Cơ học lượng tử

Các hàm sóng của electron trong một nguyên tử hydro tại các mức năng lượng khác nhau. Cơ học lượng tử không dự đoạn chính xác vị trí của một hạt trong không gian, nó chỉ tính ra giá trị xác suất có thể tìm thấy hạt tại các vị trí khác nhau. Các vùng sáng màu hơn minh họa xác suất tìm thấy electron cao hơn.

Phần của loạt bài
Cơ học lượng tử
$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle$ Phương trình Schrödinger
Giới thiệu Từ vựng Lịch sử
Nền tảng Cơ học cổ điển Thuyết lượng tử cũ Ký hiệu bra-ket Toán tử Hamilton Giao thoa
Nội dung cơ bản Sự cố kết Sự tách sóng Bù Bậc năng lượng Rối Toán tử Hamilton Bất định Trạng thái cơ bản Giao thoa Đo lường Không định hướng Quan sát được Toán tử Lượng tử Thăng giáng lượng tử Bọt lượng tử Sự bay lên lượng tử Số lượng tử Tiếng ồn lượng tử Địa hạt lượng tử Trạng thái lượng tử Hệ thống lượng tử Viễn tải lượng tử Qubit Spin Chồng chập Đối xứng Phá vỡ tính đối xứng Trạng thái chân không Sự truyền sóng Hàm sóng Suy sụp hàm sóng Lưỡng tính sóng-hạt Sóng vật chất
Hiệu ứng Hiệu ứng Zeeman Hiệu ứng Stark Hiệu ứng Aharonov–Bohm Sự lượng tử hóa Landau Hiệu ứng Hall lượng tử Hiệu ứng Zeno lượng tử Xuyên hầm lượng tử Hiệu ứng quang điện Hiệu ứng Casimir
Thí nghiệm Afshar Bất đẳng thức Bell Davisson–Germer Khe Young Elitzur–Vaidman Franck–Hertz Bất đẳng thức Leggett–Garg Mach–Zehnder Popper Sự xóa bỏ lượng tử (delayed-choice) Con mèo của Schrödinger Tính tự diệt và bất diệt của lượng tử Stern–Gerlach Lựa chọn bị trì hoãn Wheeler Bạn của Wigner
Hàm số Phát biểu toán học Bức tranh Heisenberg Tương tác Ma trận Pha không gian Schrödinger Sum-over-histories (path-integral) Định lí Hellmann–Feynman
Phương trình Dirac Klein–Gordon Pauli Rydberg Schrödinger
Sự diễn giải Tổng quan Lịch sử nhất quán Copenhagen de Broglie–Bohm Ensemble Hidden-variable Nhiều thế giới Vật chất sụp đổ Bayesian Logic lượng tử Sự quan hệ Ngẫu nhiên Cân tương đối Transactional
Chủ đề chuyên sâu Quantum annealing Lượng tử hỗn loạn Máy tính lượng tử Ma trận mật độ Lý thuyết trường lượng tử Fractional quantum mechanics Hấp dẫn lượng tử Khoa học thông tin lượng tử Học tập máy lượng tử Thuyết xáo trộn (Cơ học lượng tử) Cơ học lượng tử tương đối tính Lý thuyết tán xạ Spontaneous parametric down-conversion Cơ học lượng tử thống kê
Nhà khoa học Aharonov Bell Blackett Bloch Bohm Bohr Born Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordan Kramers Pauli Lamb Landau Laue Moseley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Sommerfeld von Neumann Weyl Wien Wigner Zeeman Zeilinger

Cơ học lượng tử là một lý thuyết cơ bản trong vật lý học miêu tả các tính chất vật lý của tự nhiên ở cấp độ nguyên tử và hạt hạ nguyên tử. Nó là cơ sở của mọi lý thuyết vật lý lượng tử bao gồm hóa học lượng tử, lý thuyết trường lượng tử, công nghệ lượng tử, và khoa học thông tin lượng tử.

Vật lý cổ điển, miêu tả vật lý trước khi có thuyết tương đối và cơ học cổ điển, miêu tả nhiều khía cạnh của tự nhiên ở mức độ thông thường (vĩ mô), trong khi cơ học lượng tử giải thích các khía cạnh của tự nhiên ở mức vi mô (phân tử, nguyên tử và nhỏ hơn nguyên tử), mà ở phạm vi này cơ học cổ điển không còn miêu tả chính xác. Hầu hết các lý thuyết trong vật lý cổ điển có thể thu được từ cơ học lượng tử thông qua xấp xỉ ở quy mô lớn (vĩ mô).

Cơ học lượng tử khác với cơ học cổ điển ở chỗ năng lượng, động lượng, mô men động lượng, và các đại lượng khác của một hệ đóng nhận các giá trị rời rạc (lượng tử hóa), các thực thể mang cả đặc trưng của hạt lẫn của sóng (lưỡng tính sóng hạt), và có những giới hạn về tính toán xác định độ chính xác của đại lượng vật lý trước mỗi phép đo đại lượng đó, cho bởi một tập hợp đầy đủ các điều kiện ban đầu (nguyên lý bất định).

Cơ học lượng tử dần dần xuất hiện từ các lý thuyết giải thích các quan sát thực nghiệm mà vật lý cổ điển không miêu tả được, như lời giải của Max Planck năm 1900 cho vấn đề bức xạ vật đen, và mối liên hệ giữa năng lượng và tần số tương ứng trong bài báo năm 1905 của Albert Einstein nhằm giải thích hiệu ứng quang điện. Những cố gắng ban đầu nhằm hiểu các hiện tượng vi mô, mà hiện nay gọi là "thuyết lượng tử cũ", đã dẫn đến sự phát triển đầy đủ của cơ học lượng tử vào giữa thập niên 1920 bởi Niels Bohr, Erwin Schrödinger, Werner Heisenberg, Max Born và những nhà khoa học khác. Lý thuyết hiện đại được hình thành và miêu tả bằng nhiều mô hình toán học đặc trưng. Một trong những mô hình này, một khái niệm toán học gọi là hàm sóng chứa đựng thông tin, dưới dạng các biên độ xác suất, về kết quả các phép đo năng lượng, động lượng và các tính chất vật lý khác của hạt.

Tổng quan và các khái niệm cơ bản

Cơ học lượng tử cho phép tính toán các tính chất và hành xử của các hệ thống vật lý. Nó thường được áp dụng cho các hệ thống vi mô: phân tử, nguyên tử và các hạt hạ nguyên tử. Nó đã được chứng minh là có thể miêu tả đúng cho các phân tử phức tạp chứa hàng nghìn nguyên tử, nhưng ứng dụng của nó đối với con người làm nảy sinh các vấn đề triết học, chẳng hạn như thí nghiệm tưởng tượng bạn của Wigner, và ứng dụng của nó đối với toàn thể vũ trụ vẫn là suy đoán. Các dự đoán của cơ học lượng tử đã được kiểm chứng bằng thực nghiệm với độ chính xác cực cao.

Đặc điểm cơ bản của lý thuyết đó là nó không thể dự đoán một cách chắc chắn điều gì sẽ xảy ra mà chỉ đưa ra các xác suất cho mỗi khả năng. Về mặt toán học, xác suất được tìm thấy bằng cách lấy bình phương của giá trị tuyệt đối của một số phức, được gọi là biên độ xác suất. Đây được gọi là quy tắc Born, được đặt theo tên của nhà vật lý Max Born. Ví dụ, một hạt lượng tử như electron có thể được mô tả bằng một hàm sóng, hàm liên kết với mỗi điểm trong không gian tương ứng một biên độ xác suất. Áp dụng quy tắc Born cho các biên độ này sẽ cho một hàm mật độ xác suất cho vị trí mà electron sẽ được tìm thấy khi một thí nghiệm được thực hiện để đo nó. Đây là điều tốt nhất mà lý thuyết có thể làm được; nó không thể nói chắc chắn nơi electron sẽ được tìm thấy. Phương trình Schrödinger liên hệ tập hợp các biên độ xác suất liên quan đến một thời điểm với tập hợp các biên độ xác suất liên quan đến một thời điểm khác.

Một hệ quả của các quy tắc toán học của cơ học lượng tử là sự cân bằng về khả năng dự đoán giữa các đại lượng có thể đo lường khác nhau. Dạng nổi tiếng nhất của nguyên lý bất định này nói rằng bất kể một hạt lượng tử được chuẩn bị như thế nào hoặc các thí nghiệm được sắp xếp cẩn thận như thế nào, thì không thể đồng thời dự đoán chính xác được kết quả phép đo vị trí của hạt và kết quả phép đo động lượng của nó.

Một hệ quả khác của các quy tắc toán học của cơ học lượng tử là hiện tượng giao thoa lượng tử, thường được minh họa bằng thí nghiệm hai khe. Trong phiên bản cơ bản của thí nghiệm này, một nguồn sáng kết hợp, chẳng hạn như chùm tia laser, chiếu sáng qua hai khe hẹp song song trên một tấm và ánh sáng đi qua các khe được quan sát trên một màn hình đặt phía sau tấm. Bản chất sóng của ánh sáng làm cho các sóng ánh sáng đi qua hai khe giao thoa, tạo ra các dải sáng và tối trên màn hình - sẽ không có kết quả này nếu ánh sáng có thành phần là các hạt cổ điển. Tuy nhiên, trên màn chắn ánh sáng luôn bị hấp thụ tại các điểm rời rạc, dưới dạng các hạt riêng lẻ chứ không phải là sóng; hình ảnh giao thoa xuất hiện thông qua mật độ thay đổi của các hạt va chạm vào màn hình. Hơn nữa, nếu đặt các máy dò tại ngay sau các khe thì mỗi photon được phát hiện sẽ đi qua chỉ một khe (giống như một hạt cổ điển), và không đi qua cả hai khe (như một sóng). Tuy nhiên ở các thí nghiệm này cũng chứng tỏ, các hạt sẽ không hình thành vân giao thoa nếu máy dò thu được chúng đi qua khe hẹp nào. Đối với những thực thể ở cấp độ nguyên tử khác, như electron, cũng được tìm thấy có hành xử tương tự khi bắn các electron qua hai khe hẹp. Đặc điểm này được gọi là lưỡng tính sóng hạt.

Một hiện tượng phản trực giác khác cũng được dự đoán bởi cơ học lượng tử đó là sự xuyên hầm lượng tử: một hạt có thể đi qua một hàng rào hố thế, ngay cả khi động năng của nó nhỏ hơn thế năng của hố. Trong cơ học cổ điển hiện tượng này không thể xảy ra. Sự xuyên hầm lượng tử có một vài hệ quả quan trọng, như nó cho phép giải thích hiện tượng phân rã phóng xạ, phản ứng tổng hợp hạt nhân bên trong các sao, và các ứng dụng khác như kính hiển vi quét xuyên hầm và diode tunnel.

Khi các hệ lượng tử tương tác, kết quả có thể dẫn đến hiệu ứng rối lượng tử: các thuộc tính của chúng trở nên gắn bó với nhau đến mức không còn có thể mô tả tổng thể theo từng phần riêng lẻ nữa. Erwin Schrödinger gọi sự vướng víu là "... đặc điểm đặc trưng của cơ học lượng tử, đặc điểm bắt buộc nó hoàn toàn tách khỏi các dòng tư tưởng cổ điển". Vướng víu lượng tử cho phép các tính chất phản trực giác như trong lý thuyết trò chơi giả lượng tử (quantum pseudo-telepathy), và là một nguồn đặc điểm vô giá trong các giao thức truyền thông, như phân bố chìa khóa lượng tử trong lý thuyết thông tin lượng tử. Trái ngược với quan niệm sai lầm phổ biến, hiệu ứng vướng víu lượng tử không cho phép gửi tín hiệu nhanh hơn ánh sáng, như được chứng minh bởi định lý không thể liên lạc (no-communication theorem).

Một khả năng khác mở ra bởi sự vướng víu lượng tử đó là thực hiện kiểm nghiệm "lý thuyết các biến ẩn", các tính chất giả thuyết cơ bản hơn các đại lượng được miêu tả trong chính thuyết lượng tử, các hiểu biết về các biến ẩn cho phép các dự đoán chính xác hơn so với thuyết lượng tử có thể đưa ra. Tập hợp các kết quả, quan trọng nhất là định lý Bell, đã chứng minh rằng các lớp lý thuyết biến ẩn như vậy trên thực tế không tương thích với vật lý lượng tử. Theo định lý Bell, nếu tự nhiên thực sự hoạt động tuân theo một lý thuyết biến ẩn cục bộ nào, thì các kết quả của một thí nghiệm Bell sẽ bị ràng buộc theo một cách đặc biệt, định lượng được. Nhiều thí nghiệm Bell đã được thực hiện, sử dụng các hạt vướng víu, và chúng cho kết quả không tương thích với các ràng buộc áp đặt bởi các biến ẩn cục bộ.

Không thể trình bày các khái niệm này một cách sâu sắc hơn mà không đưa ra giới thiệu các định nghĩa toán học liên quan; để hiểu cơ học lượng tử đòi hỏi không chỉ nắm được các phép toán trên các số phức, mà còn đại số tuyến tính, phương trình vi phân, lý thuyết nhóm, và các chủ đề toán học cao cấp khác. Theo đó, bài viết này sẽ trình bày một khuôn khổ toán học của cơ học lượng tử và đưa ra các ứng dụng của nó ở một số ví dụ hữu ích và đã được nghiên cứu.

Khuôn khổ toán học

Bài chi tiết: Phát biểu toán học của cơ học lượng tử

Trong khuôn khổ toán học chặt chẽ của cơ học lượng tử, trạng thái của một hệ cơ học lượng tử là một vectơ $\psi$ trong một không gian Hilbert phức (tách được) ${\mathcal {H}}$. Vectơ này được chuẩn hóa dưới phép toán tích vô hướng của không gian Hilbert, nghĩa là nó tuân theo $\langle \psi ,\psi \rangle =1$, and it is well-defined up to a complex number of modulus 1 (the global phase), that is, $\psi$ and $e^{i\alpha }\psi$ represent the same physical system. Nói cách khác, các trạng thái khả dĩ là các điểm trong không gian xạ ảnh của không gian Hilbert, thường gọi là không gian xạ ảnh phức. Bản chất chính xác của không gian Hilbert này phụ thuộc vào hệ – ví dụ, để miêu tả vị trí và xung lượng không gian Hilbert là không gian hàm phức bình phương khả tích (square-integrable function) $L^{2}(\mathbb {C} )$, trong khi không gian Hilbert cho spin của một proton đơn lẻ chỉ đơn giản là không gian vectơ phức hai chiều $\mathbb {C} ^{2}$ được trang bị một tích vô hướng thông thường.

Các đại lượng vật lý quan tâm — vị trí, xung lượng, năng lượng, spin — được biểu diễn bằng các đại lượng quan sát được, gọi là các toán tử tuyến tính Hermit (chính xác hơn, toán tử tự liên hợp) tác dụng trên không gian Hilbert. Một trạng thái lượng tử là một vectơ riêng của một đại lượng quan sát được, trong trường hợp nó được gọi là trạng thái riêng, và giá trị riêng đi kèm tương ứng với giá trị của đại lượng quan sát được trong trạng thái riêng đó. Tổng quát hơn, một trạng thái lượng tử sẽ là tổ hợp tuyến tính của các trạng thái riêng, hay gọi là chồng chập lượng tử. Khi một đại lượng quan sát được được đo, kết quả đo sẽ là một trong các giá trị riêng của nó với xác suất cho bởi quy tắc Born: trong trường hợp đơn giản nhất giá trị riêng $\lambda$ không suy biến và xác suất được cho bởi $|\langle {\vec {\lambda }},\psi \rangle |^{2}$, với ${\vec {\lambda }}$ là vectơ riêng kết hợp của nó. Trong trường hợp tổng quát, giá trị riêng là suy biến và xác suất được cho bởi $\langle \psi ,P_{\lambda }\psi \rangle$, với $P_{\lambda }$ là toán tử hình chiếu trên không gian riêng tương ứng của nó. Trong trường hợp liên tục, các công thức này được thay thế bằng mật độ xác suất.

Sau khi thực hiện phép đo, nếu nhận được kết quả $\lambda$, thì trạng thái lượng tử được cho là suy sập thành ${\vec {\lambda }}$ trong trường hợp không suy biến, hoặc thành $P_{\lambda }\psi /{\sqrt {\langle \psi ,P_{\lambda }\psi \rangle }}$ trong trường hợp tổng quát. Bản chất xác suất của cơ học lượng tử do vậy có nguồn gốc từ tác động của phép đo. Đây là một trong những khía cạnh khó hiểu nhất của cơ học lượng tử. Nó là chủ đề trung tâm trong cuộc tranh luận Bohr–Einstein nổi tiếng, khi hai nhà vật lý học cố gắng hiểu rõ những nguyên lý cơ bản này bằng các thí nghiệm tưởng tượng. Trong hàng thập kỷ kể từ khi hình thành cơ học lượng tử, câu hỏi về cái gì tạo lên một "phép đo" đã được nghiên cứu rộng rãi. Các giải thích mới về cơ học lượng tử đã được đưa ra theo cách khác so với quan điểm "suy sập hàm sóng" (ví dụ như cách giải thích đa thế giới). Ý tưởng cơ bản đó là khi một hệ lượng tử tương tác với một thiết bị đo, hàm sóng tương ứng của nó trở lên vướng víu do đó hệ lượng tử ban đầu mất đi sự tồn tại như là một thực thể độc lập. Về chi tiết, xem bài viết về phép đo trong cơ học lượng tử.

Sự tiến triển theo thời gian của một hệ lượng tử được miêu bằng phương trình Schrödinger:

$i\hbar {\frac {d}{dt}}\psi (t)=H\psi (t).$

Ở đây $H$ là toán tử Hamilton, đại lượng quan sát được tương ứng với tổng năng lượng của hệ, và $\hbar$ là hằng số Planck thu gọn. Hằng số $i\hbar$ được đưa ra sao cho toán tử Hamilton trong cơ học lượng tử trở thành toán tử Hamilton cổ điển trong trường hợp hệ lượng tử có thể xấp xỉ bằng một hệ cổ điển; với khả năng có thể thực hiện được những phép xấp xỉ như thế trong một số giới hạn nhất định được gọi là nguyên lý tương ứng.

Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính trên được cho bởi

$\psi (t)=e^{-iHt/\hbar }\psi (0).$

Toán tử $U(t)=e^{-iHt/\hbar }$ được gọi là toán tử tiến triển theo thời gian, và nó có một tính chất quan trọng đó là tính unita. Sự tiến triển thời gian này là tất định theo nghĩa – khi cho một trạng thái lượng tử ban đầu $\psi (0)$  – có thể dự đoán được cụ thể trạng thái lượng tử $\psi (t)$ ở thời gian bất kỳ sau đó.

Hình 1: Các mật độ xác suất tương ứng với các hàm sóng của một electron trong một nguyên tử hydro có các mức năng lượng xác định (tăng từ phía trên của hình xuống bên dưới: n = 1, 2, 3, ...) và mô men động lượng (tăng từ trái qua phải: s, p, d, ...). Các vùng đậm hơn tương ứng với mật độ xác suất cao hơn khi thực hiện phép đo vị trí. Các hàm sóng giống với các hình ảnh dao động Chaladni của các nốt âm thanh trong vật lý cổ điển, thể hiện rõ các mức năng lượng và do vậy một tần số cụ thể. Mô men động lượng và năng lượng bị lượng tử hóa và chỉ nhận các giá trị rời rạc như trong hình (giống như trường hợp các tần số cộng hưởng trong âm học)

Một số hàm sóng có phân bố xác suất độc lập với thời gian, như trạng thái riêng của Hamiltonian. Nhiều hệ có tính động lực trong cơ học cổ điển được miêu tả bằng những hàm sóng tĩnh như thế. Ví dụ, một electron ở trạng thái bình thường trong nguyên tử được hình dung theo cách cổ điển như là một hạt chuyển động tròn trên qũy đạo quanh hạt nhân nguyên tử, trong khi đó ở cơ học lượng tử, nó được miêu tả bằng một hàm sóng tĩnh (không phụ thuộc thời gian) bao quanh hạt nhân. Ví dụ, hàm sóng cho electron đối với một nguyên tử hydro ở trạng thái bình thường là một hàm đối xứng cầu gọi là orbital s (Hình 1).

Có ít các nghiệm giải tích của phương trình Schrödinger được biết một cách chính xác, chúng chủ yếu là nghiệm của các mô hình Hamilton tương đối đơn giản bao gồm dao động tử điều hòa lượng tử (quantum harmonic oscillator), hạt trong một hộp, cation hydro phân tử, và nguyên tử hydro. Ngay cả với nguyên tử heli – mà chỉ chứa có hai electron – hiện vẫn chưa có nghiệm giải tích chính xác miêu tả cho hệ này.

Tuy vậy đã có những kỹ thuật để tìm các nghiệm xấp xỉ. Một phương pháp gọi là lý thuyết nhiễu loạn, sử dụng kết quả giải tích của một một hình cơ học lượng tử đơn giản nhằm tạo ra kết quả cho những mô hình liên quan phức tạp hơn (ví dụ) bằng cách thêm vào một thế năng yếu. Một phương pháp khác gọi là "phương trình chuyển động bán cổ điển", áp dụng cho các hệ mà cơ học lượng tử chỉ tạo ra những chênh lệch nhỏ so với hệ cổ điển. Những chênh lệch nhỏ này khi ấy có thể được tính từ những chuyển động cổ điển. Cách tiếp cận này đặc biệt quan trọng trong lý thuyết hỗn loạn lượng tử (quantum chaos).

Nguyên lý bất định

Một hệ quả cơ bản của hình thức luận cơ bản cơ học lượng tử đó là nguyên lý bất định. Trong dạng quen thuộc nhất, nguyên lý phát biểu rằng không có sự chuẩn bị nào của một hạt lượng tử có thể cho phép dự đoán chính xác đồng thời kết quả đo vị trí và kết quả đo động lượng của hạt. Cả vị trí và động lượng là những đại lượng quan sát được, có nghĩa rằng chúng được biểu diễn bởi các toán tử Hermit. Hai toán tử vị trí ${\hat {X}}$ và toán tử xung lượng ${\hat {P}}$ không có tính chất giao hoán, nhưng thỏa mãn hệ thức giao hoán tử chính tắc:

$[{\hat {X}},{\hat {P}}]=i\hbar .$

Đối với một trạng thái lượng tử, quy tắc Born cho phép chúng ta tính được các giá trị kỳ vọng của cả $X$ và $P$, và đối với cả lũy thừa của chúng. Định nghĩa độ bất định của một biến quan sát được bằng độ lệch chuẩn, chúng ta có

$\sigma _{X}={\sqrt {\langle {X}^{2}\rangle -\langle {X}\rangle ^{2}}},$

và tương tự cho xung lượng:

$\sigma _{P}={\sqrt {\langle {P}^{2}\rangle -\langle {P}\rangle ^{2}}}.$

Nguyên lý bất định phát biểu rằng

$\sigma _{X}\sigma _{P}\geq {\frac {\hbar }{2}}.$

Về nguyên tắc độ lệch chuẩn có thể nhỏ tùy ý nhưng không thể đồng thời cả hai. Bất đẳng thức này được tổng quát hóa cho một cặp toán tử tự liên hợp bất kỳ $A$ và $B$. Giao hoán tử của hai toán tử này là

$[A,B]=AB-BA,$

và nó đặt ra giới hạn dưới cho tích của các độ lệch chuẩn:

$\sigma _{A}\sigma _{B}\geq {\frac {1}{2}}\left|\langle [A,B]\rangle \right|.$

Một hệ quả khác của hệ thức giao hoán tử chính tắc là các toán tử vị trí và xung lượng là các biến đổi Fourier của nhau, do vậy sự mô tả một đối tượng theo xung lượng của nó là một biến đổi Fourier của mô tả theo vị trí của nó. Thực tế là sự phụ thuộc vào xung lượng là biến đổi Fourier của sự phụ thuộc vào vị trí có nghĩa rằng toán tử xung lượng tương đương (đúng đến số hạng $i/\hbar$) để lấy đạo hàm theo vị trí, do trong giải tích Fourier phép toán vi phân tương ứng với phép nhân trong không gian đối ngẫu. Điều này giải thích tại sao trong các phương trình lượng tử trong không gian vị trí, xung lượng $p_{i}$ được thay thế bởi $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}$, và đặc biệt trong phương trình Schrödinger phi tương đối tính trong không gian vị trí số hạng bình phương xung lượng được thay thế bằng phép nhân với toán tử Laplace $-\hbar ^{2}$.

Hệ tổ hợp và rối lượng tử

Khi xem xét cùng nhau hai hệ lượng tử khác biệt, không gian Hilbert của hệ tổ hợp là tích tensor của hai không gian Hilbert của hai hệ thành phần. Ví dụ, gọi A và B là hai hệ lượng tử, với các không gian Hilbert ${\mathcal {H}}_{A}$ và ${\mathcal {H}}_{B}$ tương ứng. Không gian Hilbert của hệ tổ hợp khi ấy bằng

${\mathcal {H}}_{AB}={\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}.$

Nếu trạng thái của hệ thứ nhất là vectơ $\psi _{A}$ và trạng thái của hệ thứ hai là $\psi _{B}$, thì trạng thái của hệ tổ hợp là

$\psi _{A}\otimes \psi _{B}.$

Tuy nhiên, không phải mọi trạng thái trong không gian Hilbert liên hợp ${\mathcal {H}}_{AB}$ có thể được biểu diễn theo dạng này, bởi vì nguyên lý chồng chấp hàm ý rằng các tổ hợp tuyến tính của những "trạng thái tích" hay "tách được" cũng thỏa mãn. Ví dụ, nếu $\psi _{A}$ và $\phi _{A}$ là các trạng thái khả dĩ của hệ $A$, và tương tự $\psi _{B}$ và $\phi _{B}$ là các trạng thái khả dĩ của hệ $B$, thì

${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(\psi _{A}\otimes \psi _{B}+\phi _{A}\otimes \phi _{B}\right)$

cũng là một trạng thái liên hợp khả dĩ nhưng không tách được. Các trạng thái không tách được được gọi là vướng víu hay rối lượng tử.

Nếu trạng thái cho một hệ tổ hợp là rối (hay không tách được), không thể miêu tả được các hệ thành phần A hoặc hệ B bằng một vectơ trạng thái. Thay vào đó có thể xác định ma trận mật độ thu gọn miêu tả sự thống kê thu được bằng các phép đo trên từng hệ thành phần. Mặc dù thế phép đo làm mất thông tin: khi biết ma trận mật độ thu gọn của từng hệ thành phần là không đủ để tái dựng được trạng thái của hệ tổ hợp. Giống như ma trận mật độ xác định trạng thái của một hệ thành phần trong hệ lớn hơn, một cách tương tự, độ đo giá trị toán tử dương (POVMs) miêu tả hiệu ứng trên một hệ thành phần của một phép đo thực hiện trên hệ lớn hơn. POVMs được sử dụng thường xuyên trong lý thuyết thông tin lượng tử.

Như miêu tả ở trên, vướng víu lượng tử là một đặc trưng quan trọng của các tiến trình đo trong đó một thiết bị trở lên vướng víu với hệ được đo. Các hệ tương tác với môi trường mà chúng nằm trong thông thường bị vướng víu với môi trường đó, một hiện tượng được gọi là sự mất kết hợp lượng tử (quantum decoherence). Điều này giải thích tại sao, trong thực hành, các hiệu ứng lượng tử trở lên khó quan sát ở những hệ lớn hơn cấp độ vi mô.

Sự tương đương giữa các hình thức luận

Có nhiều hình thức luận toán học tương đương trong cơ học lượng tử. Một trong những hình thức luận lâu đời nhất và phổ biến nhất đó là "lý thuyết biến đổi" do Paul Dirac đưa ra, lý thuyết này thống nhất và tổng quát hóa hai hình thức luận sớm nhất của cơ học lượng tử – cơ học ma trận (do Werner Heisenberg, Max Born, và Pascual Jordan đưa ra) và cơ học sóng (bởi Erwin Schrödinger). Một hình thức luận khác của cơ học lượng tử đó là hình thức luận tích phân lộ trình của Feynman, trong đó một biên độ xác suất cơ học lượng tử được xem như là tổng của tất cả các đường đi khả dĩ cổ điển và phi cổ điển giữa trạng thái ban đầu và trạng thái cuối cùng. Hình thức luận của Feynman được xem là dạng tương đương của nguyên lý tác dụng trong cơ học cổ điển.

Đối xứng và các định luật bảo toàn

Bài chi tiết: Định lý Noether

Toán tử Hamilton $H$ còn được coi là toán tử sinh của sự tiến triển theo thời gian, vì nó xác định một toán tử tiến triển theo thời gian unita $U(t)=e^{-iHt/\hbar }$ đối với mỗi giá trị của $t$. Từ sự liên hệ giữa $U(t)$ và $H$, bất kỳ một đại lượng quan sát được nào $A$ mà giao hoán với $H$ sẽ được bảo toàn: giá trị kỳ vọng của nó sẽ không thay đổi theo thời gian. Phát biểu này được tổng quát hóa bằng toán học, rằng đối với bất kỳ một toán tử Hermit $A$ có thể sinh một họ các toán tử unita được tham số hóa bởi biến $t$. Dưới sự tiến triển sinh bởi $A$, bất kỳ đại lượng quan sát được nào $B$ mà giao hoán với $A$ sẽ được bảo toàn. Hơn nữa, nếu $B$ là bảo toàn trong sự tiến triển dưới $A$, thì $A$ được bảo toàn dưới sự tiến triển sinh bởi $B$. Điều này hàm ý một phiên bản lượng tử của kết quả đã được chứng minh bởi nhà toán học Emmy Noether trong cơ học cổ điển (Lagrangian): đối với mỗi đối xứng khả vi của một toán tử Hamilton, tồn tại tương ứng một định luật bảo toàn.

Các ví dụ

Hạt tự do

Bài chi tiết: Hạt tự do

Mật độ xác suất không gian vị trí của một bó sóng (wave packet) chuyển động một chiều tự do trong không gian.

Dạng đơn giản nhất của hệ lượng tử với một bậc tự do vị trí đó là hạt tự do chuyển động trên đường thẳng. Một hạt tự do không chịu tác động từ bên ngoài, do vậy toán tử năng lượng Hamilton của nó chỉ bao gồm động năng:

$H={\frac {1}{2m}}P^{2}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}.$

Nghiệm tổng quát của phương trình Schrödinger cho bởi

$\psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {\psi }}(k,0)e^{i(kx-{\frac {\hbar k^{2}}{2m}}t)}\mathrm {d} k,$

hay là sự chồng chập của tất cả các sóng phẳng khả dĩ $e^{i(kx-{\frac {\hbar k^{2}}{2m}}t)}$, và là các trạng thái riêng của toán tử xung lượng với xung lượng $p=\hbar k$. Các hệ số chồng chập là ${\hat {\psi }}(k,0)$, chính là biến đổi Fourier của trạng thái lượng tử ban đầu $\psi (x,0)$.

Không tồn tại nghiệm là một trạng thái riêng xung lượng riêng lẻ, hoặc trạng thái riêng vị trí riêng lẻ, vì các nghiệm này là những trạng thái lượng tử không chuẩn hóa được. Thay vì thế, ta có thể xét một bó sóng Gauss:

$\psi (x,0)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{\pi a}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2a}}}$

mà có biến đổi Fourier, và do vậy phân bố xung lượng

${\hat {\psi }}(k,0)={\sqrt[{4}]{\frac {a}{\pi }}}e^{-{\frac {ak^{2}}{2}}}.$

Ta thấy rằng khi ta thực hiện một sự phân tán nhỏ hơn trong vị trí, nhưng sự phân tán trong xung lượng lại trở lên lớn hơn. Ngược lại, bằng cách làm một bó sóng lớn hơn phân tán nhỏ hơn trong xung lượng, nhưng khi ấy sự phân tán trong vị trí lại lớn hơn. Điều này minh họa nguyên lý bất định.

Khi để bó sóng Gauss phát triển theo thời gian, ta thấy tâm của nó di chuyển trong không gian với vận tốc không đổi (giống như một hạt cổ điển không có lực tác dụng lên nó). Tuy nhiên, bó sóng cũng phân tán theo tiến trình thời gian, có nghĩa là vị trí trở lên càng bất định hơn. Tuy nhiên, độ bất định trong xung lượng trở lên không đổi.

Hệ quả triết học của cơ học lượng tử

Ngay từ đầu, các kết quả ngược với cảm nhận con người bình thường của cơ học lượng tử đã gây ra rất nhiều các cuộc tranh luận triết học và nhiều cách giải thích khác nhau về cơ học lượng tử. Ngay cả các vấn đề cơ bản như là các quy tắc Max Born liên quan đến biên độ xác suất và phân bố xác suất cũng phải mất đến hàng thập kỷ mới được thừa nhận.

Giải thích Copenhagen, chủ yếu là do Niels Bohr đưa ra, là cách giải thích mẫu mực về cơ học lượng tử từ khi lý thuyết này được đưa ra lần đầu tiên. Theo cách giải thích của trường phái này thì bản chất xác suất của các tiên đoán của cơ học lượng tử không thể được giải thích dựa trên một số lý thuyết tất định, và không chỉ đơn giản phản ánh kiến thức hữu hạn của chúng ta. Cơ học lượng tử cho các kết quả có tính xác suất vì vũ trụ mà chúng ta đang thấy mang tính xác suất chứ không phải là mang tính tất định.

Bản thân Albert Einstein, một trong những người sáng lập lý thuyết lượng tử, cũng không thích tính bất định trong các phép đo vật lý. Ông bảo vệ ý tưởng cho rằng có một lý thuyết biến số ẩn cục bộ nằm đằng sau cơ học lượng tử và hệ quả là lý thuyết hiện tại chưa phải là hoàn thiện. Ông đưa ra nhiều phản đề đối với lý thuyết lượng tử, trong số đó thì nghịch lý EPR (nghịch lý do Albert Einstein, Boris Podolsky, và Nathan Rosen đưa ra) là nổi tiếng nhất. John Bell cho rằng nghịch lý EPR dẫn đến các sự sai khác có thể được kiểm nghiệm bằng thực nghiệm giữa cơ học lượng tử và lý thuyết biến số ẩn cục bộ. Thí nghiệm đã được tiến hành và khẳng định cơ học lượng tử là đúng và thế giới thực tại không thể được mô tả bằng các biến số ẩn. Tuy nhiên, việc tồn tại các kẽ hở Bell trong các thí nghiệm này có nghĩa là câu hỏi vẫn chưa được giải đáp thỏa đáng.

Xem thêm: tranh luận Bohr-Einstein

Cách giải thích đa thế giới của Hugh Everett được đưa ra vào năm 1956 cho rằng tất cả các xác suất mô tả bởi cơ học lượng tử xuất hiện trong rất nhiều thế giới khác nhau, cùng tồn tại song song và độc lập với nhau. Trong khi đa thế giới là tất định thì chúng ta nhận được các tính chất bất định cho bởi các xác suất bởi vì chúng ta chỉ quan sát được thế giới mà chúng ta tồn tại mà thôi.

Giải thích Bohm, do David Bohm đưa ra, đã thừa nhận sự tồn tại của các hàm sóng phổ quát, phi cục bộ. Hàm sóng này cho phép các hạt ở xa nhau có thể tương tác tức thời với nhau. Dựa trên cách giải thích này Bohm lý luận rằng bản chất sâu xa nhất của thực tại vật lý không phải là tập hợp các vật thể rời rạc như chúng ta thấy mà là một thực thể thống nhất năng động, không thể phân chia, và bất diệt. Tuy nhiên cách giải thích của Bohm không được phổ biến trong giới vật lý vì nó được coi là không tinh tế.

Lịch sử cơ học lượng tử

Hình 2: Max Planck, cha đẻ của lý thuyết lượng tử.

Bài chính: Giải Nobel về vật lý

Năm 1900, Max Planck đưa ra ý tưởng là năng lượng phát xạ bị lượng tử hóa để giải thích về sự phụ thuộc của năng lượng phát xạ vào tần số của một vật đen. Năm 1905, Einstein giải thích hiệu ứng quang điện dựa trên ý tưởng lượng tử của Plank nhưng ông cho rằng năng lượng không chỉ phát xạ mà còn hấp thụ theo những lượng tử mà ông gọi là quang tử. Năm 1913, Bohr giải thích quang phổ vạch của nguyên tử hydrogen lại bằng giả thuyết lượng tử. Năm 1924 Louis de Broglie đưa ra lý thuyết của ông về sóng vật chất.

Các lý thuyết trên, mặc dù thành công trong giải thích một số thí nghiệm nhưng vẫn bị giới hạn ở tính hiện tượng luận: chúng không được chứng minh một cách chặt chẽ về tính lượng tử. Tất cả các lý thuyết đó được gọi là lý thuyết lượng tử cổ điển.

Thuật ngữ "vật lý lượng tử" lần đầu tiên được dùng trong bài Planck's Universe in Light of Modern Physics của Johnston (Vũ trụ của Planck dưới ánh sáng của vật lý hiện đại).

Cơ học lượng tử hiện đại được ra đời năm 1925, khi Heisenberg phát triển cơ học ma trận và Schrödinger sáng tạo ra cơ học sóng và phương trình Schrödinger. Sau đó, Schrödinger chứng minh rằng hai cách tiếp cận trên là tương đương.

Heisenberg đưa ra nguyên lý bất định vào năm 1927 và giải thích Copenhagen cũng hình thành vào cùng thời gian đó. Bắt đầu vào năm 1927, Paul Dirac thống nhất lý thuyết tương đối hẹp với cơ học lượng tử. Ông cũng là người tiên phong sử dụng lý thuyết toán tử, trong đó có ký hiệu Bra-ket rất hiệu quả trong các tính toán như được mô tả trong cuốn sách nổi tiếng của ông xuất bản năm 1930. Cũng vào khoảng thời gian này John von Neumann đã đưa ra cơ sở toán học chặt chẽ cho cơ học lượng tử như là một lý thuyết về các toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert. Nó được trình bày trong cuốn sách cũng nổi tiếng của ông xuất bản năm 1932. Các lý thuyết này cùng với các nghiên cứu khác từ thời kỳ hình thành cho đến nay vẫn đứng vững và ngày càng được sử dụng rộng rãi.

Lĩnh vực hóa học lượng tử được phát triển của những người tiên phong là Walter Heitler và Fritz London. Họ đã công bố các nghiên cứu về liên kết hóa trị của phân tử hydrogen vào năm 1927. Sau đó, hóa học lượng tử được phát triển rất mạnh trong đó có Linus Pauling.

Đầu năm 1927, các cố gắng nhằm áp dụng cơ học lượng tử vào các lĩnh vực khác như là các hạt đơn lẻ dẫn đến sự ra đời của lý thuyết trường lượng tử. Những người đi đầu trong lĩnh vực này là Paul Dirac, Wolfgang Pauli, Victor Weisskopf và Pascaul Jordan. Lĩnh vực này cực thịnh trong lý thuyết điện động lực học lượng tử do Richard Feynman, Freeman Dyson, Julian Schwinger và Sin-Itiro Tomonaga phát triển cvào những năm 1940. Điện động lực học lượng tử là lý thuyết lượng tử về điện tử, phản điện tử và điện từ trường và đóng vai trò quan trọng trong các lý thuyết trường lượng tử sau này.

Hugh Everett đưa ra giải thích đa thế giới vào năm 1956.

Lý thuyết sắc động lực học lượng tử được hình thành vào đầu những năm 1960. Lý thuyết này do Politzer, Gross và Wilzcek đưa ra vào năm 1975. Dựa trên các công trình tiên phong của Schwinger, Peter Higgs, Goldstone và những người khác, Sheldon Lee Glashow, Steven Weinberg và Abdus Salam đã độc lập với nhau chứng minh rằng lực tương tác yếu và sắc động lực học lượng tử có thể kết hợp thành một lực điện-yếu duy nhất.

Các thí nghiệm quan trọng

• Thí nghiệm của Thomas Young về bản chất sóng của ánh sáng (1805).
• Henri Becquerel phát hiện ra phóng xạ (1896).
• Thí nghiệm chùm ca-tốt của Joseph John Thomson tìm ra điện tử và điện tích âm của nó (1897).
• Các nghiên cứu về bức xạ của vật đen từ 1850 đến 1900 dẫn đến giả thuyết lượng tử.
• Hiệu ứng quang điện: Albert Einstein giải thích hiện tượng năm 1905.
• Thí nghiệm giọt dầu của Robert Millikan cho thấy điện tích âm thể hiện tính lượng tử (1909).
• Thí nghiệm tấm vàng của Ernest Rutherford cho thấy mô hình bánh mận về nguyên tử là sai và đưa ra mẫu hành tinh nguyên tử (1911).
• Otto Stern và Walter Gerlach thực hiện thí nghiệm Stern-Gerlach chứng minh bản chất lượng tử của spin (1920).
• Clinton Davisson và Lester Germer chứng minh bản chất sóng của điện tử (1927).
• Clyde L. Cowan và Frederick Reines khẳng định sự tồn tại của neutrino trong thí nghiệm neutrino năm (1955).
• Các thí nghiệm kiểm chứng bất đẳng thức Bell cho nghịch lý EPR.

Khái niệm lượng tử

Lượng tử không có khối lượng cho biết số lượng vật chất trong một năng lượng quang tuyến sóng điện từ di chuyển ở vận tốc ánh sáng thấy được

$v=\omega ={\sqrt {\frac {1}{\mu \epsilon }}}=C=\lambda f$

$E=pv=pC=p\lambda f=hf$

$h=p\lambda$

$p={\frac {h}{\lambda }}$

$\lambda ={\frac {h}{p}}$

Các công thức trên có thể viết dưới dạng sau

$E=hf=h{\frac {\omega }{2\pi }}=\hbar \omega$

$p={\frac {h}{\lambda }}=h{\frac {k}{2\pi }}=\hbar k$

$\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$

Xem thêm

• Nguyên tử
• Giải thưởng Nobel về vật lý
• Vật lý lý thuyết
• Vật lý thực nghiệm
• Lịch sử vật lý học

Liên kết ngoài

(tiếng Việt)

• Cơ học lượng tử tại Từ điển bách khoa Việt Nam
• S. Hawking, Vũ trụ trong một vỏ hạt, Bantam, 2001. Bản dịch tiếng Việt của Dạ Trạch
• S. Hawking, Lược sử thời gian, Bantam, 1986. Bản dịch tiếng Việt của Cao Chi và Phạm Văn Thiều Lưu trữ 2005-04-11 tại Wayback Machine
• Máy tính lượng tử

(tiếng Anh)

• Quantum mechanics tại Encyclopædia Britannica (tiếng Anh)
• Quantum Mechanics (Stanford Encyclopedia of Philosophy)
• Quantum mechanics
• A history of quantum mechanics
• David Mermin on the future directions of physics Lưu trữ 2006-12-12 tại Wayback Machine
• New developments in the understanding of the quantum-classical relation
• A Lazy Layman's Guide to Quantum Physics Lưu trữ 2006-12-13 tại Wayback Machine
• Mackey, George Whitelaw (2004). The mathematical foundations of quantum mechanics. Dover Publications. ISBN 0-486-43517-2.