1 − 2 + 3 − 4 + · · ·

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm
Một phần của 15.000 số đầu tiên từ 0 + 1 - 2 + 3 - 4 +....

Trong toán học, 1 − 2 + 3 − 4 + ··· là một chuỗi vô hạn với các số hạng là những số nguyên dương liền kề nhau và đan dấu với nhau. Sử dụng ký hiệu tổng sigma để biểu diễn tổng của m số hạng đầu tiên của chuỗi này:

\sum_{n=1}^m n(-1)^{n-1}.

Chuỗi vô hạn phân kỳ, nghĩa là dãy các tổng hữu hạn của chuỗi số, (1, −1, 2, −2, ...), không hội tụ về một giới hạn. Tuy nhiên, vào giữa thế kỷ thứ 18, Leonhard Euler đã đưa ra một phương trình nghịch lý:

1-2+3-4+\cdots=\frac{1}{4}.

Cho đến mãi sau này mới có một lời giải chính xác về phương trình này.

Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  • Beals, Richard (2004). Analysis: an introduction. Cambridge UP. ISBN 0-521-60047-2. 
  • Davis, Harry F. (1 tháng 5 năm 1989). Fourier Series and Orthogonal Functions. Dover. ISBN 0-486-65973-9. 
  • Euler, Leonhard; Lucas Willis; and Thomas J Osler (2006). “Translation with notes of Euler's paper: Remarks on a beautiful relation between direct as well as reciprocal power series”. The Euler Archive. Truy cập ngày 22 tháng 3 năm 2007.  Originally published as Euler, Leonhard (1768). “Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques”. Memoires de l'academie des sciences de Berlin 17: 83–106. 
  • Ferraro, Giovanni (1 tháng 6 năm 1999). “The First Modern Definition of the Sum of a Divergent Series: An Aspect of the Rise of 20th Century Mathematics”. Archive for History of Exact Sciences 54 (2): 101–135. doi:10.1007/s004070050036. 
  • Grattan-Guinness, Ivor (1970). The development of the foundations of mathematical analysis from Euler to Riemann. MIT Press. ISBN 0-262-07034-0. 
  • Hardy, G.H. (1949). Divergent Series. Clarendon Press. LCCN 9175377 Kiểm tra giá trị |lccn= (trợ giúp). 
  • Kline, Morris (1 tháng 11 năm 1983). “Euler and Infinite Series”. Mathematics Magazine 56 (5): 307–314. doi:10.2307/2690371. JSTOR 2690371. 
  • Lavine, Shaughan (1994). Understanding the Infinite. Harvard UP. ISBN 0-674-92096-1. 
  • Markushevich, A.I. (1967). Series: fundamental concepts with historical exposition (ấn bản 3). Hindustan Pub. Corp. LCCN 6817528 Kiểm tra giá trị |lccn= (trợ giúp). 
  • Saichev, A.I., and W.A. Woyczyński (1996). Distributions in the physical and engineering sciences, Volume 1. Birkhaüser. ISBN 0-8176-3924-1. 
  • Tucciarone, John (1 tháng 1 năm 1973). “The development of the theory of summable divergent series from 1880 to 1925”. Archive for History of Exact Sciences 10 (1–2): 1–40. doi:10.1007/BF00343405. 
  • Vretblad, Anders (2003). Fourier Analysis and Its Applications. Springer. ISBN 0-387-00836-5. 
  • Weidlich, John E. (1 tháng 6 năm 1950). Summability methods for divergent series. Stanford M.S. theses. OCLC 38624384.