Danh sách số nguyên tố Mersenne và số hoàn hảo

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Thanh màu Cuisenaire cho thấy các ước số của 6 (1, 2 và 3) cộng lại bằng 6
Cách hình dung số 6 là số hoàn hảo
Biểu đồ hai xu hướng với trục hành biểu thị năm, trục tung là số lượng chữ số của số nguyên tố đã biết tính theo hàm loga
Đồ thị lôgarit của số chữ số của số nguyên tố lớn nhất đã biết theo năm phát hiện, gần như tất cả đều là số nguyên tố Mersenne

Số nguyên tố Mersennesố hoàn hảo là hai loại số tự nhiên có quan hệ chặt chẽ với nhau trong lý thuyết số. Số nguyên tố Mersenne đặt theo tên nhà toán học Marin Mersenne là các số nguyên tố có thể biểu thị dưới dạng 2p − 1 với p là số nguyên dương. Ví dụ, 3 là số nguyên tố Mersenne vì nó là số nguyên tố và có thể biểu diễn được dưới dạng 22 − 1.[1][2] Bản thân các số p tương ứng với số nguyên tố Mersenne phải là số nguyên tố, nhưng ngược lại không phải mọi số nguyên tố p đều dẫn đến số nguyên tố Mersenne — ví dụ: 211 − 1 = 2047 = 23 × 89.[3] Còn số hoàn hảo là số tự nhiên bằng tổng các ước số dương của chính nó, không bao gồm ước số là chính số đó. Theo đó, 6 là số hoàn hảo vì có các ước số (không bao gồm 6) là 1, 2, 31 + 2 + 3 = 6.[2][4]

Tồn tại song ánh giữa các số nguyên tố Mersenne và số hoàn hảo chẵn được phát biểu trong Định lý Euclid–Euler, do Euclid chứng minh một phần và Leonhard Euler hoàn thiện: các số chẵn là hoàn hảo khi và chỉ khi biểu diễn được dưới dạng 2p − 1 × (2p − 1), trong đó 2p − 1 là số nguyên tố Mersenne. Nói cách khác, những số nào biểu diễn được dưới dạng đó thì là số hoàn hảo, và tất cả các số hoàn hảo chẵn đều có dạng đó. Ví dụ, khi p = 2, 22 − 1 = 3 là số nguyên tố và 22 − 1 × (22 − 1) = 2 × 3 = 6 là số hoàn hảo.[1][5][6]

Một bài toán mở hiện chưa có câu trả lời là số nguyên tố Mersenne và số hoàn hảo chẵn có phải tập vô hạn không.[2][6] Tần suất phân bố số nguyên tố Mersenne được đề cập qua phỏng đoán Lenstra – Pomerance – Wagstaff phát biểu rằng số lượng số nguyên tố Mersenne nhỏ hơn x cho trước là (eγ / log 2) × log log x, trong đó esố Euler, γhằng số Euler còn loglogarit tự nhiên.[7][8][9] Việc có tồn tại số hoàn hảo lẻ nào không hiện cũng chưa rõ; cũng như các điều kiện khác nhau về việc có thể tồn tại những số này, chẳng hạn như nếu có thì giới hạn dưới của chúng là 101500.[10]

Danh sách dưới đây liệt kê tất cả các số nguyên tố Mersenne và số hoàn hảo hiện đã biết theo số mũ p tương ứng. Tính đến năm 2021 đã khám phá được 51 số nguyên tố Mersenne (tương ứng với 51 số hoàn hảo), 17 số lớn nhất trong đó được phát hiện nhờ dự án máy tính phân tán Great Internet Mersenne Prime Search (Tìm kiếm số nguyên tố Mersenne khổng lồ trên Internet) viết tắt là GIMPS.[2] Các số nguyên tố Mersenne mới được tìm thấy bằng Kiểm tra Lucas-Lehmer (Lucas-Lehmer test - LLT), một kiểm tra tính nguyên tố dành cho số nguyên tố Mersenne theo cách hiệu quả đối với máy tính nhị phân.[2]

Các chỉ số xếp theo thứ tự tăng dần. Tính đến năm 2021 vẫn có một xác suất nhỏ rằng thứ hạng có thể thay đổi nếu phát hiện được số nhỏ hơn. Theo GIMPS, tất cả các khả năng nhỏ hơn số mũ thích hợp thứ 48 là p = 57.885.161 đều đã được kiểm tra và xác minh đến tháng 10 năm 2021.[11] Năm và người phát hiện được tính theo thời điểm cho số nguyên tố Mersenne, vì số hoàn hảo được tính theo hệ quả định lý Euclid-Euler. "GIMPS / tên" được dùng để chỉ những số nguyên tố được phát hiện bởi GIMPS và cá nhân đã phát hiện ra số nguyên tố đó. Các số về sau quá dài không viết hết được trong khuôn khổ nên chỉ hiển thị 6 chữ số đầu và 6 chữ số cuối.

Danh sách[sửa | sửa mã nguồn]

Bảng 51 số nguyên tố Mersenne đã biết hiện tại và số hoàn hảo tương ứng
STT p Số nguyên tố Mersenne Độ dài chữ số số nguyên tố Mersenne Số hoàn hảo Độ dài chữ số của số hoàn hảo Thời điểm phát hiện Người phát hiện Phương pháp Tham khảo
1 2 3 1 6 1 Thời cổ đại[a] Ghi nhận cho các nhà toán học Hy Lạp cổ đại Không ghi lại [12][13][14]
2 3 7 1 28 2 [12][13][14]
3 5 31 2 496 3 [12][13][14]
4 7 127 3 8128 4 [12][13][14]
5 13 8191 4 33550336 8 khoảng 1456[b] Khuyết danh[c] Chia thử [13][14]
6 17 131071 6 8589869056 10 1588[b] Pietro Cataldi [2][17]
7 19 524287 6 137438691328 12 [2][18]
8 31 2147483647 10 230584...952128 19 1772 Leonhard Euler Chia thử bằng giới hạn module [19][20]
9 61 230584...693951 19 265845...842176 37 tháng 11 năm 1883 Ivan M. Pervushin Dãy Lucas [21]
10 89 618970...562111 27 191561...169216 54 tháng 6 năm 1911 Ralph Ernest Powers [22]
11 107 162259...288127 33 131640...728128 65 1 tháng 6 năm 1914 [23]
12 127 170141...105727 39 144740...152128 77 10 tháng 1 năm 1876 Édouard Lucas [24]
13 521 686479...057151 157 235627...646976 314 30 tháng 1 năm 1952 Raphael M. Robinson LLT trên SWAC[d] [25]
14 607 531137...728127 183 141053...328128 366 [25]
15 1.279 104079...729087 386 541625...291328 770 25 tháng 6 năm 1952 [26]
16 2.203 147597...771007 664 108925...782528 1.327 7 tháng 10 năm 1952 [27]
17 2.281 446087...836351 687 994970...915776 1.373 9 tháng 10 năm 1952 [27]
18 3.217 259117...315071 969 335708...525056 1.937 8 tháng 9 năm 1957 Hans Riesel LLT trên BESK[e] [28]
19 4.253 190797...484991 1.281 182017...377536 2,561 3 tháng 11 năm 1961 Alexander Hurwitz LLT trên IBM 7090[f] [29]
20 4.423 285542...580607 1.332 407672...534528 2.663 [29]
21 9.689 478220...754111 2.917 114347...577216 5.834 11 tháng 5 năm 1963 Donald B. Gillies LLT trên ILLIAC II[g] [30]
22 9.941 346088...463551 2.993 598885...496576 5.985 16 tháng 5 năm 1963 [30]
23 11.213 281411...392191 3.376 395961...086336 6.751 2 tháng 6 năm 1963 [30]
24 19.937 431542...041471 6.002 931144...942656 12.003 4 tháng 3 năm 1971 Bryant Tuckerman LLT trên IBM 360/91 [31]
25 21.701 448679...882751 6.533 100656...605376 13.066 30 tháng 10 năm 1978 Landon Curt Noll & Laura Nickel LLT trên CDC Cyber[h] 174 [32]
26 23.209 402874...264511 6.987 811537...666816 13.973 9 tháng 2 năm 1979 Landon Curt Noll [32]
27 44.497 854509...228671 13.395 365093...827456 26.790 8 tháng 4 năm 1979 Harry L. Nelson & David Slowinski LLT trên Cray-1[i] [33][34]
28 86.243 536927...438207 25.962 144145...406528 51.924 25 tháng 9 năm 1982 David Slowinski [35]
29 110.503 521928...515007 33,265 136204...862528 66.530 29 tháng 1 năm 1988 Walter Colquitt & Luke Welsh LLT trên NEC SX-2[j] [36][37]
30 132.049 512740...061311 39.751 131451...550016 79.502 19 tháng 9 năm 1983 David Slowinski và cộng sự (Cray) LLT trên Cray X-MP [38]
31 216.091 746093...528447 65.050 278327...880128 130.100 1 tháng 9 năm 1985 LLT trên Cray X-MP/24 [39][40]
32 756.839 174135...677887 227.832 151616...731328 455.663 17 tháng 2 năm 1992 LLT trên Cray-2 của Harwell Lab [41]
33 859.433 129498...142591 258.716 838488...167936 517.430 4 tháng 1 năm 1994 LLT trên Cray C90 [42]
34 1.257.787 412245...366527 378.632 849732...704128 757.263 3 tháng 9 năm 1996 LLT trên Cray T94 [43][44]
35 1.398.269 814717...315711 420.921 331882...375616 841.842 13 tháng 11 năm 1996 GIMPS / Joel Armengaud LLT / Prime95 trên PC Pentium 90 MHz [45]
36 2.976.221 623340...201151 895.932 194276...462976 1.791.864 24 tháng 8 năm 1997 GIMPS / Gordon Spence LLT / Prime95 trên PC Pentium 100 MHz [46]
37 3.021.377 127411...694271 909.526 811686...457856 1.819.050 27 tháng 1 năm 1998 GIMPS / Roland Clarkson LLT / Prime95 trên PC Pentium 200 MHz [47]
38 6.972.593 437075...193791 2.098.960 955176...572736 4.197.919 1 tháng 6 năm 1999 GIMPS / Nayan Hajratwala LLT / Prime95 trên IBM Aptiva[k] với bộ vi xử lý Pentium II 350 MHz [48]
39 13.466.917 924947...259071 4.053.946 427764...021056 8.107.892 14 tháng 11 năm 2001 GIMPS / Michael Cameron LLT / Prime95 trên PC với bộ vi xử lý Athlon T-Bird 800 MHz [49]
40 20.996.011 125976...682047 6.320.430 793508...896128 12.640.858 17 tháng 11 năm 2003 GIMPS / Michael Shafer LLT / Prime95 trên PC Dell Dimension với bộ vi xử lý Pentium 4 2 GHz [50]
41 24.036.583 299410...969407 7.235.733 448233...950528 14.471.465 15 tháng 5 năm 2004 GIMPS / Josh Findley LLT / Prime95 trên PC với bộ vi xử lý Pentium 4 2.4 GHz [51]
42 25.964.951 122164...077247 7.816.230 746209...088128 15.632.458 18 tháng 2 năm 2005 GIMPS / Martin Nowak [52]
43 30.402.457 315416...943871 9.152.052 497437...704256 18.304.103 15 tháng 12 năm 2005 GIMPS / Curtis Cooper & Steven Boone LLT / Prime95 trên PC tại Đại học Trung Missouri (UCM) [53]
44 32.582.657 124575...967871 9.808.358 775946...120256 19.616.714 4 tháng 9 năm 2006 [54]
45 37.156.667 202254...220927 11.185.272 204534...480128 22.370.543 tháng 9 năm 2008 GIMPS / Hans-Michael Elvenich LLT / Prime95 trên PC [55]
46 42.643.801 169873...314751 12.837.064 144285...253376 25.674.127 4 tháng 6 năm 2009[l] GIMPS / Odd Magnar Strindmo LLT / Prime95 trên PC với bộ vi xử lý Intel Core 2 3 GHz [56]
47 43.112.609 316470...152511 12.978.189 500767...378816 25.956.377 23 tháng 8 năm 2008 GIMPS / Edson Smith LLT / Prime95 trên PC Dell OptiPlex với bộ vi xử lý Intel Core 2 Duo E6600 [55][57][58]
48 57.885.161 581887...285951 17.425.170 169296...130176 34.850.340 25 tháng 1 năm 2013 GIMPS / Curtis Cooper LLT / Prime95 trên PC tại Đại học Trung Missouri [59][60]
? 61.273.171 Mức nhỏ nhất chưa được xác minh[m]
49?[n] 74.207.281 300376...436351 22.338.618 451129...315776 44.677.235 7 tháng 1 năm 2016[o] GIMPS / Curtis Cooper LLT / Prime95 trên PC với bộ vi xử lý Intel Core i7-4790 [61][62][63]
50?[n] 77.232.917 467333...179071 23.249.425 109200...301056 46.498.850 26 tháng 12 năm 2017 GIMPS / Jonathan Pace LLT / Prime95 trên PC với bộ vi xử lý Intel Core i5-6600 [64][65][66]
51?[n] 82.589.933 148894...902591 24.862.048 110847...207936 49.724.095 7 tháng 12 năm 2018 GIMPS / Patrick Laroche LLT / Prime95 trên PC với bộ vi xử lý Intel Core i5-4590T [67][68]
? 109.392.587 Mức nhỏ nhất chưa được kiểm tra[m]

Ghi chú[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Bốn số hoàn hảo đầu tiên được Nicomachus nghiên cứu khoảng năm 100, và khái niệm này (tương ứng với số nguyên tố Mersenne) được Euclid biết đến và chép trong bộ Cơ sở. Không có ghi nhận về việc phát hiện.
  2. ^ a b Các nhà Toán học Hồi giáo Trung Cổ như Ismail ibn Ibrahim ibn Fallus (1194–1239) có thể biết về số hoàn hảo thứ năm đến thứ bảy trước khi châu Âu ghi nhận.[15]
  3. ^ Tìm thấy trong bản thảo khuyết danh Codex latinus monacensis 14908 ra đời khoảng từ năm 1456 đến 1461[13][16]
  4. ^ Standards Western Automatic Computer - Máy tính điện tử của NIST năm 1950
  5. ^ Binär Elektronisk SekvensKalkylator - Máy tính điện tử đầu tiên của Thụy Điển 1953–1966
  6. ^ Máy tính lớn tốc độ 100 Kflop/s bắt đầu hoạt động từ tháng 12 năm 1959
  7. ^ Siêu máy tính của Đại học Illinois hoạt động từ năm 1962
  8. ^ Siêu máy tính của Control Data Corporation thập niên 1970, 1980
  9. ^ Siêu máy tính dùng bộ vi xử lý vector đầu tiên của hãng Cray Research ra mắt năm 1976.
  10. ^ Loạt siêu máy tính vector do NEC sản xuất, là những máy tính đầu tiên vượt 1 gigaflop và có tốc độ nhanh nhất thế giới vào những năm 1992–1993, 2002–2004
  11. ^ Máy tính cá nhân ra đời tháng 9 năm 1994
  12. ^ M42.643.801 lần đầu thông báo tới GIMPS vào ngày 12 tháng 4 năm 2009 nhưng do lỗi máy chủ nên đến ngày 4 tháng 6 năm 2009 mới được con người ghi nhận.
  13. ^ a b Tính đến ngày 18 tháng 12 năm 2021[11]
  14. ^ a b c Chưa xác minh được liệu có tồn tại số nguyên tố Mersenne nào chưa được tìm ra giữa số thứ 48 (M57.885.161) (đã chắc chắn) và thứ 51 (M82.589.933) trên bảng này nên xếp hạng chỉ mang tính tạm thời.
  15. ^ M74.207.281 lần đầu thông báo tới GIMPS vào ngày 17 tháng 9 năm 2015 nhưng do lỗi máy chủ nên đến ngày 7 tháng 1 năm 2016 mới được con người ghi nhận.

Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ a b Stillwell 2010, tr. 40.
  2. ^ a b c d e f g Caldwell, Chris K. “Mersenne Primes: History, Theorems and Lists” [Số nguyên tố Mersenne: Lịch sử, định lý và danh sách]. PrimePages (bằng tiếng Anh). Lưu trữ bản gốc ngày 4 tháng 10 năm 2021. Truy cập ngày 1 tháng 12 năm 2021.
  3. ^ Caldwell, Chris K. “If 2n-1 is prime, then so is n” [Nếu 2n-1 là số nguyên tố thì n là số nguyên tố]. PrimePages (bằng tiếng Anh). Lưu trữ bản gốc ngày 5 tháng 10 năm 2021. Truy cập ngày 1 tháng 12 năm 2021.
  4. ^ Prielipp 1970, tr. 692–696.
  5. ^ Caldwell, Chris K. “Characterizing all even perfect numbers” [Đặc trưng của tất cả các số hoàn hảo chẵn]. PrimePages (bằng tiếng Anh). Lưu trữ bản gốc ngày 8 tháng 10 năm 2014. Truy cập ngày 1 tháng 12 năm 2021.
  6. ^ a b Crilly, Tony (2007). “Perfect numbers” [Số hoàn hảo]. 50 mathematical ideas you really need to know [50 ý tưởng toán học bạn thực sự cần biết] (bằng tiếng Anh). Quercus. ISBN 978-1-84724-008-8. Lưu trữ bản gốc ngày 13 tháng 10 năm 2021. Truy cập ngày 1 tháng 12 năm 2021.
  7. ^ Caldwell, Chris K. “Heuristics Model for the Distribution of Mersennes” [Mô hình Heuristic cho phân bố số nguyên tố Mersenne]. PrimePages (bằng tiếng Anh). Lưu trữ bản gốc ngày 5 tháng 10 năm 2021. Truy cập ngày 1 tháng 12 năm 2021.
  8. ^ Wagstaff 1983, tr. 385.
  9. ^ Pomerance 1981, tr. 97–105.
  10. ^ Ochem & Rao 2012, tr. 1869–1877.
  11. ^ a b GIMPS, Milestones Report.
  12. ^ a b c d Heath 1908, tr. 421–425.
  13. ^ a b c d e f Dickson 1919, tr. 4–6.
  14. ^ a b c d e Smith 1925, tr. 21.
  15. ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. “Perfect numbers” [Số hoàn hảo]. MacTutor History of Mathematics archive (bằng tiếng Anh). Lưu trữ bản gốc ngày 5 tháng 10 năm 2021. Truy cập ngày 2 tháng 12 năm 2021.
  16. ^ 'Calendarium ecclesiasticum – BSB Clm 14908'. Bavarian State Library. Lưu trữ bản gốc ngày 13 tháng 10 năm 2021. Truy cập ngày 2 tháng 12 năm 2021.
  17. ^ Cataldi 1603, tr. 12.
  18. ^ Cataldi 1603, tr. 20.
  19. ^ Caldwell, Chris K. “Modular restrictions on Mersenne divisors” [Giới hạn modul trên ước số Mersenne] (bằng tiếng Anh). PrimesPage. Bản gốc lưu trữ ngày 11 tháng 11 năm 2021. Truy cập ngày 2 tháng 12 năm 2021.
  20. ^ L'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin 1774, tr. 35–36.
  21. ^ Bulletin de l'Académie impériale des sciences de St.-Pétersbourg 1887, tr. 532–533.
  22. ^ Powers 1911, tr. 195–197.
  23. ^ “Records of Proceedings at Meetings” [Hồ sơ kỷ yếu hội nghị]. Proceedings of the London Mathematical Society (bằng tiếng Anh). s2-13 (1): iv-xl. 1914. doi:10.1112/plms/s2-13.1.1-s.
  24. ^ Lucas 1876, tr. 165–167.
  25. ^ a b AMS 1952a, tr. 58–61.
  26. ^ AMS 1952b, tr. 204.
  27. ^ a b AMS 1953, tr. 67–72.
  28. ^ Riesel 1958, tr. 60.
  29. ^ a b Hurwitz 1962, tr. 249.
  30. ^ a b c Gillies 1964, tr. 93–97.
  31. ^ Tuckerman 1971, tr. 2319–2320.
  32. ^ a b Noll & Nickel 1980, tr. 1387–1390.
  33. ^ Slowinski 1978, tr. 258–261.
  34. ^ “Science Watch: A New Prime Number” [Thông tin khoa học: Một số nguyên tố mới]. The New York Times (bằng tiếng Anh). ngày 5 tháng 6 năm 1979. Truy cập ngày 13 tháng 10 năm 2021.
  35. ^ Ewing 1983, tr. 48.
  36. ^ Peterson 1988, tr. 85.
  37. ^ Colquitt & Welsh 1991, tr. 867–869.
  38. ^ “Number is largest prime found yet” [Số nguyên tố lớn nhất từng tìm thấy]. The Globe and Mail (bằng tiếng Anh). ngày 24 tháng 9 năm 1983 – qua ProQuest.
  39. ^ Peterson 1985, tr. 199.
  40. ^ Dembart, Lee (ngày 17 tháng 9 năm 1985). “Supercomputer Comes Up With Whopping Prime Number” [Siêu máy tính đưa ra số nguyên tố cực lớn]. Los Angeles Times (bằng tiếng Anh). Lưu trữ bản gốc ngày 2 tháng 11 năm 2021. Truy cập ngày 4 tháng 12 năm 2021.
  41. ^ Maddox 1992, tr. 283.
  42. ^ ComputerWorld 1994, tr. 73.
  43. ^ Caldwell, Chris K. “A Prime of Record Size! 21257787-1” [Kỷ lục độ lớn số nguyên tố! 21257787-1]. PrimePages (bằng tiếng Anh). Lưu trữ bản gốc ngày 5 tháng 10 năm 2021. Truy cập ngày 4 tháng 12 năm 2021.
  44. ^ Gillmor, Dan (ngày 3 tháng 9 năm 1996). “Crunching numbers: Researchers come up with prime math discovery” [Nghiền số: các nhà nghiên cứu trình bày khám phá số nguyên tố trong toán]. Knight Ridder (bằng tiếng Anh). Tribune Content Agency – qua Gale.
  45. ^ GIMPS, M1398269.
  46. ^ GIMPS, M2976221.
  47. ^ GIMPS, M3021377.
  48. ^ GIMPS, M6972593.
  49. ^ GIMPS, M13466917.
  50. ^ GIMPS, M20996011.
  51. ^ GIMPS, M24036583.
  52. ^ GIMPS, M25964951.
  53. ^ GIMPS, M30402457.
  54. ^ GIMPS, M32582657.
  55. ^ a b GIMPS, M43112609.
  56. ^ GIMPS, M42643801.
  57. ^ Maugh, Thomas H. (ngày 27 tháng 9 năm 2008). “Rare prime number found” [Tìm thấy số nguyên tố hiếm]. Los Angeles Times (bằng tiếng Anh). Lưu trữ bản gốc ngày 27 tháng 7 năm 2021. Truy cập ngày 4 tháng 12 năm 2021.
  58. ^ Smith, Edson. “The UCLA Mersenne Prime” [Số nguyên tố Mersenne của UCLA]. UCLA Mathematics (bằng tiếng Anh). Lưu trữ bản gốc ngày 22 tháng 11 năm 2021. Truy cập ngày 4 tháng 12 năm 2021.
  59. ^ GIMPS, M57885161.
  60. ^ Yirka, Bob (ngày 6 tháng 2 năm 2013). “University professor discovers largest prime number to date” [Giáo sư đại học khám phá số nguyên tố lớn nhất đến nay]. Phys.org (bằng tiếng Anh). Lưu trữ bản gốc ngày 16 tháng 1 năm 2021. Truy cập ngày 4 tháng 12 năm 2021.
  61. ^ GIMPS, M74207281.
  62. ^ “Largest known prime number discovered in Missouri” [Số nguyên tố lớn nhất đến nay được tìm ra ở Missouri]. BBC News (bằng tiếng Anh). ngày 20 tháng 1 năm 2016. Lưu trữ bản gốc ngày 21 tháng 8 năm 2021. Truy cập ngày 4 tháng 12 năm 2021.
  63. ^ Thanh Tùng (ngày 26 tháng 1 năm 2016), “Tìm thấy số nguyên tố lớn nhất từ trước tới nay”, VnExpress, truy cập ngày 4 tháng 12 năm 2021
  64. ^ GIMPS, M77232917.
  65. ^ Lamb, Evelyn (ngày 4 tháng 1 năm 2018). “Why You Should Care About a Prime Number That's 23,249,425 Digits Long” [Sao bạn nên quan tâm đến số nguyên tố có độ dài 23.249.425]. Slate Magazine (bằng tiếng Anh). Lưu trữ bản gốc ngày 9 tháng 10 năm 2021. Truy cập ngày 4 tháng 12 năm 2021.
  66. ^ Phương Hoa (ngày 7 tháng 1 năm 2018), “Tìm thấy số nguyên tố lớn nhất dài 9.000 trang”, VnExpress, truy cập ngày 4 tháng 12 năm 2021
  67. ^ GIMPS, M82589933.
  68. ^ Palca, Joe (ngày 21 tháng 12 năm 2018). “The World Has A New Largest-Known Prime Number” [Thế giới có số nguyên tố mới lớn nhất đã phát hiện]. NPR (bằng tiếng Anh). Lưu trữ bản gốc ngày 30 tháng 7 năm 2021. Truy cập ngày 4 tháng 12 năm 2021.

Thư mục[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]