Số

Đối với các định nghĩa khác, xem Số (định hướng).

Số hay con số là một khái niệm trong toán học sơ cấp, đã trở thành một khái niệm phổ cập, khởi đầu trong lịch sử toán học của loài người. Số là cách thức con người ghi lại số lượng các đối tượng như công cụ sản xuất, súc vật chăn nuôi... Các dân tộc khác nhau có cách ký hiệu khác nhau, mỗi ký hiệu thường được gọi là một chữ số, hay một con số, ngày nay thường được gọi là ký số. Người ta ghép các chữ số khác nhau vào theo những quy ước nhất định để tạo thành các số. Ngày nay còn lại phổ biến là cách ghi số của người Ả Rập (0,1,2...,9), La Mã (I,V,X, L, C,..), Trung Quốc... Ngày nay số đã trở thành một trong các khái niệm cơ bản của toán học, là đối tượng nghiên cứu của hầu hết các phân ngành của toán học như lý thuyết số, giải tích, đại số, xác suất thống kê.....

Các loại số

Các số có thể phân chia thành các tập hợp số theo các hệ thống số khác nhau.

1. Số tự nhiên
2. Số dương
3. Số âm
4. Số nguyên tố
5. Số hữu tỉ
6. Số vô tỉ
7. Số thực
8. Số phức
9. Hợp số
10. Số chính phương

Số dương

Số dương là số có giá trị lớn hơn 0. Số dương có thể đặt một dấu "+" ở trước nó. Chúng thuộc tập hợp số thực R.

Số âm

Số âm là số có giá trị nhỏ hơn 0. Trong toán học, số âm thường được biểu diễn bằng một dấu trừ – trước giá trị dương tương ứng.

Số tự nhiên

Loại số quen thuộc nhất với hầu như tất cả mọi người là số tự nhiên, trước kia nó được hiểu như số nguyên dương (không kể số 0), nhưng ngày nay đa số các tài liệu toán học thống nhất nó bao gồm cả số không (số nguyên không âm). Các số nguyên dương được xem như là các số để đếm.

Trong hệ thập phân được dùng rộng rãi, các ký hiệu dùng để viết số tự nhiên là các chữ số từ 0 đến 9. Trong hệ này, mỗi vị trí tương ứng với một lũy thừa của 10, các số lớn hơn 9 được biểu diễn bởi hai hoặc nhiều hơn các chữ số. Còn có thể ghi theo các hệ cơ số khác như hệ nhị phân, hệ bát phân, hệ thập lục phân,...Tập các số tự nhiên thường được ký hiệu là $\mathbb {N}$.

Số nguyên

Số nguyên bao gồm các số tự nhiên và các số đối của các số tự nhiên dương. Số đối của một số tự nhiên dương n là một số khi cộng với n cho kết quả bằng không, nó thường được viết bằng cách thêm dấu "trừ" đằng trước số n. Về ý nghĩa, nếu một số dương là một khoản tiền gửi ngân hàng thì số âm là số biểu thị khoản tiền rút ra. Tập các số nguyên thường được ký hiệu là $\mathbb {Z}$ (viết tắt của từ Zahl trong tiếng Đức).

Số nguyên tố và hợp số

Số nguyên tố là số chỉ có 2 ước là 1 và chính nó. VD: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,...

Hợp số là số có nhiều hơn 2 ước. VD: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18,...

Số 0 và số 1 không phải là số nguyên tố và cũng không phải là hợp số.

Số hữu tỉ

Một số hữu tỉ là một số có thể biểu diễn như một thương (hay phân số) của phép chia một số nguyên cho một số tự nhiên khác 0. Thường m/n là diễn tả việc chia một khối lượng nào đó thành n phần bằng nhau và chọn lấy m phần. Hai phân số khác nhau có thể biểu diễn cho cùng một số, chẳng hạn ½ và 2/4 là như nhau. Nếu giá trị tuyệt đối của m lớn hơn n thì giá trị tuyệt đối của phân số lớn hơn một. Phân số có thể dương âm hoặc bằng 0.

Số vô tỉ

Số vô tỉ là số không thể biểu diễn được thành tỉ số với tử số và mẫu số nguyên hay còn gọi là số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

Ví dụ:

1. Số thập phân vô hạn có chu kỳ thay đổi: 0,1010010001000010000010000001... (Số thập phân vô hạn không tuần hoàn)
2. Số ${\sqrt {2}}$ = 1,414213...
3. Số $\pi =3,141592653589793...$
4. Số lôgarít tự nhiên e = 2,718281...

Số thực

Các số hữu tỉ (các phân số ${\frac {m}{n}}$ trong đó $m\in \mathbb {Z}$, $n\in \mathbb {N} ,n>0$) không đủ dùng để biểu diện các độ đo trong hình học, chẳng hạn độ dài đường chéo của một hình vuông có cạnh là 1 là ${\sqrt {2}}$. Có thể chứng minh rằng, không có số hữu tỉ nào bình phương bằng 2.

Tổng quát hơn, người ta mở rộng tập hợp số hữu tỷ thành tập hợp số trong đó mọi dãy Cauchy đều có giới hạn, tập hợp đó được gọi là tập hợp số thực.

(Dãy {x_n}n $\in \mathbb {N}$ được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi số r > 0 tồn tại số nguyên dương N sao cho với mọi m,n > N luôn có | x_m − x_n | < r.)

Các số thực biểu diễn được dưới dạng phân số được gọi là các số hữu tỉ (rational). Các số thực không biểu diễn được dưới dạng phân số được gọi là các số vô tỷ (irrational).

Tập các số thực được ký hiệu là $\mathbb {R}$, tập các số vô tỉ là $\mathbb {I}$.

Như vậy $\mathbb {R} =\mathbb {Q} \cup \mathbb {I}$ và $\mathbb {Q} \cap \mathbb {I} =\emptyset$.

Tập các số thực còn được phân chia thành tập các số đại số và tập các số siêu việt.

Số phức

Tập các số phức là mở rộng đại số của tập các số thực với việc bổ sung một số mới là căn bậc hai của -1, số này được gọi là đơn vị ảo và ký hiệu là i. Khi đó tập các số phức là tập các số dạng z=a+b×i.

Trong tập các số phức, mọi phương trình đại số bậc n có đúng n nghiệm.

Tập các số phức được ký hiệu là $\mathbb {C}$, như vậy quan hệ bao hàm giữa các tập hợp số đã biết là:

$\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C}$.

Số siêu phức

Khái niệm mở rộng của số phức từ dạng tổ hợp tuyến tính 2 chiều z = a + b.i với các hệ số thực a, b của hai đơn vị cơ sở 1 và i sang không gian vectơ n chiều với n hệ số thực x₀, x₁, x₂,..., x_n-&, của n dơn vị cơ sở 1, e₁, e₂, e₃,..., e_n-1:

z = x₀.1 + x₁.e₁ + x₂.e₂ +... + x_n-1.e_n-1

Số đại số

Số đại số là số có thể thỏa mãn (nghiệm) một phương trình đại số. Số đại số có thể là số thực hoặc số phức.

Số siêu việt

Số siêu việt là số vô tỉ (thực hoặc phức) không là nghiệm của bất kì một phương trình đại số nào. Nói theo ngôn ngữ toán tập hợp, trường số siêu việt là phần bù của trường số đại số.

Biểu diễn số

Các số có thể được biểu diễn dưới dạng số thập phân hữu hạn, vô hạn tuần hoàn và không tuần hoàn.