Ví dụ trong mặt phẳng cho hai điểm phân biệt A và B bất kì ta có thể xác định được vectơ được mô tả như hình vẽ.
Trong toán học cao cấp, một vectơ là một phần tử trong một không gian vectơ, được xác định bởi ba yếu tố: điểm đầu (hay điểm gốc), hướng (gồm phương và chiều) và độ lớn (hay độ dài).
Ví dụ, đoạn thẳng AB có điểm gốc là A, hướng từ A đến B được gọi là vectơ AB, ký hiệu là . Vectơ được ký hiệu là hoặc , , ,
Vectơ đơn vị là vectơ có độ dài bằng 1, là vectơ quy ước để so sánh.
Ngoài ra, bạn cũng có thể dễ nhận thấy 1 tính chất cộng đơn giản khác của Vecto: + | | = |AB + CD|
Vectơ-không là vectơ đặc biệt có điểm đầu trùng với điểm cuối. Ký hiệu là hoặc
2 vectơ cùng phương khi giá của chúng song song hoặc trùng nhau
2 vectơ bằng nhau là 2 vectơ cùng hướng (phương song song, cùng chiều) và độ lớn bằng nhau. Véctơ bằng véctơ được ký hiệu là .
2 vectơ đối nhau là 2 vectơ ngược hướng (phương song song, ngược chiều) và độ lớn bằng nhau. Vectơ đối của véctơ là , ta có
Vectơ tự do: vectơ có thể di chuyển tịnh tiến đến một điểm bất kì, thực chất là thay thế bởi một vectơ khác bằng với vectơ cũ
Vectơ buộc: vectơ có điểm đầu cố định, không di chuyển được. Trong vật lý, vectơ buộc được dùng để biểu thị các lực tác dụng vào điểm đặt lực.
Trong hệ tọa độ Descartes, vectơ có điểm đầu đặt tại gốc hệ tọa độ thì có thể xác định hoàn toàn bằng tọa độ của điểm cuối của nó, là một bộ số thực sắp thứ tự trong mặt phẳng và trong không gian. Trong không-thời gian bốn chiều, tọa độ đó được xác định bằng trong đó c là tốc độ ánh sáng, t là thời gian.
Góc giữa 2 vectơ
Cho 2 vectơ và . Từ điểm O vẽ và . Khi đó chính là góc giữa và . Ký hiệu
Quy ước trong hình học
Góc hợp bởi 2 vectơ cùng phương và cùng hướng là
Góc hợp bởi 2 vectơ cùng phương và ngược hướng là
Phép toán trên vectơ
Phép cộng hai vectơ
Quy tắc
Phép cộng hai vectơ: tổng của hai vectơ và là một vectơ được xác định theo quy tắc:
Quy tắc 3 điểm: di chuyển vectơ sao cho điểm đầu C của trùng với điểm cuối B của : . Khi đó vectơ có điểm gốc đặt tại điểm A, điểm cuối đặt tại D, chiều từ A đến D là vectơ tổng
Quy tắc hình bình hành: di chuyển vectơ đến vị trí trùng điểm gốc A của vectơ . Khi đó vectơ tổng có gốc đặt tại điểm A, có điểm cuối đặt tại góc đối diện trong hình bình hành tạo ra bởi hai vectơ thành phần và , chiều từ gốc A đến điểm cuối
Tính chất
Tính chất giao hoán
Tính chất kết hợp
Tính chất của vectơ-không
Với 3 điểm A, B, C, ta có:
I là trung điểm đoạn thẳng AB
G là trọng tâm
Hiệu hai vectơ
Ta có: - = +(-)=. +
Quy tắc trừ: Với 3 điểm A, B, C, ta có
Tích vectơ với một số
Quy tắc
Phép nhân vectơ với một số: tích của vectơ với một số thực là một vectơ có gốc và phương trùng với gốc và phương của , cùng chiều nếu và ngược chiều nếu , có độ dài bằng
Tính chất
Với hai vectơ bất kì, với mọi số h và k, ta có
(
Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác
Nếu K là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta có
Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có
Điều kiện để hai vectơ cùng phương
Điều kiện cần để hai vectơ và cùng phương là có một số k để
Nếu và cùng hướng thì
Nếu và ngược hướng thì
Tích vô hướng của hai vectơ
Quy tắc
Tích vô hướng () của hai vectơ a và b nhân với cosin của góc α giữa hai vectơ đó, ký hiệu là