Định lí sin

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm
Một tam giác với các thành phần trong định lí sin

Trong lượng giác, định lí sin (hay định luật sin, công thức sin) là một phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa chiều dài các cạnh của một tam giác bất kì với sin của các góc tương ứng. Định lí sin được biểu diễn dưới dạng

 \frac{a}{\sin A} \,=\, \frac{b}{\sin B} \,=\, \frac{c}{\sin C} \!

trong đó a, b, c là chiều dài các cạnh, và A, B, C là các góc đối diện (xem hình vẽ). Phương trình cũng có thể được viết dưới dạng nghịch đảo :

 \frac{\sin A}{a} \,=\, \frac{\sin B}{b} \,=\, \frac{\sin C}{c}. \!

Định lí sin có thể được dùng trong phép đạc tam giác để tìm hai cạnh còn lại của một tam giác khi biết một cạnh và hai góc bất kì, hoặc để tìm cạnh thứ ba khi biết hai cạnh và một góc không xen giữa hai cạnh đó. Trong một vài trường hợp, công thức cho ta hai giá trị khác nhau, dẫn đến hai khả năng khác nhau của một tam giác. Định lí sin là một trong hai phương trình lượng giác thường được dùng để tìm cạnh và góc của một tam giác, ngoài định lí cos.

Các ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Cho: cạnh a = 20, cạnh c = 24, góc C = 40°

Theo định lí sin ta có

\frac{\sin A}{20} = \frac{\sin 40^\circ}{24}.
 A = \arcsin\left( \frac{20\sin 40^\circ}{24} \right) \approx 32.39^\circ.

Một ví dụ khác:

Nếu hai cạnh của một tam giác có chiều dài là R và chiều dài cạnh thứ ba, dây cung c, là 100, góc C đối diện với dây cung c thì:

\angle A = \angle B = \frac{180^\circ-\angle C}{2}= 90-\frac{\angle C}{2}\!

{R \over \sin A}={\mbox{c} \over \sin C}\text{ v }{R \over \sin B}={\mbox{c} \over \sin C}\,\!


{\mbox{c} \,\sin A \over \sin C} = R\text{ v }{\mbox{c} \,\sin B \over \sin C} = R.\!

Vấn đề tính toán[sửa | sửa mã nguồn]

Giống như định lí cos, mặc dù định lí sin đúng về mặt toán học, nhưng việc áp dụng có thể dẫn đến sai số lớn khi sin của một góc rất gần với 1.

Vài ứng dụng[sửa | sửa mã nguồn]

  • Định lí sin có thể được dùng để chứng minh công thức sin của một tổng khi hai góc αβ nằm giữa 0 và 90 độ.
Để chứng minh, hạ đường cao từ góc C, chia góc C thành hai góc α cùng phía với góc A và β cùng phía với góc B. Dùng định lí sin đối với cạnh ca để giải phương trình tìm sin C. Trong hai tam giác vuông mới vẽ được nhờ đường cao ta thấy sin(A) = cos(α), sin(B) = cos(β) và c = a sin(β) + b sin(α). Sau khi thế ta được sin(C) =sin(α + β) = sin(β)cos(α) + (b/a)sin(α)cos(α). Dùng định lí sin đối với cạnh ba để giải phương trình tìm b. Thế vào phương trình của sin(α + β) và ta có điều phải chứng minh.

Trường hợp đặc biệt[sửa | sửa mã nguồn]

Trong một vài trường hợp, khi áp dụng định lí sin, ta được hai giá trị khác nhau, dẫn đến khả năng dựng được hai tam giác khác nhau trong cùng một bài toán giải tam giác.

Sine Law - Ambiguous Case.svg

Điều kiện để tam giác ABC rơi vào trường hợp này là:

  • Chỉ biết cạnh ‘’a’’, ‘’b’’ và góc A.
  • Góc A nhọn (A < 90°).
  • Cạnh a bé hơn cạnh b ( a < b).
  • Cạnh ‘’a’’ dài hơn đường cao của tam giác vuông có góc ‘’A’’ và cạnh huyền ‘’b’’ (a > b sin A).

Trong trường hợp đó, góc ‘’B’’ có thể nhọn hoạc tù, do đó:

B = \arcsin {b \sin A \over a}\!

hoặc

B= 180^\circ - \arcsin {b \sin A \over a}

Liên quan với đường tròn ngoại tiếp[sửa | sửa mã nguồn]

Trong công thức

 \frac{a}{\sin A} \,=\, \frac{b}{\sin B} \,=\, \frac{c}{\sin C},\!

giá trị của mỗi phân số chính là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.[1] Người ta cũng chứng minh được rằng giá trị trên bằng

\begin{align}
\frac{abc} {2S} & {} = \frac{abc} {2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}} \\[6pt]
& {} = \frac {2abc} {\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4) }},
\end{align}

trong đó S là diện tích của tam giác và snửa chu vi của nó.

s = \frac{a+b+c} {2}.

Công thức thứ hai có sử dụng đến công thức Heron.

Các dạng khác[sửa | sửa mã nguồn]

Law of sines proof.svg

Từ hình vẽ bên, ta nhận thấy:

\sin A = \frac{h}{b}\text{ and } \sin B = \frac{h}{a}.

Do đó

h = b \sin A = a\sin B \,

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}.

Làm tương tự, ta có:

\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}.

Diện tích tam giác S được tính bởi công thức

S = \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{2}ac \sin B = \frac{1}{2}ab \sin C\,.

Nhân hai vế với 2/abc ta được

\frac{2S}{abc} = \frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}\,.

Định lí sin trong tứ diện[sửa | sửa mã nguồn]

Một tứ diện với các đỉnh O, A, B, C và các góc ∠OAB, ∠OBC, ∠OCA, ∠OAC, ∠OCB, ∠OBA.

Một hệ quả của định lí sin là: trong tứ diện OABC ta có


\begin{align}
& {} \quad \sin\angle OAB\cdot\sin\angle OBC\cdot\sin\angle OCA \\
& = \sin\angle OAC\cdot\sin\angle OCB\cdot\sin\angle OBA.
\end{align}

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 1-3, 1967

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]