Đạo hàm bậc hai

Một phần của loạt bài về
Vi tích phân
Định lý cơ bản Quy tắc tích phân Leibniz Giới hạn của hàm số Tính liên tục Định lý giá trị trung bình Định lý Rolle
Vi phân Định nghĩa Đạo hàm (Tổng quát) Vi phân vô cùng bé hàm số toàn phần Khái niệm Ký hiệu vi phân Đạo hàm bậc hai Vi phân ẩn Định lý Taylor Quy tắc và đẳng thức Cộng Nhân Dây chuyền Lũy thừa Chia Quy tắc l'Hôpital Hàm ngược Leibniz tổng quát Công thức Faà di Bruno
Tích phân Danh sách tích phân Biến đổi tích phân Định nghĩa Nguyên hàm Tích phân (suy rộng) Tích phân Riemann Tích phân Lebesgue Tích phân theo chu tuyến Tích phân của hàm ngược Kỹ thuật Từng phần Đĩa Vỏ Thế (lượng giác, Weierstrass, Euler) Công thức Euler Đổi trật tự Công thức truy hồi Lấy đạo hàm dưới dấu tích phân
Chuỗi Hình học (số học-hình học) Điều hòa Đan dấu Lũy thừa Nhị thức Taylor Tiêu chuẩn hội tụ Số hạng d'Alembert Cauchy Tích phân So sánh So sánh giới hạn Chuỗi đan dấu Cô đọng Cauchy Dirichlet Abel
Vectơ Gradien Div Rot Laplace Đạo hàm có hướng Đẳng thức Định lý Gauss Gradient Green Kelvin–Stokes Stokes
Nhiều biến Chủ đề Ma trận Tenxơ Đạo hàm ngoài Hình học Định nghĩa Đạo hàm riêng Tích phân bội Tích phân đường Tích phân mặt Tích phân thể tích Ma trận Jacobi Ma trận Hesse
Chuyên ngành Malliavin Ngẫu nhiên Phép tính biến phân
Thuật ngữ Thuật ngữ giải tích

Đạo hàm bậc hai của một hàm số bậc hai là hằng số.

Trong giải tích, đạo hàm bậc hai của một hàm số f là đạo hàm của đạo hàm của f. Có thể nói đại khái rằng, đạo hàm bậc hai thể hiện tốc độ biến đổi của một đại lượng thay đổi; ví dụ, đạo hàm bậc hai của vị trí của một vật theo thời gian chính là gia tốc tức thời hay là tốc độ biến đổi của vận tốc theo thời gian. Trong Ghi chú của Leibniz, biểu thức của gia tốc là:

$\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}{\boldsymbol {x}}}{dt^{2}}},$

Trong đó a là gia tốc, v là vận tốc, t là thời gian, x là vị trí. Vế cuối cùng ${\tfrac {d^{2}{\boldsymbol {x}}}{dt^{2}}}$ là đạo hàm bậc hai của vị trí (x) theo thời gian.

Trong đồ thị của hàm số, đạo hàm bậc hai tương ứng với độ cong và độ lồi lõm của đồ thị. Đồ thị có đạo hàm bậc hai dương thì lồi hướng lên trên, còn nếu đạo hàm bậc hai âm thì đồ thị cong theo hướng ngược lại.

Quy tắc luỹ thừa của đạo hàm bậc hai

Quy tắc luỹ thừa của đạo hàm bậc một; nếu số mũ là 2, sẽ cho ra đạo hàm bậc hai như sau:

${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}[x^{n}]={\frac {d}{dx}}{\frac {d}{dx}}[x^{n}]={\frac {d}{dx}}[nx^{n-1}]=n{\frac {d}{dx}}[x^{n-1}]=n(n-1)x^{n-2}.$

Xem thêm

• Chirpyness
• Kiểm tra đạo hàm riêng bậc hai
• Đối xứng của đạo hàm bậc hai

Đọc thêm

Xuất bản

• Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen (ngày 2 tháng 2 năm 2005), Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable (ấn bản thứ 8), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-47244-5
• Apostol, Tom M. (tháng 6 năm 1967), Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra, 1 (ấn bản thứ 2), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1
• Apostol, Tom M. (tháng 6 năm 1969), Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications, 1 (ấn bản thứ 2), Wiley, ISBN 978-0-471-00007-5
• Eves, Howard (ngày 2 tháng 1 năm 1990), An Introduction to the History of Mathematics (ấn bản thứ 6), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-029558-4
• Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; Edwards, Bruce H. (ngày 28 tháng 2 năm 2006), Calculus: Early Transcendental Functions (ấn bản thứ 4), Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-618-60624-5
• Spivak, Michael (tháng 9 năm 1994), Calculus (ấn bản thứ 3), Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-89-8
• Stewart, James (ngày 24 tháng 12 năm 2002), Calculus (ấn bản thứ 5), Brooks Cole, ISBN 978-0-534-39339-7
• Thompson, Silvanus P. (ngày 8 tháng 9 năm 1998), Calculus Made Easy , New York: St. Martin's Press, ISBN 978-0-312-18548-0

Sách điện tử

• Crowell, Benjamin (2003), Calculus
• Garrett, Paul (2004), Notes on First-Year Calculus
• Hussain, Faraz (2006), Understanding Calculus
• Keisler, H. Jerome (2000), Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals
• Mauch, Sean (2004), Unabridged Version of Sean's Applied Math Book, Bản gốc lưu trữ ngày 15 tháng 4 năm 2006
• Sloughter, Dan (2000), Difference Equations to Differential Equations
• Strang, Gilbert (1991), Calculus
• Stroyan, Keith D. (1997), A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus, Bản gốc lưu trữ ngày 11 tháng 9 năm 2005
• Wikibooks, Calculus

Liên kết ngoài

• Discrete Second Derivative from Unevenly Spaced Points