Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Quy tắc chia hết”
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
Tạo với bản dịch của trang “Divisibility rule” |
(Không có sự khác biệt)
|
Phiên bản lúc 17:53, ngày 31 tháng 8 năm 2020
Quy tắc chia hết hay dấu hiệu chia hết là một cách nhanh để xác định xem một số nguyên đã cho có chia hết cho một số chia (ước) cụ thể hay không mà không cần thực hiện phép chia, thường bằng cách kiểm tra các chữ số của nó. Mặc dù có các phép kiểm tra tính chia hết cho các số trong bất kỳ hệ cơ số nào và chúng đều khác nhau, bài viết này chỉ trình bày các quy tắc và ví dụ cho các số thập phân, hay số trong hệ cơ số 10. Martin Gardner đã giải thích và phổ biến những quy tắc này trong chuyên mục "Trò chơi Toán học" vào tháng 9 năm 1962 trên tạp chí Scientific American.[1]
Các dấu hiệu chia hết cho các số 1–30
Các quy tắc đưa ra trong bảng dưới đây biến đổi một số nguyên nhất định thành một số thường nhỏ hơn, trong khi vẫn bảo toàn tính chất chia hết cho số chia cần kiểm tra. Do đó, trừ khi có ghi chú khác, số thu được sau khi biến đổi phải được đánh giá là chia hết cho cùng một ước số. Trong một số trường hợp, quá trình biến đổi có thể được lặp lại cho đến khi rõ ràng tính chất chia hết; đối với các trường hợp khác (chẳng hạn như kiểm tra n chữ số cuối cùng) kết quả phải được kiểm tra bằng các phương pháp khác.
Đối với các ước số có nhiều quy tắc để xét chia hết thì những quy tắc trong bảng sắp xếp ưu tiên thích hợp cho kiểm tra các số cần kiểm tra nguyên có nhiều chữ số, sau đó là những quy tắc hữu ích cho các số có ít chữ số hơn.
Lưu ý: Để kiểm tra tính chia hết cho bất kỳ ước số nào có thể biểu diễn dưới dạng 2n hoặc 5n, trong đó n là số nguyên dương, chỉ cần kiểm tra n chữ số cuối cùng.
Lưu ý: Để kiểm tra tính chia hết cho bất kỳ số nào biểu thị được dưới dạng tích của các thừa số nguyên tố , chúng ta có thể kiểm tra riêng khả năng chia hết cho từng số nguyên tố với lũy thừa thích hợp của nó. Ví dụ: kiểm tra tính chia hết cho 24 (24 = 8*3 = 23*3) tương đương với kiểm tra tính chất chia hết cho 8 (23) và 3 đồng thời, do đó chúng ta chỉ cần xét tính chia hết cho 8 và 3 để chứng minh tính chia hết cho 24.
Lưu ý: dấu hai chấm (:) trong bảng là dấu để thể hiện ví dụ, không phải là dấu chia.
| Ước số | Điều kiện chia hết | Ví dụ số chia hết |
|---|---|---|
| 1 | Không cần điều kiện đặc biệt nào. Mọi số nguyên bất kì đều chia hết cho 1. | 2: chia hết cho 1. |
| 2 | Chữ số tận cùng (hàng đơn vị) là chẵn (0, 2, 4, 6, hay 8).[2][3] | Số 1294: chữ số 4 chẵn nên chia hết cho 2. |
| 3 | Cộng các chữ số của số cần kiểm tra. Tổng thu được phải chia hết cho 3.[4][5] | 405 → 4 + 0 + 5 = 9 và 636 → 6 + 3 + 6 = 15, cả hai số đều chia hết cho 3. 16,499,205,854,376 → 1+6+4+9+9+2+0+5+8+5+4+3+7+6 tổng là 69 → 6 + 9 = 15 → 1 + 5 = 6, 6 rõ ràng chia hết cho 3. |
| Lấy số lượng các chữ số 2, 5, và 8 có trong số cần kiểm tra trừ đi số các chữ số 1, 4, và 7 trong con số đó. Kết quả phải chia hết cho 3. | Sử dụng ví dụ trên: 16,499,205,854,376 có bốn chữ số nhóm 1, 4 và 7 và có bốn chữ số nhóm 2, 5 và 8; ∴ Bởi vì 4 − 4 = 0 là một bội của 3, số 16,499,205,854,376 chia hết cho 3. | |
| 4 | Hai chữ số tận cùng tạo thành một số chia hết cho 4. | 40,832: có 32 chia hết cho 4. |
| Nếu chữ số hàng chục là chẵn, thì chữ số hàng đơn vị phải là 0, 4, hoặc 8. Nếu chữ số hàng chục là lẻ, chữ số hàng đơn vị phải là 2 hoặc 6. |
40,832: chữ số 3 lẻ, còn chữ số hàng đơn vị là 2. | |
| Nhân đôi chữ số hàng chục, rồi cộng với chữ số hàng đơn vị được số chia hết cho 4. | 40832: 2 × 3 + 2 = 8, chia hết cho 4. | |
| 5 | Chữ số tận cùng là 0 hoặc 5. | 495: chữ số tận cùng là 5. |
| 6 | Số chia hết cho cả 2 và 3 thì cũng chia hết cho 6.[6] | 1458: có 1 + 4 + 5 + 8 = 18, nên nó chia hết cho 3 và chữ số tận cùng là chẵn, vì thế nó chia hết cho 6. |
| 7 | Lập một tổng xen kẽ (tức tổng đại số có dấu cộng trừ xen kẽ nhau giữa các số hạng) của từng nhóm ba chữ số từ phải qua trái được kết quả là một bội số của 7[7] | 1,369,851: 851 − 369 + 1 = 483 = 7 × 69 |
| Lấy 5 nhân với chữ số tận cùng rồi cộng vào phần còn lại của số thu được một số chia hết cho 7. (Có hiệu lực bởi 49 chia hết cho 7, xem chứng minh ở dưới.) | 483: có 48 + (3 × 5) = 63 = 7 × 9. | |
| Lấy 2 nhân với chữ số tận cùng rồi trừ vào lấy phần còn lại được một bội của 7. (Cách làm này có hiệu lực vì 21 chia hết 7.) | 483: có 48 − (3 × 2) = 42 = 7 × 6. | |
| Lấy 9 nhân với chữ số tận cùng rồi trừ vào phần còn lại được kết quả chia hết cho 7. | 483: có 48 − (3 × 9) = 21 = 7 × 3. | |
| Cộng 3 nhân với chữ số đầu vào chữ số tiếp theo của số đó rồi viết thêm vào kết quả chữ số còn lại thì phải được một bội số của 7. (Cách làm này có hiệu lực vì 10a + b − 7a = 3a + b; số thu được đồng dư với 10a + b.) | 483: có 4×3 + 8 = 20,
203: có 2×3 + 0 = 6, 63: có 6×3 + 3 = 21. | |
| Cộng hai chữ số sau cùng vào hai lần phần còn lại thì được bội của 7. (Có hiệu lực vì 98 chia hết cho 7) | 483,595: có 95 + (2 × 4835) = 9765: 65 + (2 × 97) = 259: 59 + (2 × 2) = 63. | |
| Nhân từng chữ số (từ phải qua trái) với từng số tương ứng (từ trái qua phải) trong dãy sau: 1, 3, 2, -1, -3, -2 (thực hiện lặp lại với các chữ số ở vị trí vượt quá hàng trăm nghìn). Tổng các tích trên là bội của 7. | 483,595: có (4 × (-2)) + (8 × (-3)) + (3 × (-1)) + (5 × 2) + (9 × 3) + (5 × 1) = 7. | |
| Cộng chữ số tận cùng với 3 lần phần còn lại của số được một bội của 7.[8] | 224: có 4 + (3 x 22) = 70 | |
| Cộng thêm 3 lần chữ số tận cùng vào 2 lần phần còn lại được một bội của 7. | 245: có (3 x 5) + (2 x 24) = 7 x 9 = 63 | |
| 8 | ||
| Nếu chữ số hàng trăm là lẻ, thì số tạo thành bởi hai chữ số sau cùng cộng thêm 4 phải được số chia hết cho 8. | 352: 52 + 4 = 56 chia hết cho 8. | |
| Cộng chữ số sau cùng vào hai lần phần còn lại. Giá trị thu được phải là bội của 8. | 56: có (5 × 2) + 6 = 16. | |
| Ba chữ số sau cùng tạo thành số chia hết cho 8. | 34,152: chỉ cần xét tính chia hết cho 152: =19 × 8 | |
| Cộng 4 lần chữ số hàng trăm vào 2 lần chữ số hàng đơn vị được kết quả phải là bội của 8. | 34,152: 4 × 1 + 5 × 2 + 2 = 16 | |
| 9 | Tính tổng các chữ số, được kết quả chia hết cho 9. | 2880: có 2 + 8 + 8 + 0 = 18: có 1 + 8 = 9. |
| 10 | Chữ số hàng đơn vị là 0. | 130: chữ số hàng đơn vị là 0. |
| 11 | Lập tổng xen kẽ giữa các chữ số, được kết quả phải chia hết cho 11. | 918,082: có 9 − 1 + 8 − 0 + 8 − 2 = 22 = 2 × 11. |
| Cộng các nhóm gồm hai chữ số từ phải qua trái, kết quả phải chia hết cho 11. | 627: có 06 + 27 = 33 = 3 × 11. | |
| Trừ đi chữ số tận cùng vào phần còn lại của số, kết quả phải chia hết cho 11. | 627: có 62 − 7 = 55 = 5 × 11. | |
| Cộng thêm chữ số tận cùng tới hàng trăm (hay thêm 10 lần chữ số hàng đơn vị vào phần còn lại). Kết quả phải chia hết cho 11. | 627: có 62 + 70 = 132: có 13 + 20 = 33 = 3 × 11. | |
| Nếu số lượng các chữ số là chẵn thì cộng chữ số đầu và trừ chữ số cuối vào phần còn lại. Kết quả phải chia hết cho 11. | 918,082: số chữ số là chẵn (6) → 1808 + 9 − 2 = 1815: có 81 + 1 − 5 = 77 = 7 × 11 | |
| Nếu số lượng chữ số là lẻ thì trừ cả chữ số đầu và chữ số cuối vào phần còn lại. Kết quả phải chia hết cho 11. | 14,179: số chữ số là lẻ (5) → 417 − 1 − 9 = 407 = 37 × 11 | |
| 12 | Số đó chia hết cho cả 3 và 4. | 324: chia hết cho cả 3 và 4. |
| Trừ chữ số sau cùng vào hai lần phần còn lại. Kết quả phải chia hết cho 12. | 324: 32 × 2 − 4 = 60 = 5 × 12. | |
| 13 | Lập tổng xen kẽ từng nhóm ba chữ số từ phải qua trái. Kết quả phải chia hết cho 13. | 2,911,272: 272 - 911 + 2 = -637 |
| Cộng thêm 4 lần chữ số hàng đơn vị vào phần còn lại, kết quả phải chia hết cho 13. | 637: 63 + 7 × 4 = 91, 9 + 1 × 4 = 13. | |
| Trừ đi số gồm hai chữ số cuối vào bốn lần phần còn lại, được kết quả chia hết cho 13. | 923: 9 × 4 - 23 = 13. | |
| Trừ đi 9 lần chữ số tận cùng vào phần còn lại, được kết quả chia hết cho 13. | 637: 63 - 7 × 9 = 0. | |
| 14 | Số đó chia hết cho cả 2 và 7. | 224: sử dụng tính chất chia hết cho 2 và 7 ta thấy nó đều chia hết. |
| Cộng hai chữ số cuối vào hai lần phần còn lại, được kết quả chia hết cho 14. | 364: 3 × 2 + 64 = 70. 1764: 17 × 2 + 64 = 98. | |
| 15 | Số đó chia hết cho cả 3 và 5. | 390: nó chia hết cho cả 3 và 5. |
| 16 | ||
| Nếu chữ số hàng nghìn là lẻ, thì số tạo thành bởi ba chữ số cuối phải chia hết cho 16. | 3408: 408 + 8 = 416 = 26 × 16. | |
| Cộng hai chữ số cuối vào 4 lần phần còn lại, kết quả phải chia hết cho 16. | 176: 1 × 4 + 76 = 80.
1168: 11 × 4 + 68 = 112. | |
| Bốn chữ số tận cùng phải chia hết cho 16. | 157,648: 7,648 = 478 × 16. | |
| 17 | Trừ 5 lần chữ số tận cùng vào phần còn lại, được số chia hết cho 17. | 221: 22 − 1 × 5 = 17. |
| Trừ hai chữ số tận cùng vào hai lần phần còn lại. | 4,675: 46 × 2 - 75 = 17. | |
| Cộng 9 lần chữ số tận cùng vào 5 lần phần còn lại, bỏ đi chữ số 0 tận cùng của kết quả nếu có rồi lặp lại. | 4,675: 467 × 5 + 5 × 9 = 2380; 238: 23 × 5 + 8 × 9 = 187. | |
| 18 | Số đó chia hết cho 2 và cho 9. | 342: chia hết cho cả 2 và 9. |
| 19 | Cộng thêm hai lần chữ số tận cùng vào phần còn lại. | 437: 43 + 7 × 2 = 57. |
| Cộng 4 lần hai chữ số tận cùng vào phần còn lại. | 6935: 69 + 35 × 4 = 209. | |
| 20 | Số đó chia hết cho 10, và chữ số hàng chục là chẵn. | 360: chia hết cho 10, và 6 là chẵn. |
| Số tạo bởi hai chữ số tận cùng phải chia hết cho 20. | 480: 80 chia hết cho 20. | |
| 21 | Trừ hai lần chữ số tận cùng vào phần còn lại của số được một bội của 21. | 168: 16 − 8 × 2 = 0. |
| Số đó chia hết cho 3 và cho 7. | 231: chia hết cho 3 và cho 7. | |
| 22 | Số đó chia hết cho 2 và cho 11. | 352: chia hết cho 2 và cho 11. |
| 23 | Cộng 7 lần chữ số cuối vào phần còn lại. | 3128: 312 + 8 × 7 = 368: 36 + 8 × 7 = 92. |
| Cộng 3 lần hai chữ số cuối vào phần còn lại. | 1725: 17 + 25 × 3 = 92. | |
| 24 | Số đó chia hết cho cả 3 và 8. | 552: chia hết cho cả 3 và 8. |
| 25 | Xét số tạo bởi hai chữ số cuối. | 134,250: 50 chia hết cho 25. |
| 26 | Số đó chia hết cho 2 và cho 13. | 156: chia hết cho cả 2 và 13. |
| Trừ 5 lần chữ số cuối vào 2 lần phần còn lại được một bội của 26. | 1248 : (124 ×2) - (8×5) =208=26×8 | |
| 27 | Tính tổng từng nhóm ba chữ số từ phải qua trái. | 2,644,272: 2 + 644 + 272 = 918 = 34 × 27. |
| Phần còn lại trừ đi 8 lần chữ số cuối. | 621: 62 − 1 × 8 = 54. | |
| Trừ hai chữ số cuối vào 8 lần phần còn lại. | 6507: 65 × 8 - 7 = 520 - 7 = 513 = 27 × 19. | |
| 28 | Số đó chia hết cho cả 4 và 7. | 140: chia hết cho cả 4 và 7. |
| 29 | Cộng thêm ba lần chữ số cuối cùng vào phần còn lại. | 348: 34 + 8 × 3 = 58. |
| Cộng 9 lần hai chữ số cuối với phần còn lại. | 5510: 55 + 10 × 9 = 145 = 5 × 29. | |
| 30 | Số đó chia hết cho cả 3 và 10. | 270: chia hết cho cả 3 và 10. |
Xem thêm
Tham khảo
- ^ Gardner, Martin (tháng 9 năm 1962). “Mathematical Games: Tests that show whether a large number can be divided by a number from 2 to 12”. Scientific American. 207 (3): 232–246. doi:10.1038/scientificamerican0962-232. JSTOR 24936675.
- ^ This follows from Pascal's criterion.
- ^ A number is divisible by 2m, 5m or 10m if and only if the number formed by the last m digits is divisible by that number.
- ^ Apostol (1976), [//books.google.com/books?id=Il64dZELHEIC&pg=PA108&dq=%22sum+of+its+digits%22 p. 108]
- ^ Richmond & Richmond (2009), [//books.google.com/books?id=HucyKYx0_WwC&pg=PA102&dq=%22divisible+by%22 Section 3.4 (Divisibility Tests), p. 102–108]
- ^ Richmond & Richmond (2009), [//books.google.com/books?id=HucyKYx0_WwC&pg=PA102&dq=%22divisible+by+the+product%22 Section 3.4 (Divisibility Tests), Theorem 3.4.3, p. 107]
- ^ Kisačanin (1998), [//books.google.com/books?id=BFtOuh5xGOwC&pg=PA101&dq=%22third+criterion+for+11%22 p. 101]
- ^ Janet Epebinu,http://janetbmath.com
Nguồn
- Apostol, Tom M. (1976). Introduction to analytic number theory. Undergraduate Texts in Mathematics. 1. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90163-3.
- Kisačanin, Branislav (1998). Mathematical problems and proofs: combinatorics, number theory, and geometry. Plenum Press. ISBN 978-0-306-45967-2.
- Richmond, Bettina; Richmond, Thomas (2009). A Discrete Transition to Advanced Mathematics. Pure and Applied Undergraduate Texts. 3. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-4789-3.
Liên kết ngoài
- Divisibility Criteria tại cut-the-knot
- Stupid Divisibility Tricks các quy tắc chia hết cho 2–100.