Vectơ

Đối với các định nghĩa khác, xem Vectơ (định hướng).

Trong toán học, vật lý, và kỹ thuật, một vectơ (tiếng Anh: vector hay Hán-Việt: hướng lượng) là một đoạn thẳng có hướng. Đoạn thẳng này biểu thị phương, chiều, độ lớn (chiều dài của vectơ).

Ví dụ trong mặt phẳng cho hai điểm phân biệt A và B bất kì ta có thể xác định được vectơ ${\overrightarrow {AB}}$ được mô tả như hình vẽ.

Trong toán học cao cấp, một vectơ là một phần tử trong một không gian vectơ, được xác định bởi ba yếu tố: điểm đầu (hay điểm gốc), hướng (gồm phương và chiều) và độ lớn (hay độ dài).

Ví dụ, đoạn thẳng AB có điểm gốc là A, hướng từ A đến B được gọi là vectơ AB, ký hiệu là ${\overrightarrow {AB}}$. Vectơ được ký hiệu là ${\overrightarrow {AB}}$ hoặc ${\vec {a}}$, ${\vec {b}}$, ${\vec {u}}$, ${\vec {v}}$

Trong giải tích, một vectơ trong không gian Euclid Rⁿ là một bộ n số thực (x₁, x₂,..., x_n).

Có thể hình dung một vectơ trong không gian Rⁿ là đoạn thẳng có hướng (thường vẽ theo hình mũi tên), đuôi ở gốc tọa độ 0, mũi ở điểm (x₁, x₂,..., x_n).

Vectơ hướng từ A đến B

Các khái niệm cơ bản

• Độ lớn của vectơ ${\overrightarrow {AB}}$ trong hình học được đo bằng độ dài đoạn thẳng AB, ký hiệu giống như ký hiệu giá trị tuyệt đối: $|{\overrightarrow {AB}}|$ đọc là độ dài của vectơ AB
• Vectơ đơn vị là vectơ có độ dài bằng 1, là vectơ quy ước để so sánh.
• Ngoài ra, bạn cũng có thể dễ nhận thấy 1 tính chất cộng đơn giản khác của Vecto: $|{\overrightarrow {AB}}|$ + |${\overrightarrow {CD}}$ | = |AB + CD|
• Vectơ-không là vectơ đặc biệt có điểm đầu trùng với điểm cuối. Ký hiệu là ${\overrightarrow {AA}}$ hoặc ${\overrightarrow {0}}$
• 2 vectơ cùng phương khi giá của chúng song song hoặc trùng nhau
• 2 vectơ bằng nhau là 2 vectơ cùng hướng (phương song song, cùng chiều) và độ lớn bằng nhau. Véctơ ${\overrightarrow {AB}}$ bằng véctơ ${\overrightarrow {CD}}$ được ký hiệu là ${\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {CD}}$.
• 2 vectơ đối nhau là 2 vectơ ngược hướng (phương song song, ngược chiều) và độ lớn bằng nhau. Vectơ đối của véctơ ${\overrightarrow {AB}}$ là ${\overrightarrow {BA}}$ , ta có ${\overrightarrow {AB}}=-{\overrightarrow {BA}}$
• Vectơ tự do: vectơ có thể di chuyển tịnh tiến đến một điểm bất kì, thực chất là thay thế bởi một vectơ khác bằng với vectơ cũ
• Vectơ buộc: vectơ có điểm đầu cố định, không di chuyển được. Trong vật lý, vectơ buộc được dùng để biểu thị các lực tác dụng vào điểm đặt lực.
• Trong hệ tọa độ Descartes, vectơ ${\vec {a}}$ có điểm đầu đặt tại gốc hệ tọa độ thì có thể xác định hoàn toàn bằng tọa độ của điểm cuối của nó, là một bộ số thực sắp thứ tự $(x,\,y)$ trong mặt phẳng và $(x,\,y,\,z)$ trong không gian. Trong không-thời gian bốn chiều, tọa độ đó được xác định bằng $(ct,\,x,\,y,\,z)$ trong đó c là tốc độ ánh sáng, t là thời gian.

Phép toán trên vectơ

Phép cộng vectơ bằng quy tắc hình bình hành (trái) và tam giác (phải)

Phép cộng hai vectơ

Quy tắc

Phép cộng hai vectơ: tổng của hai vectơ ${\overrightarrow {AB}}$ và ${\overrightarrow {CD}}$ là một vectơ được xác định theo quy tắc:

• Quy tắc 3 điểm: di chuyển vectơ ${\overrightarrow {CD}}$ sao cho điểm đầu C của ${\overrightarrow {CD}}$ trùng với điểm cuối B của ${\overrightarrow {AB}}$: $C\equiv B$. Khi đó vectơ ${\overrightarrow {AD}}$ có điểm gốc đặt tại điểm A, điểm cuối đặt tại D, chiều từ A đến D là vectơ tổng
• Quy tắc hình bình hành: di chuyển vectơ ${\overrightarrow {CD}}$ đến vị trí trùng điểm gốc A của vectơ ${\overrightarrow {AB}}$. Khi đó vectơ tổng có gốc đặt tại điểm A, có điểm cuối đặt tại góc đối diện trong hình bình hành tạo ra bởi hai vectơ thành phần ${\overrightarrow {AB}}$ và ${\overrightarrow {CD}}$, chiều từ gốc A đến điểm cuối

Tính chất

• Tính chất giao hoán

${\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {b}}+{\vec {a}}$

• Tính chất kết hợp

$({\vec {a}}+{\vec {b}})+{\vec {c}}={\vec {a}}+({\vec {b}}+{\vec {c}})$

• Tính chất của vectơ-không ${\vec {a}}+{\vec {0}}={\vec {0}}+{\vec {a}}={\vec {a}}$
• Với 3 điểm A, B, C, ta có: ${\vec {AB}}+{\vec {BC}}={\vec {AC}}$
• I là trung điểm đoạn thẳng AB $\Leftrightarrow {\vec {AI}}+{\vec {BI}}={\vec {0}}$
• G là trọng tâm $\vartriangle ABC$ $\Leftrightarrow {\vec {GA}}+{\vec {GB}}+{\vec {GC}}={\vec {0}}$

Hiệu hai vectơ

Ta có:  ${\overrightarrow {AB}}$ - ${\overrightarrow {CD}}$ = ${\overrightarrow {AB}}$ +(-${\overrightarrow {CD}}$)=.${\overrightarrow {AB}}$ + ${\overrightarrow {DC}}$

Quy tắc trừ: Với 3 điểm A, B, C, ta có ${\vec {AB}}-{\vec {AC}}={\vec {CB}}={\vec {CA}}-{\vec {BA}}$

Tích vectơ với một số

Quy tắc

• Phép nhân vectơ với một số: tích của vectơ ${\vec {a}}$ với một số thực $r\in \mathbb {R}$ là một vectơ có gốc và phương trùng với gốc và phương của ${\vec {a}}$, cùng chiều nếu $r>\ 0$ và ngược chiều nếu $r<\ 0$, có độ dài bằng $|r||{\vec {a}}|$

Tính chất

• Với hai vectơ bất kì, với mọi số h và k, ta có
  • $k({\vec {a}}+{\vec {b}})=k{\vec {a}}+k{\vec {b}}$ (
  • $(h+k){\vec {a}}=h{\vec {a}}+k{\vec {a}}$
  • $h(k{\vec {a}})=(hk){\vec {a}}$
  • $1.{\vec {a}}={\vec {a}},(-1).{\vec {a}}=-{\vec {a}}$

Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác

• Nếu K là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta có ${\vec {MA}}+{\vec {MB}}=2{\vec {MK}}$
• Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có ${\vec {MA}}+{\vec {MB}}+{\vec {MC}}=3{\vec {MG}}$

Điều kiện để hai vectơ cùng phương

Điều kiện cần để hai vectơ ${\vec {a}}$ và ${\vec {b}}$ $({\vec {b}}\neq 0)$ cùng phương là có một số k để ${\vec {a}}=k{\vec {b}}$

Nếu ${\vec {a}}$ và ${\vec {b}}$ cùng hướng thì $k=\left\vert {\frac {\vec {a}}{\vec {b}}}\right\vert$

Nếu ${\vec {a}}$ và ${\vec {b}}$ ngược hướng thì $k=-\left\vert {\frac {\vec {a}}{\vec {b}}}\right\vert$

Tích vô hướng của hai vectơ

Quy tắc

• Tích vô hướng () của hai vectơ a và b nhân với cosin của góc α giữa hai vectơ đó, ký hiệu là $({\vec {a}},{\vec {b}})$

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \alpha$

Các tính chất của tích vô hướng

• Tính chất giao hoán ${\vec {a}}.{\vec {b}}={\vec {b}}.{\vec {a}}$
• Tính chất phân phối ${\vec {a}}.({\vec {b}}+{\vec {c}})={\vec {a}}.{\vec {b}}+{\vec {a}}.{\vec {c}}$
• $(k{\vec {a}}).{\vec {b}}=k({\vec {a}}.{\vec {b}})={\vec {a}}(k{\vec {b}})$
• ${\vec {a}}^{2}\geq 0,{\vec {a}}^{2}=0\Leftrightarrow {\vec {a}}={\vec {0}}$

Một số tính chất mở rộng

• $({\vec {a}}+{\vec {b}})^{2}={\vec {a}}^{2}+2{\vec {a}}{\vec {b}}+{\vec {b}}^{2}$
• $({\vec {a}}-{\vec {b}})^{2}={\vec {a}}^{2}-2{\vec {a}}{\vec {b}}+{\vec {b}}^{2}$
• $({\vec {a}}+{\vec {b}}).({\vec {a}}-{\vec {b}})={\vec {a}}^{2}-{\vec {b}}^{2}$

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trong mặt phẳng: ${\vec {a}}.{\vec {b}}=a_{1}.b_{1}+a_{2}.b_{2}$

Trong không gian 3 chiều: ${\vec {a}}.{\vec {b}}=a_{1}.b_{1}+a_{2}.b_{2}+a_{3}.b_{3}$

Xem thêm

• Không gian vectơ
• Tích có hướng (nhân vectơ, tích ngoài, ')