết được.

Từ Diophantine được đặt theo tên nhà toán học Hy Lạp ở thế kỉ thứ 3 sau công nguyên, Diofantos xứ Alexandria. Diophantus, ở Alexandria, đã nghiên cứu các phương trình dạng này, và là một trong những nhà toán học đầu tiên đã kí hiệu hóa đại số. Nhánh toánh học nghiên cứu về các vấn đề Diophantine, gọi là Giải tích Diophantine.

Các câu hỏi liên quan đến phương trình Đi-ô-phăng[sửa | sửa mã nguồn]

Các vấn đề sau được đặt ra khi giải một phương trình nghiệm nguyên, chúng được sắp xếp theo thứ tự từ dễ đến khó:

  1. phương trình có thể giải quyết được hay không, nghĩa là nó có nghiệm, hay vô nghiệm?
  2. nếu có nghiệm, phương trình có bao nhiêu nghiệm, có hữu hạn hay có vô số nghiệm?
  3. tìm tất cả nghiệm của phương trình ?

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Một số bài toán[sửa | sửa mã nguồn]

Các cách giải phương trình Đi-ô-phăng rất phong phú. Tuy vậy có thể rút ra một số cách giải chung tùy thuộc vào dạng của chúng.

Phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính[sửa | sửa mã nguồn]

Phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính có dạng

 ax + by = c

Tùy thuộc vào mối quan hệ giữa ƯCLN(a,b) và c mà suy ra số nghiệm của phương trình:

nếu c không chia hết cho ƯCLN(a,b) thì phương trình đã cho vô nghiệm;
nếu c = ƯCLN(a,b) thì phương trình đã cho có vô số nghiệm;
nếu c chia hết cho ƯCLN (a,b) và lớn hơn ƯCLN(a,b) thì phương trình đã cho cũng có vô số nghiệm.

Muốn biết chi tiết hơn về cách giải phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính xin xem ở bài giải thuật Euclid mở rộng.

Phương trình Pell[sửa | sửa mã nguồn]

Phương trình Pell có dạng chính tắc là

x^2 - dy^2 = 1 .

Bộ ba Pytago[sửa | sửa mã nguồn]

Bộ ba Pytago là nghiệm nguyên dương của phương trình sau:

 x^2 + y^2 = z^2

Định lý lớn Fermat[sửa | sửa mã nguồn]

Đây có lẽ là phương trình Đi-ô-phăng nổi tiếng nhất, và được nghiên cứu nhiều nhất.

Bài toán được phát biểu rất đơn giản,

Không tồn tại các nghiệm nguyên khác không x, y, và z thoả xn + yn = zn trong đó n là một số nguyên lớn hơn 2.

Xem thêm ở Định lý lớn Fermat

Một số dạng và phương pháp khác[sửa | sửa mã nguồn]

1) Đưa phương trình (*) về dạng f1(x1;x2;x3;...;xn).f2(x1;x2;x3;...;xn).f3(x1;x2;x3;...;xn)...fn(x1;x2;x3;...;xn)=a

khi đó .) f1(x1;x2;x3;...;xn)=a1

.) f2(x1;x2;x3;...;xn)=a2

.) f3(x1;x2;x3;...;xn)=a3

...

.) fn(x1;x2;x3;...;xn)=an

Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 3xy+y+x=6

Giải: viết phương trình trên về dạng

3(3xy+y)+ 3x+1= 19
hay
3y(3x+1)+ 3x+1= 19
hay
(3y+1)(3x+1)= 19 (1)
do đó 3y+1; 3x+1 \in Ư(19)= {1;-1;19;-19}
x,y \in Z và thỏa (1)
nên (x;y)=(0;6);(6;0)

2) Sử dụng một số tính chất của số nguyên:

  • Ví dụ 1)tìm nghiệm nguyên của phương trình:

2008x^{2009}+2009y^{2010}=2011

Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]