Vectơ

Xem các nghĩa khác tại vectơ (định hướng)

Trong toán học sơ cấp, véctơ là một đoạn thẳng có hướng. Ví dụ trong mặt phẳng cho hai điểm phân A, B bất kì ta có thể xác định được véctơ $\overrightarrow{AB}$ được mô tả như hình vẽ.

Vectơ hướng từ A đến B

Trong toán học cao cấp, một vectơ là một phần tử trong một không gian vectơ, được xác định bởi ba yếu tố: điểm đầu (hay điểm gốc), hướng (gồm phương và chiều) và độ lớn (hay độ dài).

Ví dụ, đoạn thẳng AB có điểm gốc là A, hướng từ A đến B được gọi là vectơ AB, kí hiệu là $\overrightarrow{A B}$. Véctơ được kí hiệu là $\overrightarrow{A B}$ hoặc $\vec a$, $\vec b$, $\vec u$, $\vec v$

Trong giải tích, một vectơ trong không gian Euclid Rⁿ là một bộ n số thực (x₁, x₂, ..., x_n).

Có thể hình dung một vectơ trong không gian Rⁿ là đoạn thẳng có hướng (thường vẽ theo hình mũi tên), đuôi ở gốc tọa độ 0, mũi ở điểm (x₁, x₂, ..., x_n).

Các khái niệm cơ bản

• Độ lớn của vectơ $\overrightarrow{A B}$ trong hình học được đo bằng độ dài đoạn thẳng AB, kí hiệu giống như kí hiệu giá trị tuyệt đối: $|\overrightarrow{A B}|$ đọc là độ dài của vectơ AB
• Vectơ đơn vị là vectơ có độ dài bằng 1, là vectơ quy ước để so sánh
• Vectơ-không là vectơ đặc biệt có điểm đầu trùng với điểm cuối. Kí hiệu là $\overrightarrow{AA}$ hoặc $\overrightarrow{0}$
• Hai vectơ bằng nhau là hai vectơ có cùng hướng (phương song song, cùng chiều) và độ lớn bằng nhau. Véctơ $\overrightarrow{AB}$ bằng véctơ $\overrightarrow{CD}$ được kí hiệu là $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$.
• Vectơ tự do: vectơ có thể di chuyển tịnh tiến đến một điểm bất kì, thực chất là thay thế bởi một vectơ khác bằng với vectơ cũ
• Vectơ buộc: vectơ có điểm đầu cố định, không di chuyển được. Trong vật lý, vectơ buộc được dùng để biểu thị các lực tác dụng vào điểm đặt lực.
• Trong hệ tọa độ Descartes, vectơ $\vec a$ có điểm đầu đặt tại gốc hệ tọa độ thì có thể xác định hoàn toàn bằng tọa độ của điểm cuối của nó, là một bộ số thực sắp thứ tự $(x,\, y)$ trong mặt phẳng và $(x,\, y,\, z)$ trong không gian. Trong không-thời gian bốn chiều, tọa độ đó được xác định bằng $(ct,\, x,\, y,\, z)$ trong đó c là tốc độ ánh sáng, t là thời gian.

Phép toán trên vectơ

Phép cộng vectơ bằng quy tắc hình bình hành (trái) và tam giác (phải)

• Phép cộng hai vectơ: tổng của hai vectơ $\overrightarrow{A B}$ và $\overrightarrow{C D}$ là một vectơ được xác định theo quy tắc:
  • Quy tắc tam giác: di chuyển vectơ $\overrightarrow{C D}$ sao cho điểm đầu C của $\overrightarrow{C D}$ trùng với điểm cuối B của $\overrightarrow{A B}$: $C \equiv B$. Khi đó vectơ $\overrightarrow{A D}$ có điểm gốc đặt tại điểm A, điểm cuối đặt tại D, chiều từ A đến D là vectơ tổng
  • Quy tắc hình bình hành: di chuyển vectơ $\overrightarrow{C D}$ đến vị trí trùng điểm gốc A của vectơ $\overrightarrow{A B}$. Khi đó vectơ tổng có gốc đặt tại điểm A, có điểm cuối đặt tại góc đối diện trong hình bình hành tạo ra bởi hai vectơ thành phần $\overrightarrow{A B}$ và $\overrightarrow{C D}$, chiều từ gốc A đến điểm cuối

• Phép nhân vectơ với một số: tích của vectơ $\vec a$ với một số thực $r \in R$ là một vectơ có gốc và phương trùng với gốc và phương của $\vec a$, cùng chiều nếu $r>\ 0$ và ngược chiều nếu $r<\ 0$, có độ dài bằng $|r||\vec a|$

• Tích vô hướng (en:Dot product) của hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$, còn được gọi là tích trong của hai vectơ, là một số bằng tích hai độ dài của vectơ $\vec a$ và $\vec b$ nhân với cosin của góc α giữa hai vectơ đó, kí hiệu là $(\vec a, \vec b)$ hoặc $\vec {a}\cdot\vec {b}$

$\vec {a}\cdot\vec {b} =|\vec {a}||\vec {b}|\cos\alpha$

• • Tính giao hoán:

$(\vec a, \vec b)=(\vec b, \vec a)$

• • Tính kết hợp với thừa số vô hướng:

$r(\vec a, \vec b)=(r\vec a, \vec b)=(\vec a, r\vec b)$

• • Tính phân phối:
• Tích có hướng (nhân vectơ, tích ngoài, en:Cross product)

Xem thêm

• Không gian vectơ

Liên kết ngoài

• Vectơ
• Vectơ riêng
• Vectơ sóng
• Thế vectơ
• Trường vectơ
• Tích vô hướng
• Tích vectơ
• Không gian vectơ
• Không gian vectơ tô pô
• Đại số vectơ