Công thức Leibniz để tính π

Một phần của loạt bài viết liên quan đến
hằng số toán học π
3.1415926535897932384626433...
Sử dụng
Diện tích hình tròn Chu vi hình tròn Công thức khác
Tính chất
Vô tỉ Siêu việt
Giá trị
22/7 Xấp xỉ π học
Con người
Archimedes Lưu Huy (nhà toán học) Tổ Xung Chi Aryabhata Madhava Ludolph van Ceulen Seki Takakazu Takebe Kenkō William Jones John Machin William Shanks Srinivasa Ramanujan John Wrench Chudnovsky Yasumasa Kanada
Lịch sử
Lịch sử tính toán số π Sách
Trong văn hóa
Ngày số pi Dự luật số Pi bang Indiana
Bài liên quan
Điểm Feynman Cầu phương hình tròn Bài toán Basel

Trong toán học, Công thức Leibniz để tính π được viết như sau:

$${\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}},$$

Đây là một chuỗi đan dấu, được đặt theo tên nhà toán học Gottfried Wilhelm Leibniz. Tuy nhiên Leibniz không phải là người đầu tiên tìm ra kết quả của chuỗi số này, mà là Madhava, một nhà toán học người Ấn Độ sống ở thế kỷ 14-15. Thậm chí trước khi Leibniz công bố kết quả của mình vào năm 1673 thì có một nhà toán học khác là James Gregory cũng đã độc lập tìm ra kết quả của chuỗi số vào năm 1671.

Đến đầu thế kỷ 18, Brook Taylor tìm ra được kết quả của một chuỗi số tổng quát hơn, mà sau này được gọi là chuỗi Taylor:

$$\arctan x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{2k+1}}.$$

Theo đó thì công thức Leibniz là một trường hợp đặc biệt của chuỗi Taylor khi x=1. Khi đó thì: ${\textstyle \arctan 1={\tfrac {1}{4}}\pi .}$

Bên cạnh đó công thức Leibniz cũng có thể được suy ra từ hàm số L Dirichlet với ký tự Dirichlet của module 4 được tính khi s=1.

Chứng minh

Cách 1

$${\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}&=\arctan(1)\\&=\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx\\[8pt]&=\int _{0}^{1}\left(\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}x^{2k}+{\frac {(-1)^{n+1}\,x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\right)\,dx\\[8pt]&=\left(\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}\right)+(-1)^{n+1}\left(\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx\right)\end{aligned}}$$

Chỉ xét tích phân ở số hạng cuối cùng, chúng ta có:

$$0\leq \int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx\leq \int _{0}^{1}x^{2n+2}\,dx={\frac {1}{2n+3}}\;\rightarrow 0{\text{ khi }}n\rightarrow \infty .$$

Theo định lý kẹp, khi n → ∞, chúng ta sẽ có chuỗi Leibniz:

$${\frac {\pi }{4}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}$$

Cách 2

Từ hàm số $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}z^{2n+1}$, khi $|z|<1$, thì chuỗi $\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}z^{2k}$ sẽ hội tụ đều, khi đó thì

$$\arctan(z)=\int _{0}^{z}{\frac {1}{1+t^{2}}}dt=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}z^{2n+1}=f(z)\ (|z|<1).$$

Vì thế, nếu $f(z)$ tiến đến $f(1)$ thì nó sẽ liên tục và hội tụ đều. Căn cứ tiêu chuẩn Leibniz thì chuỗi $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}$ cũng sẽ hội tụ. Ngoài ra, khi $f(z)$ tiến đến $f(1)$ trong phạm vi góc Stolz, thì tổng Abel cũng chính xác.